2020高中数学第2章数列章末复习课学案.pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-第 2 章 数列 求数列的通项公式【例 1】已知数列an中，an0，Sn是数列an的前n项和，且an错误!2Sn，求an.解 将an错误!2Sn变形为a错误!12Snan.将anSnSn1(n2）代入并化简，得S错误!S错误!1。由已知可求得S1a11。数列S错误!是等差数列，公差为 1，首项为 1.学必求其心得，业必贵于专精 -2-S2n1（n1)1n。an0,Sn0。Sn错误!.n2 时，an错误!错误!。而n1 时，a11 也适合上式 数列an的通项公式为an错误!错误!,nN.1定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法适用于已知数

2、列类型的题目 2已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系,求数列an的通项an可用公式an错误!求解 3由递推公式求数列通项法(1）已知形如“an1cand”的递推公式，一般利用待定系数法把关系式转化为等比数列求an.学必求其心得，业必贵于专精 -3-(2)已知形如“an1panpn1q”的递推公式，一般转化为错误!错误!q，利用错误!为等差数列求an.(3)已知形如“an1anf（n)”的递推公式，可考虑叠加法求an.(4）已知形如“an1f(n）an”的递推公式，则可考虑累乘法求an。1已知数列an中,a11，且an1an3nn，求数列an的通项公式 解 由an1an3nn，得

3、anan13n1(n1），an1an23n2（n2）,a3a2322，a2a131.当n2 时，以上n1 个等式两边分别相加，得（anan1）(an1an2）(a2a1)3n13n23(n1）(n2）1,即ana1错误!错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -4-又a11,an错误!3n错误!错误!。显然a11 也适合上式，an的通项公式为an错误!3n错误!错误!。等差、等比数列的判断【例 2】已知数列an、bn满足：a11，a2a(a为常数)，且bn anan1，其中n1，2,3，.（1)若an是等比数列，试求数列bn的前n项和Sn的公式；（2）当bn是等比数列时，甲同学说:an一定是等比数

4、列；乙同学说:an一定不是等比数列你认为他们的说法是否正确？为什么?解(1）因为an是等比数列，a11，a2a，所以a0,anan1。又bnanan1，则b1a1a2a,错误!错误!错误!错误!a2，即bn是以a为首项，a2为公比的等比数列 学必求其心得，业必贵于专精 -5-所以Sn错误!(2）甲、乙两个同学说法都不正确,理由如下：法一：设bn的公比为q，则错误!错误!错误!q,且a0,又a11，a2a，a1,a3，a5，a2n1，是以 1 为首项，q为公比的等比数列；a2，a4,a6,，a2n，是以a为首项，q为公比的等比数列 即an为：1，a，q，aq，q2，aq2，,当qa2时，an是等

5、比数列；当qa2时,an不是等比数列 法二：an可能是等比数列，也可能不是等比数列，举例说明如下：设bn的公比为q.取aq1 时，an1（nN)，此时bnanan11，an、bn都是等比数列 取a2，q1 时，an错误!bn2（nN)此时bn是等比数列,而an不是等比数列 学必求其心得，业必贵于专精 -6-判定一个数列是等差或等比数列的常用方法：（1）定义法 an1and(d为常数，nN）an是等差数列 错误!q（q为非零常数，nN）an是等比数列(2）中项法 2an1anan2(nN)an是等差数列 a错误!anan2（anan1an20,nN）an为等比数列(3）通项公式法 anpnq（p

6、，q为常数,nN）an是等差数列 ancqn(c,q均为非零常数，nN）an是等比数列(4）前n项和公式法 SnAn2Bn(A，B均为常数,nN)an是等差数列 Snkqnk(k为常数，q1 且q0,nN)an是等比数列 2已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1,其中为常数(1）求证：an2an；(2）是否存在，使得an为等差数列？并说明理由 学必求其心得，业必贵于专精 -7-解（1）证明：由题意知anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1（an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2）存在4 满足题意理由如下：由题设知a11，a1a2S11，可

7、得a21.由（1)知，a31，令 2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首项为 1，公差为 4 的等差数列，a2n14n32（2n1)1，a2n是首项为 3，公差为 4 的等差数列 a2n4n12(2n)1。所以对于任意的nN，an2n1.因为an1an2.所以数列 an 是首项为 1，公差为 2 的等差数列 因此假设成立，存在4 使得数列an为等差数列.数列求和【例 3】(1)已知等比数列an中，a13，a481，若数列bn满足bnlog3an，则数列错误!的前n项和Sn_.(2)设数列an满足a12，an1an322n1.学必求其心得，业必贵于专精 -8-求数列an的通

8、项公式；令bnnan，求数列bn的前n项和Sn。解(1）设等比数列an的公比为q,则错误!q327，解得q3.所以ana1qn133n13n,故bnlog3ann,所以错误!错误!错误!错误!。则Sn112错误!错误!错误!错误!1错误!错误!.（2)由已知,当n1 时，an1(an1an）（anan1）（a2a1）a1 3（22n122n32）222（n1)1.而a12,符合上式，所以数列an的通项公式为an22n1.由bnnann22n1知 Sn12223325n22n1,(）从而 22Sn123225327n22n1，()（)(）得（122)Sn2232522n1n22n1，学必求其心得

9、，业必贵于专精 -9-即Sn错误!(3n1)22n12 数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和,不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解 一般常见的求和方法有:(1）公式法（直接利用等差或等比数列的前n项和公式）；（2)分组求和法;（3）错位相减法；(4)倒序相加法;(5）裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf（n）类型，可采用两项合并求解 3已知正项数列an中，a11，点(错误!，an1）（nN）在函数yx21

10、的图象上，数列bn的前n项和Sn2bn.学必求其心得，业必贵于专精 -10-（1）求数列an和bn的通项公式;(2)设cn错误!,求cn的前n项和Tn。解（1）点错误!(nN)在函数yx21 的图象上，an1an1，数列an是公差为 1 的等差数列 a11，an1（n1)n，Sn2bn，Sn12bn1，两式相减得：bn1bn1bn，即错误!错误!，由S12b1，即b12b1，得b11.数列bn是首项为 1，公比为错误!的等比数列，bn错误!n1。(2）log2bn1log2错误!nn，cn错误!错误!错误!,Tnc1c2cn错误!错误!错误!错误!1错误!错误!.函数与方程思想 在数列中的应用

11、 学必求其心得，业必贵于专精 -11-【例 4】（1）已知数列an的首项为a121，前n项和为Snan2bn，等比数列bn的前n项和Tn2n1a，则Sn的最大值为_；（2)若等差数列an中,a1a4a715，a2a4a645，则通项公式an_.解析（1）由Tn22na，可求得a2,所以Sn2n2bn,所以数列an为等差数列，又因为a121，Sn2n2bn，故b21（2)23,所以Sn2n223n 2错误!2错误!，当n6 时，Sn取得最大值 66。(2）因为a1a72a4a2a6，所以a1a4a73a415,所以a45,所以a2a610 且a2a69，所以a2，a6是方程x210 x90 的两

12、根，解得错误!或错误!若a21,a69，则d2,所以an2n3；学必求其心得，业必贵于专精 -12-若a29，a61,则d2，所以an132n。故an2n3 或an132n.答案（1)66(2）2n3 或 132n 1在等差（比）数列的通项公式和前n项和公式中共有 5 个量a1，d（或q),n，an及Sn，已知这 5 个量中任意 3 个量的值,就可以运用方程思想,解方程（或方程组）求出另外 2 个量的值 2数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集)的特殊函数运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决与数列相关的问题等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的

13、关系，等差数列前n项和公式与二次函数有密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题 4已知数列an中，a1错误!，anan12an11（n2，nN）,数列bn满足bn错误!（nN)(1)求证:bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项与最小项,并说明理由 学必求其心得，业必贵于专精 -13-解（1）因为anan12an11，所以an2错误!(n2,nN）又因为bn错误!（nN）,所以bn1bn1an11错误!错误!错误!错误!错误!1，所以bn 的公差d1,首项为b1错误!错误!错误!的等差数列（2）由（1)知：bn错误!错误!(n1）n72，所以an1错误!.所以n4 时，数列an单调递减且an1；当 1n3 时，数列an单调递减且an1，所以数列an的最大项为a43；最小项为a31.