《概率论与数理统计》期末考试试题及解答.pdf

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1、-一、填空题(每小题 3 分,共 15 分)1 设事件BA,仅发生一个的概率为 0.3,且5.0)()(BPAP,则BA,至少有一个不发生的概率为_.答案:0.3 解：3.0)(BABAP 即 )(25.0)()()()()()(3.0ABPABPBPABPAPBAPBAP 所以 1.0)(ABP 9.0)(1)()(ABPABPBAP.2 设随机变量X服从泊松分布，且)2(4)1(XPXP,则)3(XP_.答案:161e 解答:eXPeeXPXPXP2)2(,)1()0()1(2 由 )2(4)1(XPXP 知 eee22 即 0122 解得 1,故 161)3(eXP 3 设随机变量X在区

2、间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2XY 在区间)4,0(内的概率密度为)(yfY_ 答案:1,04,14()()()20,.YYXyyfyFyfyy其它 解答:设Y的分布函数为(),YFyX的分布函数为()XFx，密度为()Xfx则 2()()()()()()YXXF yP YyP XyPyXyFyFy 因为(0,2)XU，所以()0XFy,即()()YXFyFy 故-1,04,14()()()20,.YYXyyfyFyfyy其它 另解 在(0,2)上函数2yx严格单调,反函数为()h yy 所以 1,04,14()()20,.YXyyfyfyy其它 4 设随机变量YX,相互独立,且均服

3、从参数为的指数分布，2)1(eXP,则_，1),min(YXP_ 答案：2,-4min(,)11 ePX Y 解答:2(1)1(1)P XP Xee，故 2 min(,)11min(,)1PX YPX Y 1(1)(1)P XP Y 41 e.5 设总体X的概率密度为 其它,0,10,)1()(xxxf 1 nXXX,21是来自X的样本,则未知参数的极大似然估计量为_.答案：1111lnniixn 解答:似然函数为 111(,;)(1)(1)(,)nnniniL xxxxx 1lnln(1)lnniiLnx 1lnln01niidLnxd 解似然方程得的极大似然估计为-1111lnniixn

4、二、单项选择题(每小题分,共 15 分)1设,A B C为三个事件,且,A B相互独立,则以下结论中不正确的是 (）若()1P C,则AC与BC也独立.（B)若()1P C,则AC与B也独立.（C)若()0P C，则AC与B也独立.（D)若CB,则A与C也独立.()答案:(D）解答：因为概率为 1 的事件和概率为 0 的事件与任何事件独立,所以(),（B),(C）都是正确的，只能选(D）.事实上由图 可见与不独立 2.设随机变量(0,1),XNX的分布函数为()x,则(|2)PX 的值为 （A)21(2).(B)2(2)1.(）2(2)(D)1 2(2).（）答案：(A）解答：(0,1)XN所

5、以(|2)1(|2)1(22)PXPXPX 1(2)(2)1 2(2)121(2)应选（A）.3.设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是 (A)X与Y独立.（B）()D XYDXDY.(C)()D XYDXDY.(D）()D XYDXDY （)S A B C-答案:()解答：由不相关的等价条件知,0yxcov0 xy），（()+2cov xyD XYDXDY（，）应选（B).4设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为 (,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X YP 若,X Y独立，则,的值为 ()21,99.(A)12,99 (C）11,66

6、(D）51,1818.（)答案：()解答：若,X Y独立则有 (2,2)(2)(2)P XYP XP Y 112 1()()()393 9 29,19 故应选（A）.设总体X的数学期望为12,nXXX为来自X的样本，则下列结论中 正确的是 (A)1X是的无偏估计量.（）1X是的极大似然估计量 （C)1X是的相合（一致）估计量.（）1X不是的估计量.()答案:（A）解答:1EX，所以1X是的无偏估计，应选（A）.三、（分)已知一批产品中 9是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为 0.0,1231111169183112331112918-求

7、()一个产品经检查后被认为是合格品的概率;（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A任取一产品，经检验认为是合格品 B 任取一产品确是合格品 则(1)()()(|)()(|)P AP B P A BP B P A B 0.90.950.1 0.020.857.（）()0.9 0.95(|)0.9977()0.857P ABP B AP A 四、（1分)从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 2/.设X为途中遇到红灯的次数,求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解:X的概率分布为 3323()()()0,1,2

8、,3.55kkkP XkCk 即 01232754368125125125125XP X的分布函数为 0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251,3.xxF xxxx 263,55EX 231835525DX .五、(10 分）设二维随机变量(,)X Y在区域(,)|0,0,1Dx yxyxy 上服从均匀分布 求(1)(,)X Y关于X的边缘概率密度；(）ZXY的分布函数与概率密度.-解：（1)(,)X Y的概率密度为 2,(,)(,)0,.x yDf x y其它 22,01()(,)0,Xxxfxf x y dy其它 （)利用公式()(,)Zfzf xzx dx

9、其中2,01,01(,)0,xzxxf x zx 其它2,01,1.0,xxz 其它.当 0z 或1z 时()0Zfz 01z时 00()222zzZfzdxxz 故Z的概率密度为 2,01,()0,Zzzfz其它.Z的分布函数为 200,00,0,()()2,01,01,1,1.1,1zzZZzzfzfy dyydyzzzzz 或利用分布函数法 10,0,()()()2,01,1,1.ZDzFzP ZzP XYzdxdyzz 20,0,01,1,1.zzzz 2,01,()()0,ZZzzfzFz其它.六、（10 分)向一目标射击，目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立,

10、且均服从2(0,2)N分布.求（1）命中环形区域22(,)|12Dx yxy的概x z z=x 1 D 0 1 z x y x+y=1 x+y=z D1-率;(）命中点到目标中心距离22ZXY的数学期望.解:（1）,)(,)DP X YDf x y dxdy 22222880111248xyrDedxdyerdrd 2221122888211()8rrredeee ;(2)22222281()8xyEZEXYxyedxdy 2222880001184rrrerdrder dr 2228880021222rrrreedredr.七、（11 分)设某机器生产的零件长度(单位：cm)2(,)XN,今

11、抽取容量为 1的样本,测得样本均值10 x,样本方差20.16s.(1)求的置信度为.9的置信区间;（2）检验假设20:0.1H（显著性水平为 0.0).(附注）0.050.050.025(16)1.746,(15)1.753,(15)2.132,ttt 2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.解:(1）的置信度为1下的置信区间为 /2/2(1),(1)ssXtnXtnnn 0.02510,0.4,16,0.05,(15)2.132Xsnt 所以的置信度为 0.95 的置信区间为（9.786，10.232）(2）20:0.1H的拒绝域为

12、22(1)n.x y 0 1 2-221515 1.6240.1S,20.05(15)24.996 因为 220.052424.996(15)，所以接受0H.概率论与数理统计期末考试试题（)专业、班级：姓名:学号：一、单项选择题(每题 3 分 共 18 分)1D 2A .A 5A 6B 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总成绩 得 分 -一、单项选择题(每题 3 分 共 18 分)(1）.0)(,0)(;0)(0)();().,0)(ABPAP(D)BA(C)BPAP(B)BA(A)ABPBA则同时出现是不可能事件与或互不相容互斥与则以下说法正确的是适合、若事件 (2

13、)设随机变量 X 其概率分布为 X -1 0 1 2 P 3 0.1 04 则5.1XP(）。(A）0.6 ()1 ()0 ()21 (3)设事件1A与2A同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是(）(A）)()(21AAPAP (）1)()()(21APAPAP()()(21AAPAP （D）1)()()(21APAPAP ().54,0);46,0();3,0();5,0(,72,),1,2(),1,3(D)N(C)N(B)N(A)ZYXZYXNYNX则令相互独与且设随机变量(N立).(-（5)设nXXX,2,1为正态总体),(2N的一个简单随机样本，其中,2 未知，则（)是一个统计量

14、。(A)212niiX (B)21)(niiX ()X （D）X(6)设样本nXXX,21来自总体22),(NX未知。统计假设 为。：已知）（：01000HH 则所用统计量为（）(A)nXU0 (B)nSXT0()222)1(Sn （D)niiX1222)(1 二、填空题(每空 3 分 共 1分)(1)如果)()(,0)(,0)(APBAPBPAP，则)(ABP .(2)设随机变量X的分布函数为.0 ,)1(1,0 ,0)(xexxxFx 则X的 密 度 函 数)(xf ，)2(XP .(3）.,_,32,321321是的无偏估计量也时当的无偏估计量是总体分布中参数设aa（）设总体X和Y相互独

15、立,且都服从)1,0(N,921,XXX是来自总体X的 样本,921,YYY是来自总体Y的样本，则统计量 292191YYXXU 服从 分布(要求给出自由度）。-二、填空题(每空 3 分 共5 分)1.)(BP .000)(xxxexfx,23e 3.1 4.)9(t 三、(6分）设 BA,相互独立,7.0)(AP,88.0)(BAP,求)(BAP 解：0.8=)()()()(ABPBPAPBAP =)()()()(BPAPBPAP (因为BA,相互独立).2 分 )(7.0)(7.0BPBP 分 则 6.0)(BP .4分 )()()()()()(BPAPAPABPAPBAP 28.06.0

16、7.07.0 6 分 四、(分)某宾馆大楼有 4 部电梯，通过调查,知道在某时刻 T，各电梯在 运行的概率均为 0.，求在此时刻至少有台电梯在运行的概率。解：用X表示时刻T运行的电梯数,则X)7.0,4(b .2 分 所求概率 011XPXP 分 4004)7.01()7.0(1C=0.919 .6 分 五、（分)设随机变量 X 的概率密度为其它,00,)(xexfx ，求随机变量Y2X+1 的概率密度。解：因为12 xy是单调可导的,故可用公式法计算 .1 分 当0X时,1Y .2 分 由12 xy，得21,21xyx 4 分-从而Y的密度函数为10121)21()(yyyfyfY.5 分=

17、1012121yyey .6 分 -五、（分)设随机变量 X 的概率密度为其它,00,)(xexfx ，求随机变量=2X+1 的概率密度。解：因为12 xy是单调可导的,故可用公式法计算 .分 当0X时，1Y 分 由12 xy，得21,21xyx 分 从而Y的密度函数为10121)21()(yyyfyfY.5 分=1012121yyey .6 分 六、(8 分）已知随机变量X和Y的概率分布为 X 101 Y 10 P 412141 P 2121 而且10XYP(1)求随机变量X和Y的联合分布;(2)判断X与Y是否相互独立?解：因为10 XYP，所以00 XYP（1)根据边缘概率与联合概率之间的

18、关系得出 Y X-1 0 1 0 1 41 0 0 21 41 0 21 21-41 21 41 4 分(2)因为 4121210000,0YPXPYXP 所以 X与Y不相互独立 分 七、(8 分)设二维随机变量),(YX的联合密度函数为.,0,0,0 ,12),()43(其他yxeyxfyx 求:（1)20,10(YXP;（2）求X的边缘密度。解:()1020)43(12)20,10(dyedxYXPyx .2 分 20410343dyedxeyx204103yxee =31e1 8e .4 分 （2）dyexfyxX)43(12)(.6分 00033xxex .分 八、（6 分）一工厂生产

19、的某种设备的寿命X（以年计）服从参数为41的指数分布。工厂规定,出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备盈利0元，调换一台设备厂方需花费00 元,求工厂出售一台设备净盈利的期望。-解：因为)41(eX 得00041)(41xxexfx .分 用Y表示出售一台设备的净盈利 103001001100XXY 分 则 414141)100(edxeYPx 41410141200edxeYPx .4分 所以 )1()200(1004141eeEY 20030041e64.33（元）.分 九、(8 分)设随机变量X与Y的数学期望分别为2和 2,方差分别为 1 和 4，而相关系数为5.0，

20、求)2(),2(YXDYXE。解：已知5.0,4,1,2,2XYDYDXEYEX 则 62)2(22)2(EYEXYXE 分),2cov(2)2()2(YXDYXDYXD .5 分),cov(42YXDYDX .6 分 XYDYDXDYDX42=1 .8 分 十、（7 分)设供电站供应某地区 1 000 户居民用电,各户用电情况相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）服从0,2上的均匀分布,利用中心极限定理求这 1 0户居民每日用电量超过10 00 度的概率。(所求概率用标准正态分布函数)(x的值表示).解:用iX表示第i户居民的用电量，则20,0UXi-102200iEX 310012)02

21、0(2iDX 2 分 则 100户居民的用电量为10001iiXX,由独立同分布中心极限定理 10100110100XPXP 3 分=3100100010100010100310010001010001XP 4 分)3100100010100010100(1 .6分=1)103(7分 十一、(分）设nxxx,21是取自总体X的一组样本值，X的密度函数为 ,0,10 ,)1()(其他xxxf 其中0未知,求的最大似然估计。解：最大似然函数为 iniininxxfxxL)1()(),(111 .分),()1(1nnxx .3分 则),ln()1ln(),(ln11nnxxnxxL 1,01nxx

22、.4 分 令 0),ln(1ln1nxxndLd .5分 于是的最大似然估计:-),ln(ln11nxxn。.7 分 十二、（5 分)某商店每天每百元投资的利润率)1,(NX服从正态分布，均值为，长期以来方差2 稳定为 1,现随机抽取的 100 天的利润,样本均值为5x,试 求的 置 信 水 平 为 95%的 置 信 区 间。(,99.1)100(05.0t 975.0)96.1()解:因为已知，且)1,0(NnX 分 故 12UnXP 2分 依题意 5,1,100,96.1,05.02xnU 则的置信水平为 95%的置信区间为,22nUxnUx 分 即为 4.801,5.199 5 分 -概

23、率论与数理统计课程期末考试试题（B)专业、班级：姓名：学号：题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总成绩 得 分 一、单项选择题(每题分 共分)（1).0)(,0)(;0)(0)();().,0)(ABPAP(D)BA(C)BPAP(B)BA(A)ABPBA则同时出现是不可能事件与或互不相容互斥与则以下说法正确的是适合、若事件（2)kbkP(2)(A)b且 0(B)且 0(C)b11且 0 1 b1;.;,XX（3）连续随机变量 X 的概率密度为 其它,021,210,)(xxxxxf 则随机变量X 落在区间(0.4,1.）内的概率为（）.(A)0.64;().6;()0

24、5;（D)0.42.(4）).54,0);46,0();3,0();5,0(,72,),1,2(),1,3(D)N(C)N(B)N(A)ZYXZYXNYNX则令相互独与且设随机变量(N立).(-(5）设),(21是参数的置信度为1的区间估计,则以下结论正确的是().(A)参数落在区间),(21之内的概率为1;(B)参数落在区间之外的概率为;(C)区间),(21包含参数的概率为1;(D)对不同的样本观测值,区间),(21的长度相同.),(21 二、填空题(每空 2 分 共分）(1)._,_,),(,),).(1,0(,2921919191参数为分布服从则统计量一个样本是从总体中抽取的一个样本是从

25、总体且都服从正态分布相互独立与设总体YYXXUYYYXXXNYX中抽取的（2）.,_,32,321321是的无偏估计量也时当的无偏估计量是总体分布中参数设aa(3）设总体)1,(NX,是未知参数,21,XX是样本,则2113132XX 及2122121XX 都是的无偏估计,但 _ 有效.（4)设样本),(21nXXX抽自总体22,).,(NX均未知.要对作假设检验,统计假设为,:00H(0已知),:01H则要用检验统计量为 _,给定显著水平,则检验的拒绝区间为 _.-三、（7 分)已知6.0)(,5.0)(BPAP，条件概率).(.8,0)(ABPABP试求 四、（分)设随机变量X的分布函数为

26、xxBAxF ,arctan)(,求:（）常数A，B；（)1(XP;()随机变量X的密度函数。-五、(6 分)某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第 1 车间的次品率为.15,第车间的次品率为 0.12两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库中，假设 1、2 车间生产的成品比例为 2：3,今有一客户从成品仓库中随机提台产品,求该产品合格的概率.六、(8 分)已知甲、乙两箱装有同种产品,其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品,从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求乙箱中次品件数的分布律及分布函数)(xF.-七、(7 分）设随机变量X的密度函数为 其它,00,)(xe

27、xfx 求随机变量的函数xeY 的密度函数)(yfY。八、（6 分)现有一批钢材,其中 80%的长度不小于 3，现从钢材中随机取出10 根,试用中心极限定理求小于 m 的钢材不超过0 的概率。(计算结果用标准正态分布函数值表示）-九、（0 分)设二维随机变量),(YX的联合密度函数为.,0,0,0 ,12),()43(其他yxeyxfyx 求：(1)20,10(YXP;（）求X,Y的边缘密度;(3)判断X与Y是否相互独立-十、(8 分)设随机变量(YX,)的联合密度函数为 其他 ,0,10 ,12),(2xyyyxf 求)(),(),(XYEYEXE,进一步判别X与Y是否不相关。-十一、（分)

28、.设nXXX,21是来自总体X的一个简单随机样本,总体X的密度函数为,0,0 ,2),(2其他xxxf 求的矩估计量。十二、(分）总体)1,(NX测得样本容量为10的样本均值5_X,求X的 数 学 期 望的 置 信 度 等 于0.5的 置 信 区 间。(,99.1)100(05.0t )975.0)96.1(-一、单项选择题:(15 分)1、2、D 3、4、A 5、C 二、填空题：（2 分）1、9,t;、-1、2更 4、/XSn，)1(,)1(2/2/nSntXnSntX;三、（7 分）解:分分7.4.08.05.04.).|()()(ABPAPABP 四、（9 分)解：(1)由 2)(1BA

29、F .1 分 2)(0BAF .2 分 得1,21BA .3 分 xxFarctan121)(.4 分()21)1()1()(FFXP .6 分(3）)()1(1)()(2xxxFxf .9 分 五、（6 分）-分车间生产提出的一台是第是合格品从仓库随机提出的一台解：2.53)(,52)()2,1(21APAPiiABi 121122(|)1 0.150.85,(|)1 0.120.88.3()()(|)()(|).5230.850.88 0.868.55P B AP B AP BP A P B AP A P B A 分则分.6分 六、（8 分)解:设用X表示乙箱中次品件数，则X的分布律为 2

30、01)3(209)2(209)1(201)0(360333361323362313363303CCCXPCCCXPCCCXPCCCXP .4 分 X的分布函数)(xF为 xxxxxxF3322110012019212010)(.8 分 七、(7 分)解:-分分的密度函数为则分时，当时，当分的分布函数为可能取值范围为7.10116.1011101)(ln)(5.).(ln)ln()(10)(13.).()()(),1 2.lnyyyyyyeyyyFyfYyFyXPyFyyFyyePyYPyFYeYyXYXYYXYX 八、（分）解:1003(100,0.2).2()100 0.220()100 0

31、.2 0.8 16.3203020(30)().51616(2XmXBE XD XXP XP 设为根钢材小于的钢材根数则分，分由中心极限定理：分.5)0.9938.6.分 九、（10 分)解:()20,10(YXPdyedxyx20)43(1012.2 分 )1)(1(83ee.3 分 (2）关于X的边缘分布：ydyxfxfX),()(.4 分 -=00033xxex .6 分 同理关于Y的边缘分布：xdyxfyfY),()(=00044yyey .8 分 （）因为 )()(),(yfxfyxfYX ),(yx 所以X与Y相互独立。.10 分 十、（8 分）解:5412),()(2100 dx

32、dyyxdxdyyxfxXEx.2 分 5312),()(2100 dxdyyydxdyyxfyYEx.4 分 2112),()(2100 dxdyyxydxdyyxfxyXYEx.6 分 因为)()()(YEXEXYE,所以X与Y是相关的。.8 分 十一、（7 分）解:分的矩估计为分令分7.235.1)(3.32|3.22),()(1103202niiniiXnXnXExdxxxdxxxfXE 十二、（5 分）-解:分），（所求区间为分，其中分（分的置信区间为的置信度为，所以因为5.196.5804.44.510096.1025.0205.03.).,1.05.0195.012/2/2/XnunuXnuX 共 8 页第-页