2020高中数学第七章复数.1.1数系的扩充和复数的概念学案第二册.pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-71.1 数系的扩充和复数的概念 考点 学习目标 核心素养 复数的有关概念 了解数系的扩充过程，理解复数的概念 数学抽象 复数的分类 理解复数的分类 数学抽象 复数相等 掌握复数相等的充要条件及其应用 数学运算 问题导学 预习教材 P68P70 的内容，思考以下问题:1复数是如何定义的？其表示方法又是什么?2复数分为哪两大类？3复数相等的条件是什么？1复数的有关概念（1)复数的定义 形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足i21 学必求其心得，业必贵于专精 -2-（2)复数集 全体复数所构成的集合 Cabi|a，bR叫做复数集（3）复数

2、的表示方法 复数通常用字母z表示，即zabi（a，bR)，其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部 名师点拨 对复数概念的三点说明（1)复数集是最大的数集,任何一个数都可以写成abi（a，bR）的形式，其中 000i。(2）复数的虚部是实数b而非bi。(3）复数zabi 只有在a,bR 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式 2复数相等的充要条件 在复数集 Cabi|a,bR中任取两个数abi，cdi(a，b，c，dR)，我们规定:abi 与cdi 相等当且仅当ac且bd 3复数的分类（1)复数zabi(a，bR）错误!(2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 学必求其心得，业必贵于

3、专精 -3-名师点拨 复数bi(bR)不一定是纯虚数，只有当b0 时，复数bi（bR)才是纯虚数 判断（正确的打“，错误的打“”）(1)若a，b为实数，则zabi 为虚数(）(2)复数z13i,z22i，则z1z2。(）（3）复数zbi 是纯虚数()(4）实数集与复数集的交集是实数集（）答案：（1)（2）（3)（4）若za（a21）i（aR，i 为虚数单位）为实数，则a的值为（)A0 B1 C1 D1 或1 答案：D 以 3i错误!的虚部为实部,以3错误!i 的实部为虚部的复数是(）学必求其心得，业必贵于专精 -4-A33i B3i C错误!错误!i D.错误!错误!i 答案：A 若（x2y）

4、i2x13i，则实数x，y的值分别为_ 答案：错误!错误!复数的概念 下列命题：若aR，则(a1)i 是纯虚数；若a，bR，且ab,则aibi；若（x24）（x23x2）i 是纯虚数，则实数x2;实数集是复数集的真子集 其中正确的命题是(）A B C D【解析】对于复数abi(a,bR),当a0 且b0 时，为纯虚数对于,若a1，则（a1)i 不是纯虚数，即错误；两个虚数不能比较大小，则错误；对于，若x2,则x240，x2学必求其心得，业必贵于专精 -5-3x20，此时(x24)（x23x2)i0 不是纯虚数，则错误；显然，正确故选 D。【答案】D 错误!判断与复数有关的命题是否正确的方法(1

5、)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊,后一般,先否定，后肯定”的方法进行解答（2）化代数形式：对于复数实部、虚部的确定,不但要把复数化为abi 的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部 提醒 解答复数概念题,一定要紧扣复数的定义，牢记 i 的性质 对于复数abi(a，bR)，下列说法正确的是（）A若a0，则abi 为纯虚数 B若a(b1)i32i，则a3，b2 C若b0，则abi 为实数 Di 的平方等于 1 解析：选 C.对于 A，当a0 时，abi 也可能为实数；学必求其心得，业必贵于专精 -6-对于 B,若a（b

6、1)i32i，则a3，b1；对于 D，i 的平方为1.故选 C。复数的分类 当实数m为何值时，复数zm2m6m（m22m）i：(1)为实数？（2)为虚数？(3）为纯虚数？【解】（1)当错误!即m2 时，复数z是实数（2）当m22m0 且m0，即m0 且m2 时,复数z是虚数(3)当错误!即m3 时，复数z是纯虚数 错误!解决复数分类问题的方法与步骤（1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为abi(a,bR)的形式，以确定实部和虚部(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式）即可(3)下结论:设所给复数为za

7、bi(a，bR)，学必求其心得，业必贵于专精 -7-z为实数b0;z为虚数b0；z为纯虚数a0 且b0。1 若复数a2a2(a11)i(aR)不是纯虚数，则（）Aa1 Ba1 且a2 Ca1 Da2 解析:选 C.复数a2a2（|a11）i(aR)不是纯虚数，则有a2a20 或|a110，解得a1。故选 C.2当实数m为何值时,复数 lg（m22m7）（m25m6）i 是：(1）纯虚数;（2)实数 解：(1)复数 lg(m22m7)（m25m6）i 是纯虚数，则m22m71m25m60，解得m4.(2）复数 lg(m22m7）（m25m6)i 是实数，则错误!解得m2 或m3.复数相等 学必求

8、其心得，业必贵于专精 -8-(1）(2019浙江杭州期末考试）若z134i，z2(n23m1)（n2m6）i(m，nR)，且z1z2，则mn（)A4 或 0 B4 或 0 C2 或 0 D2 或 0(2)若 log2(x23x2）ilog2（x22x1)1，则实数x的值是_【解析】(1)由z1z2，得n23m13 且n2m64，解得m2,n2，所以mn4 或 0，故选 A.（2）因为 log2(x23x2）ilog2（x22x1)1,所以log2（x23x2）1，log2（x22x1）0即x23x22，x22x11，解得x2。【答案】（1）A(2)2 错误!复数相等的充要条件 复数相等的充要条

9、件是“化虚为实”的主要依据,多用来求解参数解决复数相等问题的步骤是:分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组)求解 注意 在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a,b，c，dR，即当a,b,c，dR 时，abicdiac且bd。若忽略学必求其心得，业必贵于专精 -9-前提条件，则结论不能成立 已知A1，2,a23a1(a25a6）i，B1，3，AB3，求实数a的值 解：由题意知,a23a1（a25a6)i3（aR)，所以错误!即错误!所以a1.1若复数zai2bi(a,bR)是纯虚数，则一定有（）Ab0 Ba0 且b0 Ca0 或b0 Dab0 解析：选

10、 B.zai2biabi，由纯虚数的定义可得a0 且b0。2若复数zm21（m2m2)i 为实数，则实数m的值为()A1 B2 C1 D1 或 2 解析：选 D.因为复数zm21（m2m2)i 为实数，学必求其心得，业必贵于专精 -10-所以m2m20，解得m1 或m2。3若复数z（m1）（m29)i0，则实数m的值等于_ 解析：因为z0,所以错误!解得m3。答案：3 4已知错误!(x22x3）i(xR），则x_ 解析:因为xR，所以错误!R，由复数相等的条件得错误!解得x3.答案：3 A 基础达标 1 以3i的虚部为实部,以3ii2的实部为虚部的复数是()A1i B1i C33i D33i

11、解析：选 A。3i 的虚部为 1，3ii213i 的实部为1，故所求复数为 1i。2 在复平面内,复数z（a22a)(a2a2)i是纯虚数，则（）学必求其心得，业必贵于专精 -11-Aa0 或a2 Ba0 Ca1 且a2 Da1 或a2 解析:选 B.因为复数z（a22a）（a2a2)i 是纯虚数,所以a22a0 且a2a20,所以a0。3若xii2y2i，x，yR，则复数xyi（）A2i B2i C12i D12i 解析：选 B。由 i21，得xii21xi,则由题意得 1xiy2i,根据复数相等的充要条件得x2，y1,故xyi2i.4复数za2b2(aa|）i（a，bR)为实数的充要条件是

12、()Aab|Ba0 且ab Da0 解析:选 D.复数z为实数的充要条件是aa|0，即|a|a，得a0,故选 D。5下列命题：若zabi，则仅当a0 且b0 时，z为纯虚数；若z错误!z错误!0，则z1z20;学必求其心得，业必贵于专精 -12-若实数a与ai 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系 其中正确命题的个数是（)A0 B1 C2 D3 解析：选 A。在中未对zabi 中a，b的取值加以限制，故错误；在中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z11,z2i，则z错误!z错误!110，但z1z20,故错误；在中忽视 0i0，故也是错误的故选 A.6如果x1yi 与 i3x为相等复数，x

13、，y为实数，则x_，y_ 解析：由复数相等可知错误!所以错误!答案:错误!1 7复数z1（2m7)(m22)i,z2(m28)(4m3）i，mR,若z1z2，则m_.解析:因为mR，z1z2，所以(2m7）(m22）i(m28)(4m3）i。由复数相等的充要条件得错误!解得m5.学必求其心得，业必贵于专精 -13-答案：5 8设zlog2(1m)ilog错误!(3m）(mR)是虚数，则m的取值范围是_ 解析：因为z为虚数，所以 log错误!(3m)0，故错误!解得1m3 且m2.答案：（1，2）(2，3)9已知复数z(m25m6）(m22m15）i(mR)(1)若复数z是实数，求实数m的值；(

14、2)若复数z是虚数，求实数m的取值范围；(3）若复数z是纯虚数，求实数m的值；（4)若复数z是 0，求实数m的值 解：（1）当m22m150 时，复数z为实数,所以m5 或3.(2）当m22m150 时，复数z为虚数 所以m5 且m3.所以实数m的取值范围为m|m5 且m3（3)当错误!时，复数z是纯虚数,所以m2.（4)当错误!时，复数z是 0,所以m3.学必求其心得，业必贵于专精 -14-10已知关于x，y的方程组 错误!有实数解，求实数a，b的值 解：设（x0，y0)是方程组的实数解，由已知及复数相等的条件,得错误!由得错误!代入得错误!所以实数a,b的值分别为 1，2.B 能力提升 1

15、1“复数 4a2（1aa2)i(aR)是纯虚数”是“a2的（)A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 B。因为 1aa2错误!错误!错误!0，所以若复数 4a2(1aa2）i(aR）是纯虚数,则 4a20，即a2;当a2时，4a2（1aa2）i7i 为纯虚数，故选 B。12满足方程x22x3(9y26y1）i0 的实数对(x,y）表示的点的个数为_ 学必求其心得，业必贵于专精 -15-解析：由题意知x22x309y26y10，解得错误!或错误!所以实数对(x，y）表示的点有错误!,错误!，共有 2 个 答案：2 13已知复数zm23m1（m25m6)i

16、0（mR)，则m的值为 _ 解析:因为z0，所以zR,所以m25m60,解得m2 或m3.当m3 时，z10,不符合题意，舍去；当m2 时，z10，符合题意 故m的值为2.答案:2 14已知集合M(a3)(b21）i,8，集合N3i，(a21）（b2)i，且MNM，MN，求整数a，b的值 解：若MN3i，则（a3）（b21)i3i，即a30且b213，得a3,b2。当a3，b2 时，M3i，8，N3i,8，MNM，学必求其心得，业必贵于专精 -16-不合题意，舍去；当a3，b2 时，M3i,8,N3i，84i 符合题意 所以a3，b2。若MN8，则 8（a21)（b2)i，即a218 且b20

17、，得a3，b2。当a3,b2 时，不合题意，舍去;当a3，b2 时，M63i，8,N3i，8，符合题意 所以a3，b2.若MN(a3)(b21)i(a21）（b2）i，则错误!即错误!此方程组无整数解 综上可得a3，b2 或a3,b2.C 拓展探究 15已知复数z1a22aai，z22xy（xy）i，其中a，x，yR，且z1z2，求 3xy的取值范围 解：由复数相等的充要条件,得a22a2xyaxy，消去a,得x2y22x2y0，即(x1）2(y1）22。法一：令t3xy，则y3xt。学必求其心得，业必贵于专精 -17-分析知圆心（1，1)到直线 3xyt0 的距离d错误!错误!,解得 22错误!t22错误!，即 3xy的取值范围是22错误!，22错误!法二：令错误!得错误!（R）所以 3xy错误!sin 3错误!cos 22错误!sin（）2(其中tan 3），于是 3xy的取值范围是22错误!，22错误!