2019年高考数学一轮复习第八章平面解析几何课时分层作业四十九.5.1椭圆的概念及其性质文.pdf

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1、2019 年高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 课时分层作业 四十九 8.5.1 椭圆的概念及其性质文 一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)1.椭圆 x2+4y2=1 的离心率为()A.B.C.y2【解析】选 A.因为椭圆方程化为 所以 c=,离心率 e=.2.设 P 是椭圆+=1 上的点.若FI,F2是椭圆的两个焦点,则|PFi|+|PF 2|等于 A.4 B.5 C.8 D.10【解析】选 D.由椭圆的第一定义知|PF1|+|PF 2|=2a=10.3.已知动点 P(x,y)与两点 A(-2,0),A 2(2,0)的连线斜率之积为=-,则点 P(x,y)的轨迹方程为()A.+=1

2、(y 丰 0)B.+=1(y 丰 0)2 C.+y=1(y 工 0)D.+=1(y 工 0)【解析】选 B.因为=-,整理得+=1.又因为点 P 不能在 x 轴上，所以 y 工 0.【变式备选】若过椭圆的一个焦点作长轴的垂线，交椭圆于两点 P,Q,线段 PQ 的长度为 2,椭圆的一个焦点 是(2,0),则椭圆的标准方程是 _.【解析】由题意可知，=2,C=2,又因为 a2=b2+c2,解得 a2=80,b 2=20,所求椭圆的标准方程为+=1.答案:+=1 4.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.【解析】选 B.设长轴为 2a,短轴为 2b,

3、焦距为2C,则 2a+2c=2 x 2b,即 a+c=2b?(a+c)2=4b2=4(a2-c 2),D.2.x+=1,整理得:5C 2+2ac-3a2=0,即 5e2+2e-3=0?6=或 e=-1(舍).4 h2 5.已知圆 C：x2+2cx+y2=0,圆 C2：x 2-2cx+y 2=0,椭圆 C:“+=1(ab0),若圆 CC 都在椭圆内或椭圆上,则 椭圆离心率的取值范围是()A.B.C.【解析】选 C.由题意,F(-1,0),设点 P(xo,y 0),则有 4+彳=1,解得=3、D.【解析】选 B.由于椭圆上点到焦点的距离最小值为 a-c,所以圆 C,C2都在椭圆内等价于 2c a,

4、所以 0 a 2 又 e (0,1),故 e .6.若点 O 和点 F 分别为椭圆+=1 的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A.2 B.3 C.6 D.8 故 c2=1,椭圆 C 的方程为+y2=1.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)8.若椭圆的方程为+=1,且此椭圆的焦距为 4,则实数 a=【解析】由题可知C=2.当焦点在 x 轴上时,10-a-(a-2)=2 2,解得 a=4.当焦点在 y 轴上时,a-2-(10-a)=2 2 解得 a=8.故实数 a=4 或 8.答案：4 或 8 2 2 尤y 2【变式备选】已知 F1,F2是椭圆 C:+门=1(ab0)的两

5、个焦点,P 为椭圆 C 上一点，且丄.若 PF1F2的面积 为 9,则 b=【解析】因为丄，所以/FPF2=9o,所以 FiPFz为直角三角形.2 2 2 所以|PFi|+|PF2|=(2C).又因为|PF1|+|PF 2|=2a,2 2 2 所以|PF1|+|PF2|=(|PF 1|+|PF 2|)-2|PF 1|PF2|,2 2 因为=(x o+1,y 0),=(x 0,y 0),所以=Xo(X o+1)+?=Xo(X o+1)+3、=4+xo+3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 xo=-2,因为-2 w XoW 2,所以当 Xo=2 时，取得最大值+2+3=6.7.已知椭圆讥=1(ab

6、0)上的动点到焦点的距离的最小值为-1.以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半 径的圆与直线 X-y+=o 相切，则椭圆 C 的方程为 A.+=1 B.+=1 2“C.+y=1 D.+=1【解析】选 C.由题意知 a-c=-1,又 b=1,由 b=l,a2-/詞 J 1 得 a2=2,b2=1,即(2C)=(2a)-4 x|PF1|PF2|,=|PF1|PF2|=9.所以 4c2=4a2-4 X 9=0,所以 4b2=4X 9.所以 b=3.答案:3 9.椭圆的中心在坐标原点 O,右顶点 A上顶点B2,下顶点 B,左右焦点分别为 Fi,F 2(直线 BF2与直线 A2B2交 于 P 点),若/BPA

7、 为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为 _.2 2 x y【解析】设椭圆的方程为 H+=1(ab0),/B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则 2 2 2 2(a,-b)(-c,-b)0,即 b ac,则 a-c 0,即 e+e-10,e 或 e,又 0e1,所以 e0),它到已知直线的距离为=3,解 得 c=,所以a2=b2+c2=3,故椭圆的方程为+y 2=1.答案：+y2=1 4.(12 分)已知椭圆+=1 内有两点 A(1,3),B(3,0),P 为椭圆上一点，求|PA|+|PB|的最大值和最小值.【解析】如图，椭圆的右焦点为 B,设椭圆的左焦点为 D,因为|PA|+|PB|=|

8、PA|+2a-|PD|w 2a+|AD|=2 X 5+5=15,所以所求的最大值是 15.此时点 P 在 F 点处，又-,所以+2a-=2 X 5-5=5,此时点 P 在 E 点处.综上所述:所求最大值为 15,最小值为 5.【变式备选】已知椭圆+=1 的左右焦点分别为 F1,F 2,过 F1的直线 l 交椭圆于 A,B 两点，则|+|的最大值为【解析】由椭圆的定义可知|+|=4a-w 4a-=4 X 3-=8.答案:8 2 2 X y 2?2 5.(13 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中,FI,F2分别是椭圆 H+打=l(ab0)的左、右焦点，顶点 B 的坐标为(0,b),连接 BH

9、并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交 椭圆于另一点 C,连接FIC.(1)若点 C 的坐标为，且 BF2=,求椭圆的方程 若 FiC 丄 AB,求椭圆离心率 e 的值.16 1 9 9 2 2【解析】(1)因为 C,所以广+=1.因为 B=b2+c2=a2,所以 a2=2,所以 b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.设焦点 F1(-C,0),F 2(c,0),C(x,y),因为 A,C 关于 x 轴对称，所以 A(x,-y),因为 B,F2,A 三点共线,所以=,即 bx-cy-bc=0，因为 FQ 丄 AB,所以=-1,即 xc-by+c 2=0，!X=y=联立方程组，解得 I a2c 2bc2 所以 C 丿 2 b2-C2 2bc2?因为 C 在椭圆上，所以 门+“=1,化简得 5c2=a2,所以=,故离心率为