年全国中考数学压轴题含答案.pdf

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1、 年全国中考数学压轴题含答案 TPMK standardization office【TPMK5AB-TPMK08-TPMK2C-TPMK18】2008 年全国中考数学压轴题精选 1 1.（08 福建莆田）26（14 分）如图：抛物线经过 A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.（1）求抛物线的解析式.（2）已知 AD=AB（D 在线段 AC 上），有一动点 P 从点 A 沿线段 AC 以每秒 1 个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点 B 沿线段 BC 移动，经过 t 秒的移动，线段 PQ 被 BD 垂直平分，求 t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否

2、存在一点M，使 MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。（注：抛物线2yaxbxc的对称轴为2bxa）（08 福建莆田 26 题解析）26（1）解法一：设抛物线的解析式为 y=a(x+3)(x-4)因为 B（0，4）在抛物线上，所以 4=a(0+3)(0-4)解得 a=-1/3 所以抛物线解析式为2111(3)(4)4333yxxxx 解法二：设抛物线的解析式为2(0)yaxbxca，依题意得：c=4 且934016440abab 解得1313ab 所以 所求的抛物线的解析式为211433yxx （2）连接 DQ，在 RtAOB 中，2222345ABAOBO

3、 所以 AD=AB=5，AC=AD+CD=3+4=7，CD=AC-AD=?7 5=2 因为 BD 垂直平分 PQ，所以 PD=QD，PQBD，所以PDB=QDB 因为 AD=AB，所以ABD=ADB，ABD=QDB，所以 DQAB 所以CQD=CBA。CDQ=CAB，所以CDQ CAB DQCDABCA 即210,577DQDQ 所以 AP=AD DP=AD DQ=5 107=257，2525177t 所以 t 的值是257（3）答对称轴上存在一点 M，使 MQ+MC 的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为122bxa 所以 A（-3，0），C（4，0）两点关于直线12x 对称 连接 AQ 交直

4、线12x 于点 M，则 MQ+MC 的值最小 过点 Q 作 QEx 轴，于 E，所以QED=BOA=900 DQAB，BAO=QDE，DQE ABO QEDQDEBOABAO 即 107453QEDE 所以 QE=87，DE=67，所以 OE=OD+DE=2+67=207，所以 Q（207，87）设直线 AQ 的解析式为(0)ykxmk 则2087730kmkm 由此得 8412441km 所以直线 AQ 的解析式为8244141yx 联立128244141xyx 由此得128244141xyx 所以 M128(,)241 则：在对称轴上存在点 M128(,)241，使 MQ+MC 的值最小。

5、2.（08 甘肃白银等 9 市）28（12 分）如图 20，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 B 的坐标为（4，3）平行于对角线 AC 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 m 与矩形 OABC 的两边分别交于点 M、N，直线 m 运动的时间为 t（秒）(1)点 A 的坐标是_，点 C 的坐标是_；(2)当 t=秒或 秒时，MN=21AC；图 20 (3)设OMN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式；(4)探求(3)中得到的函数 S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由（08 甘肃白银等 9 市 28 题解

6、析）28 本小题满分 12 分 解：(1)（4，0），（0，3）；2 分(2)2，6；4 分(3)当 0t4 时，OM=t 由OMNOAC，得OCONOAOM，ON=t43，S=283t 6 分 当 4t8 时，如图，OD=t，AD=t-4 方法一：由DAMAOC，可得AM=)4(43t，BM=6-t43 7 分 由BMNBAC，可得BN=BM34=8-t，CN=t-4 8分 S=矩形OABC的面积-RtOAM的面积-RtMBN的面积-RtNCO的面积=12-)4(23t-21（8-t）（6-t43）-)4(23t =tt3832 10 分 方法二：易知四边形ADNC是平行四边形，CN=AD=

7、t-4，BN=8-t 7 分 由BMNBAC，可得BM=BN43=6-t43，AM=)4(43t 8 分 以下同方法一 (4)有最大值 方法一：当 0t4 时，抛物线 S=283t的开口向上，在对称轴 t=0 的右边，S 随 t 的增大而增大，当 t=4 时，S 可取到最大值2483=6；11 分 当 4t8 时，抛物线 S=tt3832的开口向下，它的顶点是（4，6），S6 综上，当 t=4 时，S 有最大值 6 12 分 方法二：S=22304833488ttttt，当 0t8 时，画出 S 与 t 的函数关系图像，如图所示 11 分 显然，当 t=4 时，S 有最大值 6 12 分 说明

8、：只有当第（3）问解答正确时，第（4）问只回答“有最大值”无其它步骤，可给 1 分；否则，不给分 3.（08 广东广州）25、（2008 广州）（14 分）如图 11，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰PQR 中，QPR=120，底边 QR=6cm，点 B、C、Q、R 在同一直线 l 上，且 C、Q 两点重合，如果等腰PQR 以 1cm/秒的速度沿直线 l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形 ABCD 与等腰PQR 重合部分的面积记为 S 平方厘米（1）当 t=4 时，求 S 的值（2）当4t，求 S 与 t 的函数关系式，并求出S 的最大值 （08

9、 广东广州 25 题解析）25（1）t4 时,Q 与 B 重合，P 与 D 重合，重合部分是BDC3232221 4.（08 广东深圳）22如图 9，在平面直角坐标系中，点，与 y二次函数)0(2acbxaxy的图象的顶点为D轴交于 C 点，与x轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OBOC，tanACO31 （1）求这个二次函数的表达式（2）经过 C、D 两点的直线，与x轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点 F，使以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于 M、

10、N 两点，且以 MN 为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度（4）如图 10，若点 G（2，y）是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点，当点 P 运动到什么位置时，APG 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和APG 的最大面积.（08 广东深圳 22 题解析）22（1）方法一：由已知得：C（0，3），A（1，0）1 分 将 A、B、C 三点的坐标代入得30390ccbacba 2 分 解得：321cba 3 分 所以这个二次函数的表达式为：322xxy 3 分 方法二：由已知得：C（0，3），A（1，0）1 分 设该表达式为：)3)(1(xxay 2 分 图 9yxOED

11、CBAGABCDOxy图 10 将 C 点的坐标代入得：1a 3 分 所以这个二次函数的表达式为：322xxy 3 分（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2）方法一：存在，F 点的坐标为（2，3）4 分 理由：易得 D（1，4），所以直线 CD 的解析式为：3xy E 点的坐标为（3，0）4 分 由 A、C、E、F 四点的坐标得：AECF2，AECF 以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形 存在点 F，坐标为（2，3）5 分 方法二：易得 D（1，4），所以直线 CD 的解析式为：3xy E 点的坐标为（3，0）4 分 以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形

12、F 点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3）代入抛物线的表达式检验，只有（2，3）符合 存在点 F，坐标为（2，3）5 分（3）如图，当直线 MN 在x轴上方时，设圆的半径为 R（R0），则 N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得2171R 6 分 当直线 MN 在x轴下方时，设圆的半径为 r（r0），则 N（r+1，r），代入抛物线的表达式，解得2171r 7 分 圆的半径为2171或2171 7 分（4）过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q，易得 G（2，3），直线 AG 为1xy 8 分 设 P（x，322 xx），则 Q（x，x1），PQ22xx 3)2(212xx

13、SSSGPQAPQAPG 9 分 当21x时，APG 的面积最大 此时 P 点的坐标为415,21，827的最大值为APGS 10 分 5.（08 贵州贵阳）25（本题满分 12 分）(本题暂无答案)某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200 元时，房间可以住满当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用 RRrr11NNMMABDOxy 设每个房间每天的定价增加x元求：（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式（3 分）（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式

14、（3 分）（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？（6 分）6.（08 湖北恩施）六、(本大题满分 12 分)24.如图 11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，BAC=AGF=90，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点 D 不与点 B 重合,点 E 不与点 C 重合),设BE=m，CD=n.（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.（2）求 m 与 n 的函数关系式，直接写出自变量

15、n 的取值范围.（3）以?ABC的斜边BC所在的直线为 x 轴，BC边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图 12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2CE2=DE2.（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD2CE2=DE2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.（08 湖北恩施 24 题解析）六、(本大题满分 12 分)24.解:(1)?ABE?DAE,?ABE?DCA 1 分 BAE=BAD+45,CDA=BAD+45 BAE=CDA 又B=C=45?ABE?DCA 3 分 (2)?ABE?DCA CDBACABE 由依题意可知

16、CA=BA=2 nm22 m=n2 5分 自变量n 的取值范围为1n2.6分 (3)由BD=CE可得BE=CD,即 m=n m=n2 m=n=2 OB=OC=21BC=1 OE=OD=21 D(12,0)7 分 BD=OBOD=1-(21)=22=CE,DE=BC2BD=2-2(22)=222 BD2CE2=2 BD2=2(22)2=1282,DE2=(222)2=1282 BD2CE2=DE2 8 分(4)成立 9 分 证明:如图,将?ACE绕点A顺时针旋转 90至?ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,ABH=C=45,旋转角EAH=90.连接HD,在?EAD和?HAD中 AE=AH,H

17、AD=EAH-FAG=45=EAD,AD=AD.?EAD?HAD DH=DE 又HBD=ABH+ABD=90 BD2+HB2=DH2 即BD2CE2=DE2 12 分 7.（08 湖北荆门）28（本小题满分 12 分）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=4ac (1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标；(3)根据(2)小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系?（08 湖北荆门 28 题解析）28解：

18、(1)由抛物线过B(0,1)得c=1 又b=-4ac,顶点A(-ab2,0),-ab2=aac24=2c=2A(2,0)2 分 将A点坐标代入抛物线解析式，得4a+2b+1=0，.0124,4baab 解得a=41,b=-1.故抛物线的解析式为y=41x2-x+1 4 分 另解:由抛物线过B(0,1)得c=1又b2-4ac=0,b=-4ac，b=-1 2分 a=41,故y=41x2-x+1 4 分 第 28 题图 (2)假设符合题意的点C存在，其坐标为C(x，y),作CDx轴于D,连接AB、AC A在以BC为直径的圆上,BAC=90 AOBCDA OBCD=OAAD 即 1y=2(x-2)，y

19、=2x-4 6 分 由.141,422xxyxy 解得x1=10,x2=2 符合题意的点C存在，且坐标为(10,16)，或(2,0)8分 P为圆心，P为BC中点 当点C坐标为(10,16)时，取OD中点P1，连PP1,则PP1为梯形OBCD中位线 PP1=21(OB+CD)=217D(10,0),P1(5,0),P(5,217)当点C坐标为(2,0)时,取OA中点P2，连PP2,则PP2为OAB的中位线 PP2=21OB=12A(2,0),P2(1,0),P(1,12)故点P坐标为(5,217),或(1,12)10分 (3)设B、P、C三点的坐标为B(x1,y1),P(x2,y2),C(x3,

20、y3)，由(2)可知：.2,2312312yyyxxx 12 分 8.（08 湖北荆州 25 题解析）（本题答案暂缺）25（本题 12 分）如图，等腰直角三角形纸片 ABC 中，ACBC4，ACB90o，直角边 AC 在 x 轴上，B 点在第二象限，A（1，0），AB 交 y 轴于 E，将纸片过 E 点折叠使 BE 与 EA 所在直线重合，得到折痕EF（F 在 x 轴上），再展开还原沿 EF 剪开得到四边形 BCFE，然后把四边形 BCFE 从 E点开始沿射线 EA 平移，至 B 点到达 A 点停止.设平移时间为 t（s），移动速度为每秒 1 个单位长度，平移中四边形 BCFE 与AEF 重叠

21、的面积为 S.（1）求折痕 EF 的长；（2）是否存在某一时刻 t 使平移中直角顶点 C点？若存经过抛物线243yxx的顶在，求出 t 值；若不存在，请说明理由；（3）直接写出S 与 t 的函数关系式及自变量t的取值范围.9.（08 湖北天门）（本题答案暂缺）24(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(0，4)动点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点A出发沿AB方向以每秒35个单位长度的速度向终点B运动设运动了x秒(1)点N的坐标为(_，_)；(用含x的代数式表示)(2)当x为何值时，AMN为等腰三角形？(3)如

22、图，连结ON得OMN，OMN可能为正三角形吗？若不能，点M的运动速度不变，试改变点N的运动速度，使OMN为正三角形，并求出点N的运动速度和此时x的值 10.（08 湖北武汉）（本题答案暂缺）25.（本题 12 分）如图 1，抛物线 y=ax2-3ax+b 经过 A（-1,0），C（3,2）两点，与 y 轴交于点 D，与 x 轴交于另一点 B.（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线 y=kx-1（k0）将 四 边 形 ABCD 面积二等分，求 k 的值；（3）如图 2，过点 E（1，-1）作 EFx 轴于点 F，将AEF 绕平面内某点旋转 180后得MNQ（点 M，N，Q 分别与 点 A，E，F

23、 对应），使点 M，N 在抛物线上，求点 M，N 的坐标.（08 湖北武汉 25 题解析）25.213222yxx；43k；M（3，2），N（1，3）11.（08 湖北咸宁）24（本题(1)(3)小题满分 12 分，(4)小题为附加题另外附加 2分）如图，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿ABCD匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时

24、的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在(1)中当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标 (1)附加题：（如果有时间，还可以继续 解答下面问题，祝你成功！）如果点P、Q保持原速度速度不 变，当点P沿ABCD匀 速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的 值；若不能，请说明理由（08 湖北咸宁 24 题解析）24解：（1）Q(1,0)-1分 点P运动速度每秒钟 1 个单位长度-3分 (2)过点B作BFy轴于点F，BEx轴于点E，则BF8，4OFBE.1046AF.在 RtAFB中，228610AB.-5 分 过点C作CGx轴于点G,与FB的延长线

25、交于点H.90,ABCABBC ABFBCH.6,8BHAFCHBF.ABCDEFGHMNPQOxy 8614,8412OGFHCG.所求C点的坐标为（14，12）.-7分 (3)过点P作PMy轴于点M，PNx轴于点N，则APMABF.APAMMPABAFBF.1068tAMMP.34,55AMtPMt.3410,55PNOMt ONPMt.设OPQ的面积为S(平方单位)213473(10)(1)5251010Stttt(0t10)-10分 说明:未注明自变量的取值范围不扣分.310a 0 当474710362()10t 时,OPQ的面积最大.-11 分 此时P的坐标为(9415，5310).

26、-12分 (4)当 53t 或29513t 时,OP与PQ相等.-14分 对一个加 1 分,不需写求解过程.12.（08 湖南长沙）26.如图，六边形 ABCDEF 内接于半径为r（常数）的O，其中 AD 为直径，且 AB=CD=DE=FA.（1）当BAD=75?时，求BC的长；（2）求证：BCADFE；（3）设 AB=x，求六边形 ABCDEF 的周长 L 关于x的函数关系式，并指出x为何值时，L 取得最大值.（08 湖南长沙 26 题解析）26(1)连结 OB、OC，由BAD=75?，OA=OB 知AOB=30?，（1 分）AB=CD，COD=AOB=30?，BOC=120?，（2 分）故

27、BC的长为3r2 （3 分）(2)连结 BD，AB=CD，ADB=CBD，BCAD，（5 分）同理 EFAD，从而 BCADFE （6 分）(3)过点 B 作 BMAD 于 M，由(2)知四边形 ABCD 为等腰梯形，从而 BC=AD-2AM=2r-2AM （7 分）AD 为直径，ABD=90?，易得BAMDAB AM=ADAB2=rx22，BC=2r-rx2，同理 EF=2r-rx2 （8 分）L=4x+2(2r-rx2)=rxxr4422=rrxr622，其中 0 xr2（9 分）当x=r 时，L 取得最大值 6r （10 分）13（08 湖南益阳）七、(本题 12 分)A B C D E

28、 F O 24.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图 12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为 2.(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.（08 湖南益阳 24 题解析）七、(本题 12 分)24解：(1)解法 1：根据题意可得：A(-1,0)，B(3,0

29、)；则设抛物线的解析式为)3)(1(xxay(a0)又点D(0，-3)在抛物线上，a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1 y=x2-2x-3 3 分 自变量范围：-1x3 4 分 解法 2：设抛物线的解析式为cbxaxy2(a0)根据题意可知，A(-1,0)，B(3,0)，D(0，-3)三点都在抛物线上 30390ccbacba，解之得：321cba y=x2-2x-3 3 分 自变量范围：-1x3 4 分 (2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM，在RtMOC中，OM=1，CM=2，CMO=60,OC=3 在RtMCE中，OC=2，CMO=60，ME=4 点C、E的坐标分别为(0，3)，(-3,0)6 分 切线CE的解析式为3x33y 8 分 (3)设过点D(0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3(k0)9 分 由题意可知方程组3232xxykxy只有一组解 即3232xxkx有两个相等实根，k=-2 11 分 过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3 12 分