函数求值域15种方法.pdf

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1、 整理为 word 格式 函数求值域 15 种方法 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。基本知识 1.定义：因变量 y 的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。2.函数值域常见的求解思路：划归为几类常见函数，利用这

2、些函数的图象和性质求解。反解函数，将自变量 x 用函数 y 的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数 y 的不等式，解不等式即可获解。可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于 x 的方程y=f(x)在定义域内有解的 y 得取值范围。特别地，若函数可看成关于 x 的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。可以用函数的单调性求值域。其他。1.直接观察法 对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域 例 1.求函数的值域。解：显然函数的值域是：2.配方法 配方法是求二次函数值域最基本的

3、方法之一。例 2.求函数的值域。解：将函数配方得：由二次函数的性质可知：当 x=1 时，当 x=-1 时，整理为 word 格式 故函数的值域是：4，8 3.判别式法 例 3.求函数 整理为 word 格式 的值域。解：两边平方整理得：（1）解得：但此时的函数的定义域由，得 由，仅保证关于 x 的方程：在实数集 R 有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应

4、综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4.反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 4.求函数值域。解：由原函数式可得：则其反函数为：整理为 word 格式，其定义域为：故所求函数的值域为：5.函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例 5.求函数的值域。解：由原函数式可得：，可化为：即 即 解得：故函数的值域为 6.函数单调性法 例 6.求函数的值域。解：令 则在2，10上都是增函数 所以在2，10上是增函数 当 x=2 时，当 x=10 时，整理为 word 格式 故所求函数的值域为：例 7.求函数

5、的值域。解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数 所以，在上也为无上界的增函数 所以当 x=1 时，有最小值，原函数有最大值 显然 y0，故原函数的值域为 7.换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作 例 8.求函数的值域。解：因 即 故可令 整理为 word 格式 故所求函数的值域为 整理为 word 格式 例 9.求函数的值域。解：原函数可变形为：可令，则有 当时，当时，而此时有意义。故所求函数的值域为 例 10.求函数，的值域。解：令，则 由 且 可得：整理为 w

6、ord 格式 当时，当时，故所求函数的值域为。例 11.求函数的值域。解：由，可得 故可令 当时，当时，故所求函数的值域为：8.数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例 12.求函数的值域。解：原函数可化简得：y=|x-2|+|x+8|上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2），B(-8)间的距离之和。由上图可知，当点 P 在线段 AB 上时，y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时，y=|x-2|+|x+8|AB|=10 故所求函

7、数的值域为：例 13.求函数的值域。整理为 word 格式 解：原函数可变形为：整理为 word 格式 上式可看成 x 轴上的点 P(x,0)到两定点 A(3,2),B(-2,-1)的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，故所求函数的值域为 例 14.求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点 A（3，2）到点 P（x，0）的距离与定点 B(-2,1)到点 P(x,0)的距离之差。即：y=|AP|-|BP|由图可知：（1）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时，如点 P，则构成ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有 即：（2）当点 P 恰好为直线 AB 与 x

8、 轴的交点时，有 综上所述，可知函数的值域为：注：由例 13，14 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使 A、B 两点在 x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使 A，B 两点在 x 轴的同侧。如：例 13 的 A，B 两点坐标分别为：（3，2），(-2,-1)，在 x 轴的同侧；例 14 的 A，B 两点坐标分别为（3，2），(2,-1)，在 x 轴的同侧。9.不等式法 利用基本不等式 整理为 word 格式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例 15.求函数的值域。解：原函数变形为：当且仅当 tanx

9、=cotx 即当时，等号成立 故原函数的值域为：例 16.求函数 y=2sinxsin2x 的值域。解：y=4sinxsinxcosx 当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为：10.映射法 整理为 word 格式 原理：因为 整理为 word 格式 在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例 17.求函数的值域。解：定义域为 由得 故或 解得 故函数的值域为 11最值法 对于闭区间a,b上的连续函数 y=f(x),可求出 y=f(x)在区间a,b内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数 y 的

10、值域。例 18.已知,且满足 x+y=1,求函数 z=xy+3x 的值域。点拨：根据已知条件求出自变量 x 的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解：，上述分式不等式与不等式同解，解之得1x3/2，又 x+y=1，将 y=1-x 代入 z=xy+3x 中，得(-1x3/2),且 x-1,3/2,函数 z 在区间-1,3/2上连续，故只需比较边界的大小。当 x=-1 时，z=5；当 x=3/2 时，z=15/4。函数 z 的值域为z5z15/4。点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。整理为 word 格式 12.构造法

11、 根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例 19.求函数 整理为 word 格式 的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为 作一个长为 4、宽为 3 的矩形 ABCD，再切割成 12 个单位正方形。设 HK=x,则EK=2-x,KF=2+x,。由三角形三边关系知，AK+KCAC=5。当 A、K、C 三点共线时取等号。原函数的知域为y|y5。点评：对于形如函数(a,b,c 均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。13比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数

12、，进而求出原函数的值域。例 20.已知 x,yR，且 3x-4y-5=0,求函数的值域。点拨：将条件方程 3x-4y-5=0 转化为比例式，设置参数，代入原函数。解：由 3x-4y-5=0 变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k 为参数)x=3+4k,y=1+3k,。当 k=3/5 时，x=3/5,y=4/5 时，。函数的值域为z|z1.点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。14利用多项式的除法 例 21.求函数 y=(3x+2)/(x+1)的值域。点拨：将原分式函数，利

13、用长除法转化为一个整式与一个分式之和。解：y=(3x+2)/(x+1)=31/(x+1)。1/(x+1)0，故 y3。函数 y 的值域为 y3 的一切实数。点评：对于形如 y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。15.多种方法综合运用 例 22.求函数的值域。解：令，则（1）当 t0 时，整理为 word 格式，当且仅当 t=1，即 x=-1 时取等号，所以（2）当 t=0 时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法 例 23.求函数的值域。解：令，则 当时，当时，此时都存在，故函数的值域为 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！整理为 word 格式