北师版数学高二《不等式的证明》同步学案.pdf

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1、打印版 打印版 选修4-5学案 2.1.2 不等式的证明(2)综合法与分析法 姓名 学习目标：1.理解并掌握综合法与分析法;2.会利用综合法和分析法证明不等式 知识情景：1.基本不等式：10.如果,a bR,那么222abab.当且仅当ab时,等号成立.20.如果,a bR,那么2abab.当且仅当ab时,等号成立.30.如果,a b cR,那么33abcabc,当且仅当abc时,等号成立.2.均值不等式：如果,a bR,那么 222,22ababababab的大小关系是：常用推论：1.20a;0;a 12(0)aaa;2.2(0)ababba;3.acbbac(,a b cR).3.不等式证

2、明的基本方法：10.比差法与比商法(两正数时)20.综合法和分析法 30.反证法、换元法、放缩法 案例学习：综合法：从已知条件、不等式的性质、基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要证明的结论.这种证明方法叫做综合法.又叫由 导 法.用综合法证明不等式的逻辑关系：12nABBBB 例 1,0,a b c 已知且不全相等222222()()()6a bcb cac ababc求证:打印版 打印版 例 2 分析法：从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执

3、索 的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系：例 3 12n12n12,R,1,(1)(1)(1)2nna aaa aaaaa已知且求证:12 ()nBBBBA结步步寻求不等式已论成立的充分条件知 2736求证:222222,0,a bb cc aa b cabcabc已知求证:打印版 打印版 例 4 例 5 证明：.)()(22222bdacdcba 打印版 打印版 选修4-5练习 2.1.2 不等式的证明(2)姓名 1、已知,0,0yxyx求证.411yxyx 2、已知,0 ba 求证.baba 3、已知.0,0ba求证：（1）.4)(11baba（2）.8)()(333322bab

4、ababa 4、已知dcba,都是正数。求证：（1）;2cdabdcba （2）.44abcddcba 打印版 打印版 5、已知cba,都是互不相等的正数，求证.9)(abccabcabcba 6 cba,是互不相等的正数，且1abc.求证:27)1)(1)(1(accbba 7 已知 a，b，m 都是正数，并且.ba 分别用综合法与分析法求证:.bambma 8设0,0ba，分别用综合法与分析法求证:.2233abbaba 打印版 打印版 9（1）已知,a b是正常数,ab,(0,)x y,求证：222()ababxyxy,指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数29()1 2f x

5、xx(1(0,)2x)的最小值，指出取最小值时x的值 打印版 打印版 答案:例 1 例 2 例 3 例 4 2222:2,0,()2bcbc aa bcabc证明2222 2,0,()2abab cc ababc2222 2,0,()2caac bb caabc222222,()()()6a b ca bcb cac ababc由于不全相等 所以上述三个式子中至少有一个不取等号 把它们相加得1112212.121212:,12,12,12,(1)(1)(1)221,12,1.nnnnnnniiinaRaaaaaaaaaRaaaa aaaaaaaa 证明同理由不等式的性质得时取等号所以原式在时取

6、等号22:2736,2736,(27)(36),92 1492 18,1418,1418,1418,2736.证明和都是正数所以要证只需证展开得只需证只需证成立所以成立2222222222:(),()2a bb cc aabc abcxyzx yz分析 要证的不等式可化为观察上式 左边各项是两个字母的平方之积右边各项涉及三个字母 可以考虑用打印版 打印版 例 5 证明 （1）0)()(22222bdacdcba （2）0)2(222222222222dbabcdcadbdacbca（3）022222abcddacb （4）0)(2 adbc （5）（5）显然成立。因此（1）成立。练习 6 cb

7、a,是互不相等的正数，且1abc 33313,13,13ababbcbccaca 23(1)(1)(1)27()27abbccaabc 7 证法一 要证（1），只需证)()(mbamab （2）要证（2），只需证ambm （3）要证（3），只需证ab （4）已知（4）成立，所以（1）成立。上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。222222222222222222222222222222222222222:2,0,()22,0,()22,0,()22()222()1,0,0,0,bcbc aa bca bccaac bb cab acabab ccabc aba bb cc aa bc

8、b acc aba bb cc aabc abca b cabcabca bb c 证明又故222c aabcabc打印版 打印版 证法二 因为 mab,是正数，所以ambm 两边同时加上ab得)()(mbamab 两边同时除以正数)(mbb得（1）。8 证法一 分析法 要证2233abbaba成立.只需证)()(22baabbababa成立，又因0ba，只需证abbaba22成立，又需证0222baba成立，即需证0)(2ba成立.而0)(2ba显然成立.由此命题得证。证法二 综合法 abbababababa22222020)(注意到0,0ba，即0ba，由上式即得)()(22baabbababa，从而2233abbaba成立。议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？9（1）2222222222()()2abyxyxxyababababxyxyxy2()ab，故222()ababxyxy当且仅当22yxabxy，即abxy时上式取等号；由得22223(23)()252122(12)f xxxxx 打印版 打印版 当且仅当2321 2xx，即15x 时上式取最小值，即min()25f x