2020高中数学第1章坐标系.1极坐标系的概念学案4-.pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-2.1 极坐标系的概念 学习目标：1.了解极坐标系，理解极坐标的概念(重点)2.能在极坐标系中用极坐标判定点的位置(难点)3.能进行点坐标和极坐标的互化（易错易混点）教材整理 极坐标系与极坐标 1极坐标系的概念 如图所示,在平面内取一个定点O,叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向）这样就确定了一个平面极坐标系,简称极坐标系 2极坐标的概念 对于平面内任意一点M，用表示线段OM的长,表示以Ox为始边、OM为终边的角度，叫作点M的极径,叫作点M的极角,有序实数对（,)叫作点M的极坐标,记作M（，）.特别地，当点M

2、在极点时，它的极径0，极角可以取任意值 3点与极坐标的关系 学必求其心得，业必贵于专精 -2-一般地，极坐标(，)与（，2k)（kZ）表示同一个点,特别地，极点O的坐标为(0，）（R)和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示 如果规定0，02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)表示;同时，极坐标（，)表示的点也是唯一确定的 判断（正确的打“”，错误的打“”)（1）极轴是以极点为端点的一条射线（)（2)极角的大小是唯一的(）（3）点错误!与点错误!是同一个点(）解析(1)极轴是以极点为端点的一条射线(2）因为极角是以极轴为始边，终边是过极点与目标点的射线，可正、可

3、负，相差2k。（3)因为极角不相差 2 的整数倍，故不表示同一个点 答案（1)（2)(3）根据点的位置确定点的学必求其心得，业必贵于专精 -3-极坐标【例 1】设点A错误!，直线l为过极点且垂直于极轴的直线,分别求点A关于极轴、直线l、极点的对称点的极坐标（限定0,02）精彩点拨 欲写出点的极坐标，首先应确定和的值 尝试解答 如图所示，关于极轴的对称点为B错误!。关于直线l的对称点为C错误!。关于极点O的对称点为D错误!.四个点A，B，C，D都在以极点为圆心，2 为半径的圆上 1点的极坐标不是唯一的，但若限制0,02，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的 2写点的极坐标要注意顺序：极径在前,极角

4、在后，不能颠倒顺序 1 若使正六边形的一个顶点为极点且边长为a,极轴通过它的一学必求其心得，业必贵于专精 -4-边,试求正六边形各顶点的极坐标 解 建立如图所示的极坐标系，则正六边形各顶点的极坐标为：A(0,0），B(a,0)，C错误!,D错误!，E错误!，F错误!。极坐标确定点的位置【例 2】已知点A的极坐标是错误!，分别在下列给定条件下，画出点A关于极点O的对称点A的位置，并写出A的极坐标：（1)0，；(2）0,02；(3）0，20.精彩点拨 本题以极坐标系中点的对称为载体，主要考查极坐标系中点的极坐标的确定，同时考查应用极坐标系解决问题的能力 尝试解答 如图所示，OA|OA|6，学必求其

5、心得，业必贵于专精 -5-xOA错误!,xOA错误!,即A与A关于极点O对称,由极坐标的定义知：（1)当0,时，A点的坐标为错误!;(2）当0,02 时，A点的坐标为错误!；（3)当0，20 时，A点的坐标为错误!。由极坐标确定点的位置的步骤：（1）取定极点O;(2）作方向为水平向右的射线Ox为极轴；（3)以极点O为顶点，以极轴Ox为始边,通常按逆时针方向旋转极轴Ox确定出极角的终边；(4）以极点O为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置 2在同一个极坐标系中，画出以下各点:A错误!,B错误!,C错误!，D错误!。解 如图所示 学必求其心得，业必贵于专精 -6-极坐标系的建

6、立及应用 探究问题 1建立极坐标系需要哪几个要素?这几个要素间有什么关系？提示 建立极坐标系的要素是：（1)极点；（2)极轴;(3）长度单位；（4）角度单位和它的正方向，四者缺一不可极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的;极角的始边是极轴,它的终边随着的大小和正负而取得各个位置；的正方向通常取逆时针方向，的值一般是以弧度为单位的量数；点M的极径表示点M与极点O的距离OM，因此0。但必要时，允许0.2为什么点的极坐标不唯一？能用三角函数的概念解释吗？提示 根据我们学过的任意角的概念:一是终边相同的角有无数个，它们相差 2 的整数倍，所以点(，)还可以写成(，2k)（kZ)；二

7、是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，学必求其心得，业必贵于专精 -7-所以点（，）的坐标还可以写成(，2k)（kZ）【例 3】某大学校园的部分平面示意图如图所示 用点O，A，B，C，D，E，F分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标(限定0，02 且极点为（0，0）精彩点拨 解答本题先选定极点作极轴，建立极坐标系,再求出各点的极径和极角,即可得出各点的极坐标 尝试解答 以点O为极点,OA所在的射线为极轴Ox（单位长度为 1 m)，建立极坐标系，如图所示 由|OB600 m，AOB30，OAB90，得|AB|300 m,|OA300

8、错误!m，同样求得OD|2OF|300错误!m，所以各点的极坐标分别为 O（0,0)，A(300错误!，0)，B错误!，C错误!,D错误!，E(300，)，F错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -8-在极坐标系中,由点的位置求极坐标时,随着极角的范围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在0，0,2)的限定条件下，点的极坐标才是唯一的 3在极坐标系中，已知ABC的三个顶点的极坐标分别为A错误!，B（2，），C错误!.（1）判断ABC的形状；（2)求ABC的面积 解（1）如图所示，由A错误!，B（2，),C错误!得OA|OBOC2，AOBBOCAOC错误!。AOBBOCAOC，ABBCCA，故A

9、BC为等边三角形（2）由上述可知,AC2OAsin 错误!22错误!2错误!,学必求其心得，业必贵于专精 -9-SABC错误!（2错误!）23错误!。1在极坐标系中与点P错误!表示同一点的是()A.错误!B错误!C.错误!D错误!解析 在极坐标系中将点P确定,再逐个验证知 C 正确 答案 C 2已知极坐标平面内的点P错误!,则P关于极点的对称点的极坐标为()A。错误!B错误!C。错误!D错误!解析 点P错误!关于极点的对称点的极坐标为错误!。答案 D 3若A错误!，B错误!，O为极点，则AOB的面积为_ 解析 SAOB错误!错误!错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -10-答案 错误!4关于极

10、坐标系的下列叙述:极轴是一条射线；极点的极坐标是（0，0);点（0,0)表示极点；点M错误!与点N错误!表示同一个点 其中，叙述正确的序号是_ 解析 设极点为O，极轴就是射线Ox，正确；极点O的极径0，极角是任意实数，极点的极坐标应为（0，），错误；给定极坐标（0，0),可以在极坐标平面内确定唯一的一点，即极点，正确;点M与点N的极角分别是14,2错误!，二者的终边互为反向延长线，错误 答案 5 已知边长为 2 的正方形ABCD的中心在极点，且一组对边与极轴Ox平行，求正方形的顶点的极坐标(限定0，02）解 如图所示,由题意知|OA|OB|OC|OD错误!，学必求其心得，业必贵于专精 -11-xOA错误!，xOB错误!，xOC错误!,xOD错误!.正方形的顶点坐标分别为A错误!,B错误!，C错误!，D错误!.