层次分析法及matlab程序.pdf
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1、-.z 层次分析法建模 层次分析法AHPAnalytic Hierachy process-多目标决策方法 70 年代由美国运筹学家 TLSatty 提出的,是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。吸收利用行为科学的特点,是将决策者的经历判断给予量化,对目标因素构造复杂而且缺乏必要的数据情况下,採用此方法较为实用,是一种系统科学中,常用的一种系统分析方法,因而成为系统分析的数学工具之一。传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有:机理分析方法:利用经典的数学工具分析观察的因果关系;统计分析方法:利用大量观测数据寻求统计规律,用随机数学方法描述自然现象、社会现象现象的规律。根本容:1多
2、目标决策问题举例 AHP 建模方法 2AHP 建模方法根本步骤 3AHP 建模方法根本算法 3AHP 建模方法理论算法应用的假设干问题。参考书:1、启源,数学模型第二版,第 9 章;第三版,第 8 章,高等教育 2、程理民等,运筹学模型与方法教程,第 10 章,清华大学 3、运筹学编写组,运筹学修订版,第 11 章,第 7 节,清华大学 一、问题举例:A大学毕业生就业选择问题 获得大学毕业学位的毕业生,双向选择时,用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要多方面的,例如:能发挥自己的才干为国家作出较好奉献即工作岗位适合发挥专长;工作收入较好待遇好;生活环境好大城市
3、、气候等工作条件等;单位名声好声誉-Reputation;工作环境好人际关系和谐等 开展晋升promote,promotion时机多如新单位或单位开展有后劲等。问题:现在有多个用人单位可供他选择,因此,他面临多种选择和决策,问题是他将如何作出决策和选择?或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序?.假期旅游地点选择 暑假有 3 个旅游胜地可供选择。例如:1P:,2P北戴河,3P,到底到哪个地方去旅游最好?要作出决策和选择。为此,要把三个旅游地的特点,例如:风光;费用;居住;环境;旅途条件等作一些比拟建立一个决策的准则,最后综合评判确定出一个可选择的最优方案。目标层 工作选择 奉献 收入 开展
4、 声誉 工作环境 生活环境 可供选择的单位 P1 P2 -Pn 选择旅游地 风光 费用 居住 饮食 旅途-.z 准则层 方案层 C资源开发的综合判断 7 种金属可供开发,开发后对国家奉献可以通过两两比拟得到,决定对哪种资源先开发,效用最用。二、问题分析:例如旅游地选择问题:一般说来,此决策问题可按如下步骤进展:S1将决策解分解为三个层次,即:目标层:选择旅游地 准则层:风光、费用、居住、饮食、旅途等 5 个准则 方案层:有1P,2P,3P三个选择地点 并用直线连接各层次。S2互相比拟各准则对目标的权重,各方案对每一个准则的权重。这些权限重在人的思维过程中常是定性的。例如:经济好,身体好的人:会
5、将风光好作为第一选择;中老年人:会将居住、饮食好作为第一选择;经济不好的人:会把费用低作为第一选择。而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。S3将方案后对准则层的权重,及准则后对目标层的权重进展综合。S4最终得出方案层对目标层的权重,从而作出决策。以上步骤和方法即是 AHP 的决策分析方法。三、确定各层次互相比拟的方法成比照拟矩阵和权向量 在确定各层次各因素之间的权重时,如果只是定性的结果,则常常不容易被别人承受,因而 Santy 等人提出:一致矩阵法 即:1.不把所有因素放在一起比拟,而是两两相互比拟 2.对此时採用相对尺度,以尽可能减少性质不同的诸因素相互比拟的困难,提高准确度。因素
6、比拟方法成比照拟矩阵法:目的是,要比拟*一层n个因素nCCC,21对上一层因素 O 的影响例如:旅游决策解中,比拟风光等 5 个准则在选择旅游地这个目标中的重要性。P1 P2 P3 对经济开展、奉献 U 铜 Co 铁In 磷酸盐 钿 Ur 铝 Al 金 Go 经济价值 开採费 风险费 要求量 战略重要性 交通条件-.z 採用的方法是:每次取两个因素iC和jC比拟其对目标因素 O 的影响,并用ija表示,全部比拟的结果用成比照拟矩阵表示,即:)1(1 ,0 ,)(ijijijjiijnxnijaaaaaaA或 1 由于上述成比照拟矩阵有特点:jiijijijaaaaA1 ,0 ,)(故可称A为正
7、互反矩阵:显然,由 jiijaa1,即:1jiijaa,故有:1jia 例如:在旅游决策问题中:2112a=(费用)(景色)21CC 表示:2O1O 21的重要性为(费用)对目标的重要性为景色)对目标(CC 故:),费用重要性为即景色重要性为21(2112a 14413a=(居住条件)(景色)31CC 表示:1OC4O(31的重要性为(居住条件)对目标的重要性为景色)对目标C 即:风光为 4,居住为 1。17723a=(居住条件)(费用)32CC 表示:1OC7O(32的重要性为(居住条件)对目标的重要性为费用)对目标C 即:费用重要性为 7,居住重要性为 1。因此有成比照拟矩阵:113513
8、1112513131211714155337412121A 问题:稍加分析就发现上述成比照拟矩阵的问题:即存在有各元素的不一致性,例如:既然:41114a ;22113313113212112aaCCaCCa 所以应该有:188412131231213223CCCCaaCCa 而不应为矩阵A中的1723a-.z 成比照拟矩阵比拟的次数要求太 ,因:n个元素比拟次数为:!2)1(2nnCn次,因此,问题是:如何改造成比照拟矩阵,使由其能确定诸因素nCC ,1对上层因素 O 的权重?对此 Saoty 提出了:在成比照拟出现不一致情况下,计算各因素nCC ,1对因素上层因素O 的权重方法,并确定了这
9、种不一致的容许误差围。为此,先看成比照拟矩阵的完全一致性成比照拟完全一致性 四:一致性矩阵 Def:设有正互反成比照拟矩阵:1 a ,1 ,1 1nn221122222212211121121111nnnnnnjiijnnnnWWWWaWWaWWaWWaWWaWWaWWaWWaWWaA (4)除满足:i正互反性:即 而且还满足:ii一致性:即 n 2,1,j i,hahaakaaaajikjijiij/有点点错误 则称满足上述条件的正互反对称矩阵 A 为一致性矩阵,简称一致阵。一致性矩阵一致阵性质:性质 1:A的秩 Rank(A)=1/显然 A的唯一非 0 的特征根为 n 性质 2:A的任一列
10、行向量都是对应特征根n的特征向量:即有(特征向量、特征值):-.z nnnnnnWWWWWWWWWWWWWWWWWWA212221212111,则向量321WWWW 满足:WnnWnWnWWWWWWWWWWWWWWWWWAnnnnnnn21212112111 即:0)(WnIA 我的理解:通过 A(变换 A 与 W 中的元素有关)变换将一致 W 矩阵变成权向量 W(特征向量),如果正互反矩阵 W接近一致矩阵,同样的道理变换 A 可以将 W变成权向量(这里的权向量与 W稍有不同)启发与思考:既然一致矩阵有以上性质,即n个元素W1,W2,W3,Wn 构成的向量nWWWW21 是一致矩阵 A 的特征
11、向量,则可以把向量 W 归一化后的向量,看成是诸元素W1,W2,W3,Wn 目标的权向量,因此,可以用求A的特征根和特征向量的方法,求出元素W1,W2,W3,Wn相对于目标 O 的劝向量。解释:一致矩阵即:n件物体nMMM,21,它们重量分别为nWWW,21,将他们两两比拟重量,其比值构成一致矩阵,假设用重量向量nWWWW21右乘A,则-.z:称特征根法,求权向量的方法量权向量,此种用特征向为即对上层因素O的权重,C,CC,就表示诸因素W则归一化后的特征向量,:重量向量为特征根的特征向量为以的特征根为n21 1WWWW,121inWWWnnA 分析:假设重量向量nWWWW21未知时,则可由决策
12、者对物体nMMM,21之间两两相比关系,主观作出比值的判断,或用 Delphi调查法来确定这些比值,使A矩阵不一定有一致性为的,并记此主观判断作出的矩阵为主观判断矩阵A,并且此A不一致在不一致的容许围,再依据:A的特征根或和特征向量W连续地依赖于矩阵的元素ija,即当ija离一致性的要求不太远时,A的特征根i和特征值 向量W与一致矩阵A的特征根和特征向量W也相差不大的道理:由特征向量W求权向量W的方法即为特征向量法,并由此引出一致性检查的方法。问题:Remark 以上讨论的用求特征根来求权向量W的方法和思路,在理论上应解决以下问题:1 一致阵的性质 1 是说:一致阵的最大特征根为n即必要条件,
13、但用特征根来求特征向量时,应答复充分条件:即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量?且如果正互反矩阵A的最大特征根nmax时,A是否为一致阵?-.z 2 用主观判断矩阵A的特征根和特征向量W连续逼近一致阵A的特征根和特征向量W时,即:由kkklim 得到:WWkklim 即:AAkklim 是否在理论上有依据。3一般情况下,主观判断矩阵A在逼近于一致阵A的过程中,用与A接近的*A来代替A,即有AA*,这种近似的替代一致性矩阵A的作法,就导致了产生的偏差估计问题,即一致性检验问题,即要确定一种一致性检验判断指标,由此指标来确定在什么样的允许围,主观判断矩阵是可以承受的,否则,要 两两比拟
14、构造主观判断矩阵。此问题即一致性检验问题的容。以上三个问题:前两个问题由数学严格比拟可获得见教材 P325,定理 1、定理 2。第3 个问题:Satty 给出一致性指标TH1,TH2 介绍如下:附:Th1:教材 P326,perronTh 比隆 1970 对于正矩阵AA的所有元素为正数 1A的最大特征根是正单根;2对应正特征向量WW的所有分量为正数 3WeAeeAkTkklim 其中:111e为半径向量,W是对应的归一化特征向量 证明:3可以通过将A化为标准形证明 Th2:n阶正互反阵 A 的最大特征根n;当n时,A是一致阵 五、一致性检验一致性指标:1一致性检验指标的定义和确定IC平均值的定
15、义:当人们对复杂事件的各因素,采用两两比拟时,所得到的主观判断矩阵A,一般不可直接保证正互反矩阵A就是一致正互反矩阵A,因而存在误差及误差估计问题。这种误差,必然导致特征值和特征向量之间的误差WW)(及。此时就导致问题WmaxWA与问-.z 题nWAW 之间的差异。上述问题中max是主观判断矩阵A的特征值,W是带有偏差的相对权向量。这是由判断矩阵不一致性所引起的。因此,为了防止误差太大,就要衡量主观判断矩阵A的一致性。因为:当主观判断矩阵A为一致阵A时就有:nknkkknknnkkna11111A为一致阵时有:1iiaaii为对角线上的值,按照一致性矩阵的理解,它应该为 1 此时存在唯一的非
16、nmax 由一致阵性质 1:Rark(4)=1,A有唯一非 O 最大特征根且nmax 当主观判断矩阵A不是一致矩阵时,此时一般有:nmax Th2 此时,应有:naiikhmaxmax 不解 即:maxmaxkkn 所以,可以取其平均值作为检验主观判断矩阵的准则,一致性的指标,即:11maxmaxnnnICkk 显然:(1)当nmax时,有:0IC,A为完全一致性(2)IC值越大,主观判断矩阵A的完全一致性越差,即:A偏离A越远(用特征向量作为权向量引起的误差越大)(3)一般10IC,认为主观判断矩阵A的一致性可以承受,否则应重新进展两两比拟,构造主观判断矩阵。2随机一致性检验指标IR 问题:
17、实际操作时发现:主观判断矩阵A的维数越大,判断的一致性越差,故应放宽对高维矩阵的一致性要求。于是引入修正值IR来校正一致性检验指标:即定义IR的修正值表-.z 为:并 定义新 的一致 性检验 指标为:IRICRC 随机一致性检验指标IR的解释:为确定A的不一致程度的容许围,需要确定衡量A的一致性指示IC的标准。于是 Satty又引入所谓随机一致性指标IR,其定义和计算过程为:对固定的n,随机构造正互反阵A,其元素)(jiaij从 19 和 191中随机取值,且满足ija与jia的互反性,即:jiijaa1,且1iia.然后再计算A的一致性指标IC,因此A是非常不一致的,此时,IC值相当大.如此
18、构造相当多的A,再用它们的IC平均值作为随机一致性指标。Satty 对于不同的1(nn11),用 100500 个样本A计算出上表所列出的随机一致性指标IR作为修正值表。3.一致性检验指标的定义一致性比率RC。由随机性检验指标RC可知:当2 ,1n时,0IR,这是因为 1,2 阶正互反阵总是一致阵。对于3n的成比照拟阵A,将它的一致性指标IC与同阶指n一样的随机一致性指标IR之比称为一致性比率简称一致性指标,即有:一致性检验指标的定义一致性比率 定义:IRICRC:IRICRC 当:10IRICRC时,认为主观判断矩阵A的不一致程度在容许围之,可用其特征向量作为权向量。否则,对主观判断矩阵A重
19、新进展成比照拟,构重新的主观判断矩阵A。注:上式10IRICRC的选取是带有一定主观信度的。A的维数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 IR 0.00 0.00 0.58 0.96 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45-.z 六、标度比拟尺度解:在构造正互反矩阵时,当比拟两个可能是有不同性质的因素iC和jC对于上层因素 O 的影响时,採用什么样的相对刻度较好,即ija的元素的值在19或191或更多的数字,Satty 提出用 19 尺度最好,即ija取值为 19 或其互反数 191,心理学家也提出:人们区分信息等级的极限解能力为72。可见对nn阶矩阵,只需作出2)1(nn个判断值即
20、可 标度ija 定 义 1 3 5 7 9 2,4,6,8,倒数 1,91 ,81 ,71 ,61 ,51 ,41 ,31 ,21 因素i与因素j一样重要 因素i比因素j稍重要 因素i比因素j较重要 因素i比因素j非常重要 因素i比因素j绝对重要 因素i与因素j的重要性的比拟值介于上述两个相邻等级之间 因素j与因素i比拟得到判断值为ija的互反数,ijjiaa11iia 注:以上比拟的标度 Satty 曾用过多种标度比拟层,得到的结论认为:19 尺度不仅在较简单的尺度中最好,而且比拟的结果并不劣于较为复杂的尺度。Satty 曾用的比拟尺度为:13,15,16,,111,以及 )1.0(d)9.
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