2020高中数学第1章不等关系与基本不等式平均值不等式第1课时平均值不等式学案4-.pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-第 1 课时 平均值不等式 学习目标：1.了解两个（三个)正数的算术平均值与几何平均值（易错、易误点)2。掌握平均值不等式性质定理，能用性质定理证明简单的不等式（重点、难点)教材整理 平均值不等式 阅读教材 P10P12“思考交流”以上部分，完成下列问题 1定理 1：对任意实数a，b,有a2b22ab（当且仅当ab时取“”号）2定理 2：对任意两个正数a，b，有错误!错误!(当且仅当ab时取“”号)语言叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值 3定理 3：对任意三个正数a，b，c,有a3b3c33abc(当且仅当abc时取“号)4定理 4：对任意三个

2、正数a，b,c，有abc3错误!(当且仅当abc时取“”号)语言叙述为：三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值 学必求其心得，业必贵于专精 -2-判断(正确的打“”,错误的打“)(1）x错误!2。（）（2)ex错误!2.（)(3)当a，b，c不全为正数时，错误!错误!成立.()（4)ba错误!错误!3.(）解析（1）当x0 时,x错误!2，当x0 时，x错误!2.（2)因为 ex0，ex错误!2,当且仅当x0 时取等号（3)如a1，bc1时,错误!错误!，但错误!1.这时有错误!0 且a1);任意x错误!，tan x错误!2;任意xR，学必求其心得，业必贵于专精 -3-sin x错误!2。

3、其中真命题有（)A B C D 精彩点拨 关键看是否满足平均值不等式 自主解答 在,中，lg xR,sin x1，1，不能确定lg x0 与 sin x0，因此，是假命题 在中，ax0,ax错误!2 错误!2，当且仅当x0 时取等号,故是真命题 在中，当x错误!时，tan x0，有 tan x错误!2,且x错误!时取等号，故是真命题 答案 C 本题主要涉及平均值不等式成立的条件及取等号的条件在定理 1 和定理 2 中，“ab”是等号成立的充要条件但两个定理有区别又有联系：（1)错误!错误!是a2b22ab的特例，但二者适用范围不同，前者要求a，b均为正数，后者只要求a，bR;（2）a，b大于

4、0 是ab2错误!的充分不必要条件；a，b为实数是a2b22ab的学必求其心得，业必贵于专精 -4-充要条件 1设a，b为实数，且ab0，下列不等式中一定成立的个数是（)错误!错误!2；ab2错误!；错误!错误!错误!；错误!错误!ab.A1 B2 C3 D4 解析 ab0，错误!错误!2错误!2，成立;a，b0 时，不成立；错误!错误!错误!,成立；当a1，b2 时，不成立 因此,成立 答案 B 证明简单的不等式【例 2】（1）已知a,b,cR。求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2；（2）设a，b,c都是正数，求证:bca错误!错误!abc.学必求其心得，业必贵于专精 -5-精彩点拨

5、本题考查平均值不等式及不等式的性质等基础知识，同时考查推理论证能力 解答此题需要先观察所求式子的结构，然后拆成平均值不等式的和,再进行证明 自主解答（1)a4b42a2b2，同理a4c42a2c2,b4c42b2c2，将以上三个不等式相加得:a4b4a4c4b4c42a2b22a2c22b2c2，即a4b4c4a2b2a2c2b2c2。（2）当a0，b0 时，ab2错误!，错误!错误!2错误!2c.同理：错误!错误!2错误!2b,错误!错误!2错误!2a。将以上三个不等式相加得：2错误!2(abc），错误!错误!错误!abc。平均值不等式具有将“和式”和“积式”相互转化的放缩功能，常常用于证明

6、不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用平均值不等式的切入点但应注意连续多次使学必求其心得，业必贵于专精 -6-用平均值不等式定理的等号成立的条件是否保持一致 2设a，b，c为正数，求证：错误!(abc）227。证明 a0，b0，c0,abc3错误!0，从而(abc）29错误!0，又1a2错误!错误!3错误!0，错误!（abc）2 3错误!9错误!27.当且仅当abc时，等号成立 故原不等式成立.平均值不等式的变式及条件不等式的证明 探究问题 1不等式错误!错误!，错误!错误!成立的条件都是a，b，c为正数，在条件ba0 成立时，a，ab，错误!，错误!，错误!，b之间有怎

7、样的大小关系？提示 a错误!错误!错误!错误!b.学必求其心得，业必贵于专精 -7-2若问题中一端出现“和式”，另一端出现“积式”时，这便是应用不等式的“题眼”，那么若条件中有“和式为 1”时，应如何思考?提示 应用平均值不等式时，一定要注意条件a0，b 0，c0.若有“和式为 1”时,常反过来应用“1”的代换,即把“1”化成“和”，再试着应用平均值不等式【例 3】已知a0，b0，c0，求证：（1)ab2 错误!；(2）错误!错误!错误!错误!（abc)精彩点拨（1）式两端均是“和，不能直接利用平均值不等式，解决的关键是对 错误!的处理,先考虑平方关系，化难为易；(2)注意两边都是“和”式，可

8、利用(1）题的结论 自主解答（1）a2b22ab，2（a2b2)(ab)2，错误!错误!.又a0，b0,错误!错误!。（2）由(1）得 错误!错误!(ab)学必求其心得，业必贵于专精 -8-同理：错误!错误!（bc)，错误!错误!(ac)三式相加得：错误!错误!错误!错误!（abc）当且仅当abc时，取“”号 1第（2)问利用了第(1）问的结论错误!错误!，记住这一结论可帮我们找到解题思路，但此不等式要给予证明 2一般地,数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式,因此平均值不等式a2b22ab的形式可以是a22abb2，也可以是ab错误!，还可以是a错误!2b(a

9、0），b2a2ba等解题时不仅要会利用原来的形式,而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用 3已知a，b（0,），且ab1,求证：错误!2错误!2错误!.证明 因为a,b（0，)，且ab1,所以错误!错误!，当且仅当ab时，等号成立，所以错误!错误!ab错误!错误!4，a2b2(ab）22ab12ab12错误!错误!，错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 -9-错误!8。错误!错误!错误!错误!a2b24错误!错误!错误!48错误!，所以错误!错误!错误!2错误!。1“a0 且b0”是“ab2错误!”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A

10、2设x,y,z为正数,且xyz6，则 lg xlg ylg z的取值范围是（）学必求其心得，业必贵于专精 -10-A（,lg 6 B(，3lg 2 C lg 6，）D 3lg 2,)解析 6xyz3错误!，xyz8,lg xlg ylg zlg（xyz)lg 83lg 2.答案 B 3设ab0，把错误!，错误!，a，b按从大到小的顺序排列是_ 解析 ab0,a错误!错误!b。答案 a错误!错误!b 4不等式错误!错误!2 成立的充要条件是_ 解析 由错误!错误!2,知错误!0，即ab0。又由题意知，错误!错误!，ab。因此,错误!错误!2 的充要条件是ab0 且ab。答案 ab0 且ab 5(2019全国卷）已知a，b，c为正数,且满足abc1。证明：学必求其心得，业必贵于专精 -11-(1)错误!错误!错误!a2b2c2；(2)(ab）3（bc）3(ca）324.解(1）因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac,且abc1，故有 a2b2c2abbcca错误!错误!错误!错误!。所以错误!错误!错误!a2b2c2。（2)因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)3（bc)3（ca)33错误!3（ab）(bc)（ac)3(2错误!）（2错误!）（2错误!）24。所以（ab）3(bc）3(ca）324。