2020高中数学第一章三角函数.三角函数模型的简单应用学案(含解析).pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-1。6 三角函数模型的简单应用 考试标准 课标要点 学考要求 高考要求 三角函数模型的实际应用 c c 知识导图 学法指导 1。应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立适当的三角函数模型 2在建立三角函数模型时，要注意从数据的周而复始的特点以及数据的变化趋势这两个方面来考虑。学必求其心得，业必贵于专精 -2-1。三角函数模型应用的步骤 三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值,进而使实际问题得到解决 步骤可记为：审读题意建立三角函数式根据题意求出某点

2、的三角函数值解决实际问题 这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数,再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式 2三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据,做出相应的“散点图，通过观察散点图并进行数据拟合,从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题 错误!解答三角函数应用题应注意四点(1）三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质,列出等量或不等量的关系（2）在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想

3、解决问题 学必求其心得，业必贵于专精 -3-(3）实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成,因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助解决问题（4)实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器 小试身手 1 判断下列命题是否正确。（正确的打“”，错误的打“”)（1)解答三角函数应用题的一般步骤：审题、建模、求解、检验、还原(）(2）在解决实际问题时，利用收集的数据作散点图，可精确估计函数模型()(3）若函数yasin x1 在x0,2上有两个不同零点，则实数a的取值范围是1,1 （）（4）已知

4、某地区某一天从 416 时的温度变化曲线近似满足函数y10sin错误!20，x4,16，则该地区在这一时段的温差为 20。（)答案：（1）（2）（3)（4)学必求其心得，业必贵于专精 -4-2商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一某商场的人流量满足函数F(t）504sin错误!(t0），则在下列哪个时间段内人流量是增加的（）A 0,5 B5,10 C 10,15 D 15，20 解析：由 2k错误!错误!2k错误!，kZ,知函数F（t)的增区间为4k,4k,kZ。当k1 时，t3，5，而10，15 3，5，故选 C.答案：C 3在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自

5、由振动，已知它们在时间t(s）时离开平衡位置的位移s1（cm)和s2（cm)分别由下列两式确定：s15sin错误!,s25cos错误!。则在时间t错误!时,s1与s2的大小关系是(）As1s2 Bs1s2 Cs1s2 D不能确定 解析：当t错误!时，s15，s25，所以s1s2。答案：C 学必求其心得，业必贵于专精 -5-4如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过错误!周期后，乙的位置将传播至（)A甲 B乙 C丙 D丁 解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选 C.答案：C 类型一 三角函数在物理中的应用 例 1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(

6、静止时的位置)的距离h（cm)与时间t(s）的函数关系式为：h3sin错误!.(1)求小球开始振动的位置；(2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间；(3)经过多长时间小球往返振动一次？(4)每秒内小球能往返振动多少次?学必求其心得，业必贵于专精 -6-【解析】(1）令t0，得h3sin错误!错误!，所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置错误!cm 处（2)由题意知，当h3 时，t的最小值为错误!，即小球第一次上升到最高点的时间为错误!s.当h3 时，t的最小值为错误!，即小球第一次下降到最低点的时间为错误!s。（3)T错误!,即经过约 s 小球往返振动一次(4）f错误!错误!,

7、即每秒内小球往返振动错误!次。令t0解1令h3解2问题3即求周期T问题4即求频率 fT 的倒数 方法归纳 处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题 跟踪训练 1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t（s)的变化规律为s4sin错误!，t0,学必求其心得，业必贵于专精 -7-)用“五点法做出这个函数的简图，并回答下列问题:(1）小球在开始振动（t0）时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降

8、到最低点时的位移分别是多少?(3)经过多长时间小球往复振动一次?解析:列表如下，t 错误!错误!错误!错误!错误!2t错误!0 错误!32 2 sin错误!0 1 0 1 0 s 0 4 0 4 0 描点、连线，图象如图所示（1）将t0 代入s4sin错误!，得s4sin错误!2错误!,所以小球开始振动时的位移是 2错误!cm。学必求其心得，业必贵于专精 -8-(2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 4 cm 和4 cm。（3)因为振动的周期是，所以小球往复振动一次所用的时间是s.解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义,易出现的问题是混淆彼此之间的对应关系 类型二 三角函数在

9、实际生活中的应用 例 2 已知某海滨浴场的海浪高度是时间t（h)的函数,记作yf(t）下表是某日各时的浪高数据.t(h)0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（m)1。5 1.0 0。5 1。0 1.5 1.0 0.5 0.99 1。5 经长期观测，yf（t)的曲线可近似地看成是函数yAcos tb.(1)根据以上数据，求出函数yAcos tb的最小正周期T、振幅A及函数表达式;(2）依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午 8 时到晚上 20 时之间，有多长时间学必求其心得，业必贵于专精 -9-可供冲浪者进行运动？【解析】（1）依题

10、意,得T12,A错误!0.5，b错误!1，所以错误!错误!,故y错误!cos错误!t1。（2）令y错误!cos错误!t11,则 2k错误!错误!t2k错误!(kZ),所以 12k3t12k3(kZ），又因为 8t1 时，才对冲浪爱好者开放,所以y错误!cos错误!t11，cos错误!t 0，2k错误!错误!t2k错误!(kZ),即 12k3t12k3(kZ）又 0t24.所以 0t3 或 9t15 或 21t24，所以在规定时间内只有 6 个小时可供冲浪爱好者进行活动，学必求其心得，业必贵于专精 -14-即 9t0)，已知第 1 季度和第2 季度的平均单价如下表所示.x 1 2 y 10 00

11、0 9 500 则此楼群在第 3 季度的平均单价大约是（）A10 000 元 B9 500 元 学必求其心得，业必贵于专精 -16-C9 000 元 D8 500 元 解析：因为y500sin(x）9 500(0）,所以当x1 时，500sin(）9 50010 000；当x2 时，500sin(2)9 5009 500,即错误!所以错误!易得 3错误!2k，kZ。又当x3 时，y500sin(3）9 500，所以y9 000。答案：C 4如图，单摆离开平衡位置O的位移s(单位:cm）和时间t（单位：s)的函数关系为s6sin错误!,则单摆在摆动时,从最右边到最左边的时间为（)A2 s B1

12、s C.错误!s D。错误!s 解析:由题意，知周期T错误!1(s），从最右边到最左边的时间是半个周期，为错误!s。答案：C 5据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上，按月呈f(x）Asin(x）b错误!的模型波动（x为月份)，已知 3学必求其心得，业必贵于专精 -17-月份达到最高价 9 千元，7 月份价格最低为 5 千元，根据以上条件可确定f(x）的解析式为()Af（x)2sin错误!7（1x12，xN）Bf(x）9sin错误!（1x12,xN*)Cf（x）2错误!sin错误!x7(1x12，xN*)Df（x)2sin错误!7(1x12，xN*)解析：令x3 可排除 D，

13、令x7 可排除 B，由A错误!2 可排除 C；或由题意，可得A9522，b7，周期T错误!2（73）8，错误!。f（x)2sin错误!7。当x3 时，y9，2sin错误!79，即 sin错误!1。错误!，错误!。f(x)2sin错误!7（1x12，xN*)答案：A 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分）学必求其心得，业必贵于专精 -18-6设某人的血压满足函数式p（t）11525sin（160t)，其中p(t)的血压(mmHg)，t为时间(min),则此人每分钟心跳的次数是_ 解析：T2160错误!(分),f错误!80(次/分）答案：80 7有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s

14、（单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式是sAsin(t），0错误!,函数图象如图所示,则_。解析：根据图象,知错误!，错误!两点的距离刚好是错误!个周期，所以错误!T错误!错误!错误!。所以T1，则错误!2.因为当t错误!时，函数取得最大值，所以 2错误!错误!2k，kZ，又 0错误!，所以错误!.答案：错误!8某城市一年中 12 个月的月平均气温y与月份x的关系可近似学必求其心得，业必贵于专精 -19-地用函数yaAcos错误!(x1,2，3,，12）来表示已知 6 月份的月平均气温最高，为 28 C，12 月份的月平均气温最低，为 18 C，则 10 月份的月平均气温为_ C。解

15、析：根据题意得 28aA，18aAcos错误!aA，解得a23，A5，所以函数y235cos错误!，令x10，得y235cos错误!235cos错误!20.5.答案：20。5 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分)9弹簧振子以O为平衡位置,在B，C两点间做简谐运动,B，C相距 20 cm,某时刻振子处在B点,经 0。5 s 振子首次到达C点,求：（1）振动的振幅、周期和频率；（2）弹簧振子在 5 s 内通过的路程及位移 解析：（1）设振幅为A,则 2A20 cm，所以A10 cm。设周期为T,则T20。5 s，所以T1 s,所以f1 Hz。（2）振子在 1 s 内通过的距离为 4A，故在

16、 5 s 内通过的路程s54A20A2010200（cm）学必求其心得，业必贵于专精 -20-5 s 末物体处在B点，所以它的位移为 0 cm.10交流电的电压E（单位：V）与时间t(单位：s)的关系可用E220错误!sin（100t错误!）来表示，求：（1）开始时电压；（2）电压值重复出现一次的时间间隔；（3）电压的最大值和第一次获得最大值的时间 解析：(1）当t0 时,E110错误!（V),即开始时的电压为 110错误!V。(2）T错误!错误!(s）,即时间间隔为 0.02 s。(3）电压的最大值为 220错误!V,当 100t错误!错误!，即t错误!s 时第一次取得最大值 能力提升（20

17、 分钟，40 分）11为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系，设秒针位置为P（x,y)若初始位置为P0错误!,当秒针从P0(注：此时t0）开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式可以是(）学必求其心得，业必贵于专精 -21-Aysin错误!Bysin错误!Cysin错误!Dysin错误!解析：由题意知，函数的周期为T60，|错误!错误!。设函数解析式为ysin错误!。初始位置为P0错误!，t0 时，y错误!，sin错误!，可取6，函数解析式可以是ysin错误!。又由秒针顺时针转动可知，y的值从t0 开始要先逐渐减小，故ysin错误!，故选 C.答案：C 12一半径为 6 米的水

18、轮如图,水轮圆心O距离水面 3 米,已知水轮每分钟转动 4 圈，水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为_秒 解析:过O作水平面的垂线，垂足为Q，如图所示 由已知可得OQ3，OP6，则 cosPOQ错误!，即POQ60，学必求其心得，业必贵于专精 -22-则水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120，即错误!个周期，又由水轮每分钟转动 4 圈，可知周期是 15 秒，故水轮上点P从水中浮现时开始到第一次达到最高点的用时为 5秒 答案：5 13心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数 120/80

19、 mmHg 为标准值,设某人的血压满足方程式P(t)11525sin（160t），其中P(t)为血压(mmHg），t为时间(min)，试回答下列问题:(1）求函数P（t）的周期;（2）求此人每分钟心跳的次数；(3)画出函数P(t）的草图；（4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较 解析:(1）由于160 代入周期公式T2，可得T错误!错误!(min），学必求其心得，业必贵于专精 -23-所以函数P(t）的周期为错误!min。(2）函数P（t)的频率f错误!80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为 80.(3)列表：t/min 0 错误!1160 错误!错误!P（t）/mmHg 1

20、15 140 115 90 115 描点、连线并左右扩展得到函数P（t)的简图如图所示 （4）此人的收缩压为 11525140(mmHg），舒张压为 1152590（mmHg），与标准值 120/80 mmHg 相比较,此人血压偏高 14某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y（米）随着时间t(0t24，单位:时）呈周期性变化，每天t时刻的浪高数据的平均值如下表：t（时）0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米)1.0 1。4 1。0 0。6 1.0 1。4 0.9 0。5 1.0(1）作散点图；学必求其心得，业必贵于专精 -24-(2)从yatb，yAsin(t)

21、b；yAtan(t）中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式;(3）如果确定在一天内的 7 时到 19 时之间，当浪高不低于 0。8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间 解析：（1）散点图如图所示，（2）由(1）知，选择yAsin（t）b较合适 令A0，0，|.由图知，A0.4，b1,T12，所以错误!错误!.把t0，y1 代入y0。4sin错误!1,得0.故所求拟合模型的解析式为y0。4sin6t1（0t24)（3）由y0。4sin错误!t10。8，得 sin错误!t错误!，则错误!2k错误!t错误!2k(kZ),即 12k1t12k7（kZ)，注意到t0，24，所以 0t7，或 11t19,或 23t24，学必求其心得，业必贵于专精 -25-再结合题意可知，应安排在 11 时到 19 时训练较恰当