中考数学压轴题归类复习十大类型附详细解答(终审稿).pdf

《中考数学压轴题归类复习十大类型附详细解答(终审稿).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学压轴题归类复习十大类型附详细解答(终审稿).pdf（48页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 中考数学压轴题归类复习十大类型附详细解答 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】中考数学压轴题辅导（十大类型）目录 动点型问题.3 几何图形的变换（平移、旋转、翻折）6 相似与三角函数问题 9 三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等）.13 与四边形有关的二次函数问题.16 初中数学中的最值问题.19 定值的问题.22 存在性问题（如：平行、垂直，动点，面积等）.25 与圆有关的二次函数综合题.29 其它（如新定义型题、面积问题等）.33 参考答案.36 中考数学压轴题辅导（十大类型）数学综压轴题是为考察

2、考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、

3、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求 x 的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有 x、y 的方程），变形写成 yf（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出 x 的值。解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形

4、结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。解中考压轴题技能技巧：一是对自身数学学习状况做一个完

5、整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。二是解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的

6、性质。三是解数学压轴题一般可以分为三个步骤。认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把 握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广

7、，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。所以，解数学压轴题，一要树立必胜的信心，要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。一、动点型问题：例 1（基础题）如图，已知抛物线 y=x22x3与 x轴从左至右分别交于 A、B两点，与y轴交于 C点，顶点为 D（1）求与直线 BC平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式；（2）若线段 AD 上有一动点 E，过 E作平行于 y轴的直线交抛物线于 F，当线段 EF取得最大值时，求点 E 的坐标 变式练习：（2012 杭州模拟）如图，已知抛物线经过点A（2，0），抛

8、物线的顶点为 D，过 O 作射线 OMAD过顶点 D平行于 x轴的直线交射线 OM 于点 C，B在 x轴正半轴上，连接 BC（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒 l个长度单位的速度沿射线 OM运动，设点 P 运动的时间为 t（s）问：当 t 为何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形直角梯形等腰梯形（3）若 OC=OB，动点 P和动点 Q 分别从点 O和点 B同时出发，分别以每秒 l个长度单位和 2个长度单位的速度沿 OC和 BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们运动的时间为 t（s），连接 PQ，当 t为何值时，四边形 BCPQ 的面积最

9、小并求出最小值（4）在（3）中当 t为何值时，以 O，P，Q为顶点的三角形与OAD相似（直接写出答案）苏州中考题：（2015年苏州）如图，在矩形 ABCD 中，AD=acm，AB=bcm（ab4），半径为 2cm的O在矩形内且与 AB、AD均相切现有动点 P从A点出发，在矩形边上沿着 ABCD的方向匀速移动，当点 P到达 D点时停止移动；O在矩形内部沿 AD向右匀速平移，移动到与 CD相切时立即沿原路按原速返回，当O回到出发时的位置（即再次与 AB相切）时停止移动已知点 P与O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）（1）如图，点 P 从 ABCD，全程共移动了 cm（用含 a、

10、b的代数式表示）；（2）如图，已知点 P从 A点出发，移动 2s 到达 B点，继续移动 3s，到达BC 的中点若点 P 与O的移动速度相等，求在这 5s 时间内圆心 O 移动的距离；（3）如图，已知 a=20，b=10是否存在如下情形：当O到达O1的位置时（此时圆心 O1在矩形对角线 BD上），DP 与O1恰好相切请说明理由（第 28题）O1ABCDOP（图）（图）PODCBA 二、几何图形的变换（平移、旋转、翻折）例 2（辽宁省铁岭市）如图所示，已知在直角梯形OABC 中，ABOC，BCx轴于点 C，A（1，1）、B（3，1）动点 P从 O点出发，沿 x轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度移

11、动过 P点作 PQ 垂直于直线OA，垂足为 Q设 P点移动的时间为 t 秒（0t4），OPQ与直角梯形 OABC 重叠部分的面积为S（1）求经过 O、A、B 三点的抛物线解析式；（2）求 S 与 t 的函数关系式；（3）将OPQ绕着点 P顺时针旋转 90，是否存在 t，使得OPQ 的顶点 O或Q在抛物线上若存在，直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由 变式练习：如图 1，在平面直角坐标系 xOy中，直线 l：y34xm与 x 轴、y轴分别交于点 A 和点 B（0，1），抛物线经过点 B，且与直线 l另一个交点为 C（4，n）（1）求 n 的值和抛物线的解析式；（2）点 D在抛物线上，且点 D

12、 的横坐标为 t（0t4）DEy轴交直线 l于点 E，点 F在直线 l上，且四边形 DFEG 为矩形（如图 2）若矩形 DFEG 的周长为 p，求 p与 t的函数关系式以及 p 的最大值；（3）M 是平面内一点，将AOB绕点 M沿逆时针方向旋转 90后，得到A1O1B1，点 A、O、B的对应点分别是点 A1、O1、B1若A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点 A1的横坐标 苏州中考题：（2014-2015 学年第一学期期末高新区）如图 1，在平面直角坐标系 xOy中，直线 l：y34xm与 x轴、y轴分别交于点 A和点 B(0，1)，抛物线 yx2bxc经过点 B，且与直线 l的

13、另一个交点为 C(4，n)(1)求 n的值和抛物线的解析式；(2)点 D在抛物线上，且点 D的横坐标为 t(0t 2)与 x轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A位于点 B 的左侧），与 y轴的正半轴交于点 C.点 B的坐标为 ，点 C 的坐标为 （用含 b的代数式表示）；请探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB的面积等于 2b，且PBC 是以点 P为直角顶点的等腰直角三角形如果存在，求出点 P的坐标；如果不存在，请说明理由；请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、QOA 和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在

14、，请说明理由.四、三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等）例 4（广东省湛江市）已知矩形纸片 OABC 的长为 4，宽为 3，以长 OA所在的直线为 x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点 P是 OA边上的动点（与点 OA不重合），现将POC 沿 PC 翻折得到PEC，再在 AB 边上选取适当的点 D，将PAD 沿 PD翻折，得到PFD，使得直线 PE、PF 重合（1）若点 E落在 BC 边上，如图，求点 P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点 E落在矩形纸片 OABC 的内部，如图，设 OPx，ADy，当 x为何值时，y取得最大值（3）在（1）的情况下

15、，过点 P、C、D三点的抛物线上是否存在点 Q，使PDQ是以 PD为直角边的直角三角形若不存在，说明理由；若存在，求出点 Q的坐标 变式（广东省深圳市）已知：RtABC 的斜边长为 5，斜边上的高为 2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边 AB与 x轴重合（其中 OAOB），直角顶点 C 落在y轴正半轴上（如图 1）（1）求线段 OA、OB 的长和经过点 A、B、C 的抛物线的关系式（2）如图 2，点 D 的坐标为（2，0），点 P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中 m0，n0），连接 DP 交 BC 于点 E 当BDE是等腰三角形时，直接写出此时点 E的坐标 又连接 CD、

16、CP（如图 3），CDP 是否有最大面积若有，求出CDP的最大面积和此时点 P 的坐标；若没有，请说明理由 苏州中考题：（2013年29题）如图，已知抛物线 yx2bxc（b，c是常数，且 c0）与 x 轴分别交于点 A，B（点 A 位于点 B的左侧），与 y轴的负半轴交于点 C，点 A的坐标为(1，0)(1)b ，点 B的横坐标为 （上述结果均用含 c的代数式表示）；(2)连接 BC，过点 A 作直线 AEBC，与抛物线 yx2bxc交于点 E点D是 x 轴上一点，其坐标为(2，0)，当 C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，点 P 是 x 轴下方的抛物线上

17、的一动点，连接 PB，PC，设所得PBC 的面积为 S 求 S 的取值范围；若PBC 的面积 S 为整数，则这样的PBC 共有 个 五、与四边形有关的二次函数问题 例 5（内蒙古赤峰市）如图，RtABC 的顶点坐标分别为 A（0，3），B（21，23），C（1，0），ABC90，BC 与y轴的交点为 D，D点坐标为（0，33），以点 D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点 B 1212A B x y A B x y O P D E 图 2 C 图 P D E C O A B F x y 图 P D C O A B F x y E F （1）求该抛物线的解析式；（2）将ABC 沿 AC 折叠后得到点

18、 B的对应点 B，求证：四边形 AOCB是矩形，并判断点 B是否在（1）的抛物线上；（3）延长 BA交抛物线于点 E，在线段 BE上取一点 P，过 P点作 x 轴的垂线，交抛物线于点 F，是否存在这样的点 P，使四边形 PADF是平行四边形若存在，求出点 P的坐标，若不存在，说明理由 变式练习：（2011年苏州 28 题）已知四边形 ABCD是边长为 4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点 A、B重合），连接PA、PB、PC、PD (1)如图，当 PA 的长度等于 时，PAB60；当 PA的长度等于 时，PAD是等腰三角形；(2)如图，以 AB边所在直线为 x轴、A

19、D 边所在直线为 y轴，建立如图所示的直角坐标系（点 A即为原点 O），把PAD、PAB、PBC 的面积分别记为 S1、S2、S3坐标为（a，b），试求 2 S1 S3S22的最大值，并求出此时 a，b的值 C B D 苏州中考题：（2011年29题）已知二次函数2680ya xxa的图象与x轴分别交于点 A、B，与 y轴交于点 C点 D是抛物线的顶点 (1)如图，连接 AC，将OAC沿直线 AC翻折，若点 O的对应点 O恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数 a的值；(2)如图，在正方形 EFGH中，点 E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边 HG位于边 EF的右侧小林同学经过探索后发现了

20、一个正确的命题：“若点P是边 EH或边 HG上的任意一点，则四条线段 PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）”若点 P是边 EF或边 FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立请你积极探索，并写出探索过程；(3)如图，当点 P在抛物线对称轴上时，设点 P的纵坐标 t是大于 3的常数，试问：是否存在一个正数 a，使得四条线段 PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）请说明理由 六、初中数学中的最值问题 例 6（2014 海南）如图，对称轴为直线 x=2的抛物线经过 A（1，0），C（0，5）两点

21、，与 x轴另一交点为 B已知 M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点 P 是第一象限内的抛物线上的动点（1）求此抛物线的解析式；（2）当 a=1时，求四边形 MEFP 的面积的最大值，并求此时点 P 的坐标；（3）若PCM是以点 P 为顶点的等腰三角形，求 a为何值时，四边形 PMEF 周长最小请说明理由 变式练习（四川省眉山市）如图，已知直线y21x1与y轴交于点 A，与 x轴交于点 D，抛物线y21x2bxc与直线y21x1 交于 A、E两点，与 x轴交于 B、C 两点，且 B点坐标为(1，0)（1）求该抛物线的解析式；（2）动点 P在 x轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点

22、P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上找一点 M，使|AMMC|的值最大，求出点 M的坐标 苏州中考题：（2012江苏苏州，27，8 分）如图，已知半径为 2 的O与直线 l相切于点 A，点 P是直径 AB左侧半圆上的动点，过点 P作直线 l 的垂线，垂足为 C，PC 与O交于点 D，连接 PA、PB，设 PC 的长为(2 2符合题意.点P坐标为（165，165）.假设存在这样的点 Q，使得QCO、QOA 和QAB中的任意两个三角形均相似.QAB=AOQ+AQO，QABAOQ，QABAQO.要使得QOA和QAB相似，只能OAQ=QAB=90，即 QAx轴.b2，ABOA.QOAQBA，QOA=AQ

23、B，此时OQB=90.由 QAx轴知QAy轴，COQ=OQA.要使得QOA和OQC 相似，只能OCQ=90或OQC=90.（）当OCQ=90时，QOAOQC.AQ=CO=4.由=2=?得：(4)2=1，解得：=8 43.2，=8+43，4=2+3.点 Q坐标为（1，2+3）.（）当OQC=90时，QOAOCQ.=，即2=?.又2=?.=，即4=1?.解得：AQ=4，此时 b=172符合题意.点 Q坐标为（1，4）.综上可知：存在点 Q（1，2+3）或（1，4），使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似.例 4.【考点】二次函数综合题【专题】压轴题；动点型；开放型【分析】（1）根据矩形

24、的宽为 3 即可得出 C的坐标为（0，3）当 E 落在 BC边时，四边形 OPEC和四边形 PADF均为正方形的性质，那么 OP=PE=OC=3，PA=PF=AD=1因此 P的坐标为（3，0），D 的坐标为（4，1）然后根据 P，C，D 三点的坐标，用待定系数法求出过 P、C、D 三点的抛物线的解析式（2）根据折叠的性质可得出CPO=CPE，FPD=APD由此可得出CPD=90，由此不难得出 RtPOCRtDAP，可根据线段OC、OP、PA、AD的比例关系，得出关于 x，y的函数关系式根据关系式即可得出 y的最大值以及对应的 x 的值（3）可分两种情况进行讨论：当 PQ是另一条直角边，即DPQ

25、=90时，由于DPC=90，且 C 在抛物线上，因此 C与 Q 重合，Q点的坐标即为 C 点的坐标 当 DQ是另一条直角边，即PDQ=90时，那么此时 DQPC如果将 PC所在的直线向上平移两个单位，即可得出此时 DQ所在直线的解析式然后联立直线 DQ 的解析式以及抛物线的解析式组成方程组，如果方程组无解，则说明不存在这样的 Q 点，如果方程组有解，那么方程组的解即为 Q 的坐标综合上述两种情况即可得出符合条件的 Q 的坐标 解：（1）由题意知，POC，PAD为等腰直角三角形，得 P（3，0），C（0，3），D（4，1），设过此三点的抛物线为 y=ax2+bx+c（a0），则，过 P、C、D三

26、点的抛物线的函数关系式为 y=x2x+3（2）由已知 PC平分OPE，PD平分APF，且 PE、PF重合，则CPD=90，OPC+APD=90，又APD+ADP=90，OPC=ADPRtPOCRtDAP 即。y=x（4x）=x2+x=（x2）2+（0 x4）当 x=2 时，y有最大值（3）假设存在，分两种情况讨论：当DPQ=90时，由题意可知DPC=90，且点 C在抛物线上，故点 C与点 Q重合，所求的点 Q为（0，3）当QDP=90时，过点 D作平行于 PC的直线 DQ，假设直线 DQ交抛物线于另点Q，点 P（3，0），C（0，3），直线 PC的方程为 y=x+3，将直线 PC向上平移 2

27、个单位与直线 DQ重合，直线 DQ的方程为 y=x+5 由，得或又点 D（4，1），Q（1，6），故该抛物线上存在两点 Q（0，3），（1，6）满足条件【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形翻折变换、三角形相似等重要知识点，综合性强，能力要求较高考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法 变式练习：【考点】二次函数综合题；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；两点间的距离；三角形的面积；等腰三角形的性质【专题】压轴题【分析】（1）由 RtABC 中，COAB 可证AOCCOB，由相似比得 OC2=OAOB，设 OA的长为 x，则 OB=5x，代入可求 OA，OB的长，确定

28、A，B，C三点坐标，求抛物线解析式；（2）根据BDE为等腰三角形，分为 DE=EB，EB=BD，DE=BD 三种情况，分别求 E 点坐标；（3）作辅助线，将求CDP的面积问题转化方法一：如图 1，连接 OP，根据 SCDP=S四边形CODPSCOD=SCOP+SODPSCOD，表示CDP 的面积；方法二：过点 P 作 PEx 轴于点 F，则 SCDP=S梯形COFPSCODSDFP，表示CDP 的面积；再利用二次函数的性质求出CDP 的最大面积和此时点 P 的坐标【解答】解：（1）设 OA的长为 x，则 OB=5x；OC=2，AB=5，BOC=AOC=90，OAC=OCB；AOCCOB，OC2

29、=OAOB 22=x（5x）解得：x1=1，x2=4，OAOB，OA=1，OB=4；点 A、B、C 的坐标分别是：A（1，0），B（4，0），C（0，2）；（用射影定理的不扣分）方法一：设经过点 A、B、C的抛物线的关系式为：y=ax2+bx+2，将 A、B、C三点的坐标代入得，解得：a=，b=，c=2 所以这个二次函数的表达式为：。方法二：设过点 A、B、C的抛物线的关系式为：y=a（x+1）（x4）将 C 点的坐标代入得：a=，所以这个二次函数的表达式为：。（表达式用三种形式中的任一种都不扣分）（2）当BDE 是等腰三角形时，点 E的坐标分别是：，（注：符合条件的 E 点共有三个，其坐标，

30、写对一个给 1分）如图 1，连接 OP，SCDP=S四边形CODPSCOD=SCOP+SODPSCOD=m+n2=当 m=时，CDP 的面积最大此时 P 点的坐标为（，），SCDP的最大值是 另解：如图 2、图 3，过点 P 作 PFx 轴于点 F，则 SCDP=S梯形COFPSCODSDFP =m+n2=（9分）当 m=时，CDP 的面积最大此时 P 点的坐标为（，），SCDP的最大值是 （注：只回答有最大面积，而没有说明理由的，不给分；点 P 的坐标，或最大面积计算错误的，扣（1分）；其他解法只要合理，酌情给分）【点评】本题考查二次函数的综合运用关键是根据直角三角形中斜边上的高分得的两个三

31、角形相似，利用相似比求 A、B两点坐标，确定抛物线解析式，根据等腰三角形的性质求 E 点坐标，利用作辅助线的方法表示CDP 的面积，由二次函数的性质求三角形面积的最大值 苏州中考题：(1)c，2c；(2)yx232x2(3)0S5；11 例 5.【考点】二次函数综合题【专题】压轴题【分析】（1）设抛物线解析式，因点 B 在抛物线上面，代入求出抛物线解析式；（2）ABC沿 AC 折叠，要用到点的对称，得到 B的坐标然后验证是否在抛物线上；（3）假设存在，设直线 BA 的解析式，根据 B、A坐标解出直线 BA的解析式，用 m表示出 P 点坐标，因为 PF=AD 可以得到 P 点坐标 1212 【解

32、答】解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+，B（，）在抛物线上，把 B（，）代入 y=ax2+，得 a=抛物线解析式为 y=x2+（2）点 B（，），C（1，0），CB=，CB=CB=OA 又 CA=2，AB=1，AB=AB=OC四边形 AOCB是矩形CB=，OC=1，B点的坐标为（1，）当 x=1时，代入y=x2+得 y=，B（1，）在抛物线上（3）存在理由是：设 BA的解析式为 y=kx+b，P，F分别在直线 BA 和抛物线上，且 PFAD，设 P（m，m+），F（m，m2+）PF=（m+）（m2+），AD=。如果 PF=AD，则有：（m+）（m2+）=，解得 m1=0（不符合题意舍去

33、），m2=当 m=时，PF=AD，存在四边形 ADFP 是平行四边形当 m=时，m+=，P 点的坐标是（，）【点评】考查待定系数求抛物线解析式，折叠图形的对称问题，辅助线的作法也很独特，考查的知识点很全面，是一道综合性题型 变式练习：【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质；圆周角定理；解直角三角形【专题】几何综合题；数形结合；方程思想【分析】（1）由 AB 是直径，可得 APB=90，然后利用三角函数即可求得 PA的长；当PA=PB时，PAB 是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质与射影定理即可求得答案（2）过点 P 分别作 PEAB，PFAD，垂足分别为 E，F延长 FP

34、 交 BC于点 G，则PGBC，P 点坐标为（a，b），PE=b，PF=a，PG=4a，利用矩形面积关系与二次函数的知识即可求得答案【解答】解：（1）若 PAD=60，需 PAB=30，AB 是直径，APB=90，则在 Rt PAB中，PA=cos30AB=2，当 PA的长度等于 2时，PAD=60；若 PAD是等腰三角形，当 PA=PD 时，此时 P 位于四边形 ABCD 的中心，过点 P 作 PEAD于 E，作 PMAB于 M，则四边形 EAMP 是正方形，PM=PE=AB=2，PM2=AMBM=4，AM+BM=4，AM=2，PA=2，当 PD=DA时，以点 D 为圆心，DA为半径作圆与弧

35、 AB的交点为点 P 连 PD，令 AB 中点为 O，再连 DO，PO，DO交 AP于点 G，则 ADO PDO，DOAP，AG=PG，AP=2AG，又 DA=2AO，ADG=GAO，=，AG=2OG，设 AG为 2x，OG为 x，（2x）2+x2=4，x=AG=2x=，AP=.当 PA的长度等于 2或时，PAD是等腰三角形；（2）过点 P 分别作 PEAB，PFAD，垂足分别为 E，F延长 FP 交 BC于点 G，则PGBC，P 点坐标为（a，b），PE=b，PF=a，PG=4a，在 PAD，PAB及 PBC 中，S1=2a，S2=2b，S3=82a，AB 为直径，APB=90，PE2=AE

36、BE，即 b2=a（4a），2S1S3S22=4a（82a）4b2=4a2+16a=4（a2）2+16，当 a=2 时，b=2，2S1S3S22有最大值 16【点评】此题考查了正方形的性质，圆周角的性质以及三角函数的性质等知识此题综合性很强，解题时要注意数形结合与方程思想的应用 苏州中考题：【考点】二次函数综合题【专题】压轴题【分析】（1）本题需先求出抛物线与 x轴交点坐标和对称轴，再根据 OAC=60得出OC，从而求出 a（2）本题需先分两种情况进行讨论，当 P 是 EF上任意一点时，可得PCPB，从而得出 PBPA，PBPC，PBPD，即可求出线段 PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形

37、（3）本题需先得出 PA=PB，再由 PC=PD，列出关于 t与 a 的方程，从而得出 a的值，即可求出答案【解答】解：（1）令 y=0，由 a（x26x+8）=0，解得 x1=2，x2=4；令 x=0，解得 y=8a，点 A、B、C的坐标分别是（2，0）、（4，0）、（0，8a），该抛物线对称轴为直线x=3，OA=2，如图，设抛物线对称轴与 x 轴的交点为 M，则 AM=1，由题意得：OA=OA=2，OA=2AM，OAM=60，OAC=OAC=60，OC=2，即 8a=2，a=；（2）若点 P 是边 EF或边 FG 上的任意一点，结论同样成立，如图，设 P 是边 EF上的任意一点，连接 PM

38、，点 E（4，4）、F（4，3）与点 B（4，0）在一直线上，点 C在 y轴上，PB4，PC4，PCPB，又 PDPMPB，PAPMPB，PBPA，PBPC，PBPD，此时线段 PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形，设 P 是边 FG 上的任意一点（不与点 G重合），点 F的坐标是（4，3），点 G的坐标是（5，3），FB=3，GB=，3PB，PC4，PCPB，又 PDPMPB，PAPMPB，PBPA，PBPC，PBPD，此时线段 PA、PB、PC、PD也不能构成平行四边形；（3）存在一个正数 a，使得线段 PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，如图，点 A、B 是抛物线与 x轴交点

39、，点 P 在抛物线对称轴上，PA=PB，当 PC=PD时，线段 PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，点 C的坐标是（0，8a），点 D的坐标是（3，a），点 P 的坐标是（3，t），PC2=32+（t8a）2，PD2=（t+a）2，由 PC=PD 得 PC2=PD2，32+（t8a）2=（t+a）2，整理得：7a22ta+1=0 有两个不相等的实数根，a=，a=或 a=，t3，显然 a=或 a=，满足题意，当 t是一个大于 3 的常数时，存在两个正数 a=或a=，使得线段 PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形【点评】本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分

40、类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键 例 6.【考点】二次函数综合题【专题】代数几何综合题【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出四边形 MEFP 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点 P坐标；（3）四边形 PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要 ME+PF最小，则 PMEF的周长将取得最小值如答图 3所示，将点 M向右平移 1个单位长度（EF的长度），得 M1（1，1）；作点 M1关于 x轴的对称点 M2，则 M2（1，1）；连接 PM2，与 x 轴交于 F点，此时 ME+PF=PM2最小【解答】解：（1）对称轴为直线

41、 x=2，设抛物线解析式为 y=a（x2）2+k 将 A（1，0），C（0，5）代入得：，解得，y=（x2）2+9=x2+4x+5（2）当 a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2设 P（x，x2+4x+5），如答图 2，过点 P 作 PNy轴于点 N，则 PN=x，ON=x2+4x+5，MN=ONOM=x2+4x+4 S四边形MEFP=S梯形OFPNSPMNSOME=（PN+OF）ONPNMNOMOE=（x+2）（x2+4x+5）x（x2+4x+4）11=x2+x+=（x）2+当 x=时，四边形 MEFP 的面积有最大值为，把 x=时，y=（2）2+9=此时点 P 坐标为（，

42、）（3）M（0，1），C（0，5），PCM是以点 P 为顶点的等腰三角形，点 P 的纵坐标为 3 令 y=x2+4x+5=3，解得 x=2点 P 在第一象限，P（2+，3）四边形 PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要 ME+PF最小，则 PMEF的周长将取得最小值如答图 3，将点 M向右平移 1个单位长度（EF的长度），得 M1（1，1）；作点 M1关于 x轴的对称点 M2，则 M2（1，1）；连接 PM2，与 x 轴交于 F点，此时ME+PF=PM2最小设直线 PM2的解析式为 y=mx+n，将 P（2+，3），M2（1，1）代入得：，解得：m=，n=，y=x 当 y=0 时，解

43、得 x=F（，0）a+1=，a=a=时，四边形 PMEF周长最小【点评】本题是二次函数综合题，第（1）问考查了待定系数法；第（2）问考查了图形面积计算以及二次函数的最值；第（3）问主要考查了轴对称最短路线的性质试题计算量偏大，注意认真计算 变式练习：（1）将 A（0，1）、B（1，0）坐标代入212yxbxc得1102cbc解得321bc 抛物线的解折式为213122yxx。（2）设点 E的横坐标为 m，则它的纵坐标为 213122mm 即 E 点的坐标（m，213122mm）又点 E在直线112yx上 213111222mmm 解得10m（舍去），24m，E的坐标为（4，3）（）当 A为直角

44、顶点时，过 A作 AP1DE 交 x 轴于 P1点，设 P1（a,0），易知 D点坐标为（2，0），由 RtAODRtPOA得：DOOAOAOP即211a，a21，P1（21，0）（）同理，当 E为直角顶点时，P2点坐标为（112，0）（）当P 为直角顶点时，过E作 EFx 轴于 F，设 P3（b、3）由OPA+FPE90，得OPAFEP RtAOPRtPFE。由AOOPPFEF得143bb 解得13b，21b 此时的点 P3的坐标为（1，0）或（3，0）综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（21，0）或（1，0）或（3，0）或（112，0）（3）抛物线的对称轴为32x（9分）B、C 关于 x

45、23对称 MCMB 要使|AMMC最大，即是使|AMMB最大。由三角形两边之差小于第三边得，当 A、B、M 在同一直线上时|AMMB的值最大 易知直线 AB的解折式为1yx 由132yxx 得3212xy M（23，21）苏州中考题：解：O与直线 l 相切于点 A，AB为O的直径，ABl。又PCl，ABPC.CPA=PAB。AB为O的直径，APB=90.PCA=APB.PCAAPB.=，即2=?.PC=52，AB=4，=52 4=10.在 RtAPB 中，由勾股定理得：=16 10=6.过 O作 OEPD，垂足为 E.PD是O的弦，OFPD，PF=FD.在矩形OECA中，CE=OA=2，PE=

46、ED=x2.=2(2)=4.?=2(2)(4 )=22+12 16=2(3)2+2.2 4，当=3时，?有最大值，最大值是 2.例 7【考点】二次函数综合题【专题】压轴题；动点型【分析】（1）AO=ACOC=m3，用线段的长度表示点 A的坐标；（2）ABC是等腰直角三角形，AOD 也是等腰直角三角形，OD=OA，D（0，m3），又 P（1，0）为抛物线顶点，可设顶点式，求解析式；（3）设 Q（x，x22x+1），过 Q 点分别作 x轴，y轴的垂线，运用相似比求出 FC、EC的长，而 AC=m，代入即可【解答】（1）解：由 B（3，m）可知 OC=3，BC=m，又ABC为等腰直角三角形，AC=B

47、C=m，OA=m3，点 A 的坐标是（3m，0）（2）解：ODA=OAD=45，OD=OA=m3，则点 D 的坐标是（0，m3）又抛物线顶点为 P（1，0），且过点 B、D，所以可设抛物线的解析式为：y=a（x1）2，得：解得抛物线的解析式为 y=x22x+1；（3）证明：过点 Q作 QMAC于点 M，过点 Q 作 QNBC 于点 N，设点 Q的坐标是（x，x22x+1），则 QM=CN=（x1）2，MC=QN=3x QMCE，PQMPEC，即，得 EC=2（x1）QNFC，BQNBFC，即，得 又AC=4，FC（AC+EC）=4+2（x1）=（2x+2）=2（x+1）=8 即 FC（AC+E

48、C）为定值 8【点评】本题考查了点的坐标，抛物线解析式的求法，综合运用相似三角形的比求线段的长度，本题也可以先求直线 PE、BF的解析式，利用解析式求 FC，EC 的长 变式练习：解：CGAP，CGD=PAG，则tan=tan.=.GF=4，CD=DA=1，AF=x，GD=3x，AG=4x.13=4，即=43.y关于 x的函数关系式为=43.当 y=3 时，43=3，解得:x=.1=12?=1243(3)=42，2=12?=12(3)1=32.12=4232=12 即为常数.延长 PD交 AC 于点 Q.正方形 ABCD 中，AC 为对角线，CAD=45.PQAC，ADQ=45.GDP=ADQ

49、=45.DGP是等腰直角三角形，则 GD=GP.3 =43，化简得：25+5=0，解得：=552.0 2.5，=5 52.在 RtDGP中，=cos45=2(3)=2+102.苏州中考题：（1）解：将 C（0，3）代入二次函数 y=a（x22mx3m2），则3=a（003m2），解得 a=（2）证明：如图 1，过点 D、E分别作 x轴的垂线，垂足为 M、N 由 a（x22mx3m2）=0，解得 x1=m，x2=3m，则 A（m，0），B（3m，0）CDAB，点 D的坐标为（2m，3）AB平分DAE，DAM=EAN，DMA=ENA=90，ADMAEN=设 E 坐标为（x，），=，x=4m，E（4

50、m，5），AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，=，即为定值（3）解：如图 2，记二次函数图象顶点为 F，则 F的坐标为（m，4），过点 F 作 FHx轴于点 H连接 FC 并延长，与 x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点 G tanCGO=，tanFGH=，=，OG=3m GF=4，AD=3，=，AD：GF：AE=3：4：5，以线段 GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时 G点的横坐标为3m 本题考查了二次函数性质、勾股定理及利用直角三角形性质求解边长等知识，总体来说本题虽难度稍难，但问题之间的提示性较明显，所以是一道质量较高的题目 例 8【考