2021届湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟高三上学期起点联考数学试题(解析版).pdf

《2021届湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟高三上学期起点联考数学试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟高三上学期起点联考数学试题(解析版).pdf（21页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、努力的你，未来可期!精品 2021 届湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟高三上学期起点联考数学试题 一、单选题 1复数1z在复平面内对应的点为1,3，22zi （i为虚数单位），则复数12zz的虚部为（）.A75 B75 C7i5 D7i5【答案】B【解析】根据题意，先得到11 3zi，再由复数的除法运算求出12zz，即可得出其虚部.【详解】因为复数1z在复平面内对应的点为1,3，所以11 3zi，又22zi ，所以121 321 32631 7172224 1555iiziiiiiziii ，因此其虚部为75.故选：B.【点睛】本题主要考查求复数的虚部，考查复数的除法运算，涉及复数的几何

2、意义，属于基础题型.2设xR，则“2x”是“22x”的（）.A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求出222xx或2x ，再根据集合间的关系，即可得答案；【详解】222xx或2x ，2x 2x 或2x ，努力的你，未来可期!精品 但后面推不出前面，“2x”是“22x”充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查利用集合间的关系求解充分不必要条件，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于基础题.3 周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑

3、、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为 49.5 尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为 10.5 尺，则立秋的晷长为（）A1.5 尺 B2.5 尺 C3.5 尺 D4.5 尺【答案】D【解析】设等差数列 na的首项为1a，公差为 d，根据题意列出方程组求解即可.【详解】夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列 na，设其首项为1a，公差为 d，根据题意9131115=1.510.49.593649.5365.5110Saaaaaddad，立秋的晷长为41.534

4、.5a.故选：D【点睛】本题考查等差数列的通项公式、求和公式，属于基础题.4若正数,x y满足135yx，则34xy的最小值是（）A245 B285 C5 D25【答案】C【解析】根据正数,x y满足135yx，可得1 1315yx，则努力的你，未来可期!精品 11334(34)5xyxyyx，展开利用基本不等式即可求得结果.【详解】正数,x y满足135yx，则1131312131234(34)131325555xyxyxyxyyxyxyx，当且仅当21xy时取等号，34xy的最小值是 5.故选：C.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题方法为“1”的代换法，考查分析理解，计算求值的能力

5、，属基础题.5已知函数 fx是定义在 R上的奇函数，且在0,上单调递减，30f，则不等式10f x的解集为（）A3,3 B,21,4 C,41,2 D 30 3,【答案】B【解析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得函数的大致图象，据此分析可得关于x的取值范围，即可得答案.【详解】根据题意，函数 fx是定义在 R 上的奇函数，且在0,上单调递减，则 fx在,0上递减，又由 30f，则 30f，则函数 fx的草图如图：努力的你，未来可期!精品 若10f x，则有13x 或013x，解得2x 或14x 即不等式的解集为,21,4；故选：B.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意作

6、出函数的简图，分析不等式的解集.6已知两点1,2A，3,6B，动点M在直线yx上运动，则MAMB的最小值为（）A2 5 B26 C4 D5【答案】B【解析】根据题意画出图形，结合图形求出点A关于直线yx的对称点A，则AB即为MAMB的最小值.【详解】根据题意画出图形，如图所示：设点A关于直线yx的对称点2,1A，连接A B，则AB即为MAMB的最小值，且22=32+6 1=26A B.故选：B.【点睛】努力的你，未来可期!精品 本题考查了动点到定点距离之和最小值问题，解题方法是求出定点关于直线对称的点坐标，然后运用两点之间的距离公式求出最值.7如图，直四棱柱1111ABCDABC D的底面是菱

7、形，12AAAB，60BAD，M 是1BB的中点，则异面直线1AM与1BC所成角的余弦值为（）A105 B15 C15 D105【答案】D【解析】用向量1,AB BC BB分别表示11,AM BC,利用向量的夹角公式即可求解.【详解】由题意可得221111111111,5,2AMABB MABBBAMABB M221111,2 2BCBCBBBCBCBB，21111111111122cos,2 102 10ABBBBCBBAB BCBBAM BCAM BCAM BC 012 2 cos604102.52 10 故选：D【点睛】本题主要考查用向量的夹角公式求异面直线所成的角，属于基础题.8已知某

8、 7 个数据的平均数为 5，方差为 4，现又加入一个新数据 5，此时这 8 个数的方差2s为（）A52 B3 C72 D4 努力的你，未来可期!精品【答案】C【解析】由平均数公式求得原有 7个数的和，可得新的 8 个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差【详解】因为 7 个数据的平均数为 5，方差为 4，现又加入一个新数据 5，此时这 8 个数的平均数为x，方差为2s，由平均数和方差的计算公式可得7 5558x，227 455782s.故选：C.【点睛】本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键 9621xy的展开式中，3xy的系数为（）.A120 B4

9、80 C240 D320【答案】A【解析】直接根据三项的二项展开式的特点，写出3xy项，即可得答案；【详解】621xy的展开式中，3xy项是由 6个因式21xy中，1 个因式出2x，3 个因式出y，2 个因式出1，含3xy的项为31332652(2)1120CxCyCxy，3xy的系数为120，故选：A.【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意根据二项式定理知识的生成过程，直接求解.10 已知圆O：221xy上恰有两个点到直线l：1ykx的距离为12，则直线l的倾斜角的取值范围为（）A20,323 B20,33 C2,3 223 D2,3 23 努力

10、的你，未来可期!精品【答案】B【解析】根据圆心到直线的距离1 3,2 2d可求直线斜率的取值范围，从而可求倾斜角的取值范围.【详解】设圆心到直线的距离为d.因为圆O：221xy上恰有两个点到直线l：1ykx的距离为12，故1 3,2 2d，所以2113221k，解得33k，故倾斜角的范围为20,33，故选：B.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意根据圆上到直线的距离等于定值的点的个数确定圆心到直线的距离的范围，本题属于中档题.11已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第 6 次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是（）A14 B516 C38 D12【答案】B【解

11、析】将问题转化为一个数为零，每次加1或者减1，经过 6次后，结果还是零的问题.用古典概型的概率计算公式即可求得结果.【详解】该问题等价于：一个数据为零，每次加1或者减1，经过 6次后，结果还是零的问题.则每次都有加 1 或者减 1两种选择，共有6264种可能；要使得结果还是零，则只需 6次中出现 3次加 1，剩余 3次为减 1，故满足题意的可能有：3620C 种可能.故满足题意的概率2056416P.故选：B.【点睛】本题考查古典概型的概率求解，属基础题.努力的你，未来可期!精品 12若函数2()24xf xxmxe在区间2，3上不是单调函数，则实数 m的取值范围是（）A20 17,32 B2

12、0 17,32 C205,3 D205,3【答案】B【解析】首先求出导函数，使 fx在区间(2,3)上有解，分离参数可得22242(1)411xmxxx，设1,(3,4)xt t，从而可得22()mtg tt，利用导数即可求解.【详解】因为函数2()24xf xxmxe，所以22()24(4)2(4)4xxxfxexmxexmexm xm，若()f x在区间(2,3)上不是单调函数，则()0fx在区间(2,3)上有解，即22(4)40 xm xm在区间(2,3)上有解，即2222(1)4(1)2242(1)4111xxxmxxxx 设1,(3,4)xt t，则22()mtg tt，22()20

13、g tt，2017(3)()(4)32gg tg 所以201732m，实数m的取值范围是20 17,32，故选：B.【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，分离参数法求参数的取值范围，属于中档题.二、填空题 努力的你，未来可期!精品 13已知向量1,1a ，1,bk，若aba，则k的值为 _.【答案】3【解析】根据向量垂直则数量积为零，即可由坐标计算求得结果.【详解】容易知ab2,1 k 因为aba，故可得210k，解得3k.故答案为：3.【点睛】本题考查向量垂直的坐标计算，属简单题.142018 年 5 月至 2019 年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅

14、仅几个月，蝗虫数量增长了 8000 倍，引发了蝗灾，到 2020 年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为 5%，最初有0N只，则经过_天能达到最初的 16000 倍（参考数据：ln1.050.0488,ln1.50.4055,ln16007.3778，ln160009.6803.【答案】199【解析】设过x天能达到最初的 16000 倍，得到方程00(10.05)16000 xNN，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】设过x天能达到最初的 16000 倍，由已知00(10.05)16000 xNN，解得ln16000198.4ln1.05x，又因为xN，所以过 199 天能达到

15、最初的 16000倍.故答案为：199.【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出方程，结合对数的运算公式求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.15双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别为1,0Fc、2,0F c，过努力的你，未来可期!精品 1F且斜率为3的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A、B（B在右侧），若220BABFAF，则C的离心率为_.【答案】1132【解析】先由220BABFAF，得出2BFBA，再由双曲线的定义，求出112AFBFBAa，2124AFaAFa，根据直线斜率得到1260AF F，由余弦定理列出方程求解，即可得出结果.

16、【详解】由22222220BABFAFBABFBFBABFBA得2BFBA，又由题意可得，A为双曲线左支上的点，B为双曲线右支上的点，根据双曲线的定义可得，122BFBFa，212AFAFa，所以112AFBFBAa，因此2124AFaAFa，因为直线AB的斜率为3，所以1260AF F，又122FFc，所以22222222112211244163cos602422AFFFAFacacaAF FFacac，即2230caca，所以230ee，解得1132e或1132e（舍，双曲线的离心率大于 1）.故答案为：1132.努力的你，未来可期!精品【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的定

17、义和双曲线的简单性质即可，属于常考题型.16 在数列 na中，11a，且 131nnnaa，则数列 na的前 2021 项和为_.【答案】2022318【解析】由已知条件可得1111(1)3(=1)44nnnnaa，即得数列的通项公式31(1)44nnna，从而可得前 2021 项和.【详解】由 131nnnaa 可得1111(1)3(=1)44nnnnaa，所以数列1(1)4nna是首项为34，公比为 3的等比数列，所以31(1)44nnna，212212212123131(1)(1)34444nnnnnnnaa，123420202010102021202220212201913 1 931

18、3114489Saaaaaaa 故答案为：2022318【点睛】本题考查由递推关系式求通项，考查求数列的前 n项和，考查运算求解能力，属于中档题.三、解答题 17已知 na 是公差不为零的等差数列，37a ，且249,a a a成等比数列（1）求 na的通项公式；（2）设11nnnbaa，求数列 nb 的前n 项和nS.【答案】（1）32nan；（2）31nnSn.努力的你，未来可期!精品【解析】（1）根据题意，用等差数列的基本量转化条件，求得首项和公差，则问题得解；（2）根据（1）中所求，用裂项求和法即可求得结果.【详解】（1）设 na的公差为d，因为2a，4a，9a成等比数列 2429aa

19、 a，可得2111(3)8adadad，213da d，0d，所以13da，又3127aad,解得11a，3d，32nan；（2）111111(32)(31)3 3231nnnbaannnn 121 111 111113 143 473 3231nnSbbbnn 1 113 13131nnSnn【点睛】本题考查利用等差数列的基本量求通项公式，以及用裂项求和法求数列的前n项和，涉及等比中项的应用，属中档题.18 已知函数 sin0,06fxAxA只能同时满足下列三个条件中的两个：函数 fx的最大值为 2；函数 fx的图象可由2sin4yx的图象平移得到；函数 fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为

20、2.（1）请写出这两个条件序号，并求出 fx的解析式；（2）求方程 10f x 在区间,上所有解的和.【答案】（1）满足的条件为；2sin 26fxx（2）23【解析】（1）根据题意，条件互相矛盾，所以为函数 sin6fxAx满足的条件之一，根据条件，可以确定函数的最小正周期，进而求得的值，并对条件努力的你，未来可期!精品 作出判断，最后求得函数解析式；（2）将 2sin 26fxx代入方程 10f x ，求得1sin 262x，从而确定出22 66xkk Z或722 66xkkZ，结合题中所给的范围，得到结果.【详解】（1）函数 sin6fxAx满足的条件为；理由如下：由题意可知条件互相矛盾

21、，故为函数 sin6fxAx满足的条件之一，由可知，T，所以2，故不合题意，所以函数 sin6fxAx满足的条件为；由可知2A，所以 2sin 26fxx；（2）因为 10f x ，所以1sin 262x，所以22 66xkk Z或722 66xkkZ，所以6xkk Z或2xkkZ，又因为,x，所以 x 的取值为6，56，2，2，所以方程 10f x 在区间,上所有的解的和为23.【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦型函数的性质，结合性质确定函数解析式，届三角方程，属于简单题目.19如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD是菱形，PAPC，BDPA，E是BC上一点，且3

22、ECBE，设ACBDO.努力的你，未来可期!精品 （1）证明：PO平面ABCD；（2）若60BAD，PAPE，求二面角APEC的余弦值.【答案】（1）见解析（2）155【解析】（1）由已知可得BDAC，BDPA，由直线与平面垂直的判定可得BD 平面PAC，得到BDPO，再由POAC，进一步得到PO平面ABCD；（2）由（1）知，PO平面ABCD，BDAC，以 O 为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设四边形ABCD的边长为 4，POa，由PAPE列式求解 a，可得所用点的坐标，再求出平面PAE与平面PEC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面

23、角APEC的余弦值.【详解】（1）证明：四边形ABCD是菱形，O是AC的中点，BDAC，BDPA，PAACA，BD 平面PAC，PO 平面PAC，BDPO.PAPC，O是AC的中点，POAC.AC 平面ABCD，BD 平面ABCD，ACBDO，PO平面ABCD；（2）解：由（1）知，PO平面ABCD，BDAC.以 O为坐标原点，以OA，OB，OP所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系.设四边形ABCD的边长为 4，POa.四边形ABCD是菱形，60BAD，ABD与BCD都是等边三角形.2 3OAOC.努力的你，未来可期!精品 0,0,Pa，2 3,0,0A，2 3,0,0C，3 3,02

24、2E，2 3,0,PAa，3 3,22PEa，3 33,022EC.PAPE，3 32 3,0,022PA PEaa，即230a，得3a.2 3,0,3PA，3 3,322PE.设平面PAE的法向量为111,mx y z，由111112 330333022m PAxzm PExyz，取12z，得5 31,23m；设平面PEC的一个法向量为222,nxy z，由222223 33022333022n ECxyn PExyz ，取21x ，得1,3,2n .设二面角APEC的平面角为，由图可得，为钝角，则15cos5m nmn .二面角APEC的余弦值为155.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定

25、，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题.20已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线75120 xy相切（1）求椭圆C的方程；（2）设(4,0)A，过点(3,0)R作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接努力的你，未来可期!精品 AP，AQ分别交直线163x 于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为1k、2k，试问：12k k是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由【答案】(1)2211612xy;(2)12k k为定值127.【解析】试题分析：（1）根据离心率、直线与圆相切建立关于,a

26、 b c的方程组，过得,a b c，从而得到椭圆的方程；（2）设11(,)P x y，22(,)Q xy，直线PQ的方程为3xmy，联立椭圆方程消去x，得到关于y的方程，再利用韦达定理得到12,y y之间的关系，从而得到12k k的关系 试题解析：（1）由题意得2221,212,75,cababc解得4,2 3,2,abc故椭圆C的方程为2211612xy （2）设11(,)P x y，22(,)Q xy，直线PQ的方程为3xmy，由221,16123,xyxmy 得22(34)18210mymy 1221834myym，1222134y ym，由A，P，M三点共线可知，111643Myyx，

27、所以112834Myyx；同理可得222834Nyyx 所以1291616493333NMNMyy yyk k 121216(4)(4)y yxx 因为1212(4)(4)(7)(7)xxmymy212127()49m y ym yy，所以121221212167()49y yk km y ym yy222221161234211877493434mmmmm 【考点】1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、椭圆的几何性质；3、直线的斜率【方法点睛】解答直线与椭圆的位置关系的相关问题时，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，再应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦努力的你，未来可

28、期!精品 长问题利用弦长公式AB2121 kxx或AB解决，往往会更简单 21在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩.防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了 100 个，将其质量指标值分成以下五组：100,110，110,120，120130,，130140,，140,150，得到如下频率分布直方图.（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于 130的为二级口罩，质量指标值不低于 130

29、的为一级口罩.现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取 8 个口罩，再从中抽取 3 个，记其中一级口罩个数为X，求X的分布列及数学期望；（2）在 2020 年“五一”劳动节前，甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加A店一个订单“秒杀”抢购，同时乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加B店一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由2,n nnN个该型号口罩构成.假定甲、乙两人在A，B两店订单“秒杀”成功的概率均为212n，记甲，乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为X，Y.求X的分布列及数学期望 E X；当Y的数学期望 E Y取最大值时正整数n的值.【答案】（1）分布列见解析；期望为34；（

30、2）分布列见解析；期望为222n；n的值为 2.努力的你，未来可期!精品【解析】（1）由题意，根据分层抽样，确定抽取的二级、一级口罩个数分别为 6，2，得出X的可能取值，求出对应的概率，即可得出分布列，从而可求出期望；（2）先由题意，得到X的可能取值，求出对应的概率，即可得出分布列，从而求出对应的期望；根据题意，得到YnX，由（1）的结果，根据期望的运算性质，即可求出结果.【详解】（1）由题意，样本中一级口罩和二级口罩的频率之比为：0.20.05:1 0.20.051:3，按分层抽样抽取 8 个口罩，则其中二级、一级口罩个数分别为 6，2.故X的可能取值为 0，1，2.3062385014CC

31、P XC，21623815128CCP XC，1262383228CCP XC，所以X的分布列为 X 0 1 2 P 514 1528 328 所以 515330121428284E X .（2）由题知，X的可能取值为 0，1，2，221012P Xn，221112 122P Xnn，4122P Xn，所以X的分布列为 X 0 1 2 P 22112n 22112 122nn 412n 所以 42222222112 122E Xnnnn.努力的你，未来可期!精品 因为YnX，所以 222214442424nE YnE Xnnnnn，当且仅当2n 时取等号，所以 E Y取最大值时，n的值为 2.

32、【点睛】本题主要考查求离散型随机变量的分布列和期望，熟记离散型随机变量的分布列和期望的概念，以及期望的运算性质即可，属于常考题型.22设 2sincos,4f xxxx g xx.（1）讨论 f x在,上的单调性；（2）令 4h xg xf x，试证明 h x在R上有且仅有三个零点.【答案】（1）()f x的单调递增区间是,0,22 ，递减区间是,0,22 ；（2）证明见解析.【解析】（1）首先求导得到()cosfxxx，再根据导函数的正负性即可得到函数的单调区间.（2）首先根据2()44 sin4cosh xxxxx，(0)0h得到0 x 是()h x的一个零点，再根据()h x是偶函数得到

33、()h x在R上的零点个数，只需确定0 x 时，()h x的零点个数即可，再求出()h x在0 x 时的单调性和最值，确定其零点个数即可.【详解】()sincossincosfxxxxxxx，令()0fx，则0 x 或2x.,2x 时，()0fx，()f x单调递增，,02x 时()0fx，()f x单调递减，0,2x时，()0fx，()f x单调递增，,2x时，()0fx，()f x单调递减.努力的你，未来可期!精品()f x的单调递增区间是,0,22 ，递减区间是,0,22 .（2）2()44 sin4cosh xxxxx，因为(0)0h，所以0 x 是()h x的一个零点.22()()4

34、4()sin()4cos()44 sin4cos()hxxxxxxxxxh x 所以()h x是偶函数，即要确定()h x在R上的零点个数，需确定0 x 时，()h x的零点个数即可.当0 x 时，()24 cos2(1 2cos)h xxxxxx 令()0h x，即1cos223xxkx，或23xkx()kN.(0,)3x时，()0,()h xh x单调递减，且22 3()20393h，5(,)3 3x时，()0h x，()h x单调递增，且252510 3()20393h()h x在5(0,)3有唯一零点 当53x时，由于sin1x，cos1x.2()44 sin4cosh xxxxx 224444()xxxxt x 而()t x在5(,)3单调递增，5()()03t xt 所以()0h x 恒成立，故()h x在5(,)3无零点，努力的你，未来可期!精品 所以()h x在(0,)有一个零点，由于()h x是偶函数，所以()h x在(,0)有一个零点，而(0)0h，综上()h x在R有且仅有三个零点.【点睛】本题第一问考查利用导数求函数的单调区间，第二问考查利用导数求函数的零点，同时考查了分类讨论的思想，属于难题.