数学教学中构造的艺术.pdf

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1、 毕 业 论 文 作者：学号：院系：专业：数学与应用数学：题目：数学教学中构造的艺术 指导老师：2012 年 5 月 20 日 “构造法”在立体几何中的应用 在许多立体几何问题中，由于图形的不规则，因而线面关系也不是很直观、明显，如果我们依题设条件，构造出一个特殊的几何体（如：正方体、长方体、正四面体等），并将其“嵌入”其中，有些线面的关系就会变得更加清晰，问题也就迎刃而解。例1.对于直线 m、n 和平面、，能得出 的一个条件是（）A.mn，m/，n/B.C.D.解析：如图1所示，构造一个正方体 ABCDA1B1C1D1进行观察判断，对于 A，把 AD看作直线 m，BB1看作直线 n，把平面

2、BB1C1C 作为平面，平面 AA1C1C 作为。虽满足 mn，m/，n/，但 不垂直于，从而否定（A）。同样可排除（B）、（D），因此选（C）。图1 点评：空间的线面关系的判断，若是以选择题出现，通常采用构造一个符合已知条件的立体图形，来排除其中的错误命题。例2.正三棱锥 SABC 的侧棱与底面边长相等，如果 E、F 分别为 SC、AB 的中点，那么异面直线 EF、SA 所成的角等于（）A.90 B.60 C.45 D.30 解析：本题的正三棱锥 SABC 即为正四面体，将正四面体 SABC“嵌入”到正方体中，使正四面体的棱分别是正方体六个面的面对角线（如图2所示）。易知EF 是正方体的两底

3、面中心的连线，与正方体的一条侧棱平行，而 SA 与该侧棱所成角是45，故异面直线 EF 与 SA 所成的角等于45，故选（C）项。图2 点评：由所给的几何体它的各棱长都相等，极易联想到正方体。本题通过构造一个正方体，将正四面体 SABC“嵌入”其中，使得所求问题变得非常直观明了。例3.如图3所示，已知三棱锥 PABC，PA=BC=，PB=AC=10，PC=AB=，试求三棱锥 PABC 的体积。图3 解析：注意到三棱锥有三对对边分别相等，若把它放在一个特定的长方体中，则问题不难解决。如图4所示，构造一个长方体 AEBGFPDC，易知三棱锥 PABC 的各边分别是长方体的面对角线。不妨令 PE=x

4、，EB=y，EA=z 则由已知有 解得 x=6，y=8，z=10 从而 故所求三棱锥 PABC 的体积为160。图4 点评：本题也可看作是将三棱锥 PABC“补形”成一个长方体，由于长方体的体积更易计算，但这种“补形”是有一定难度的，如果我们平时对长方体进行过不同形式的“分割”的话，那么将三棱锥“嵌入”长方体中就十分自然。例4.已知球 O 的半径为1，A、B、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心 O1到平面 ABC 的距离为（）A.B.C.D.解析：作出这个图形有一定困难，抓住 O、A、B、C 这四个关键点，构造一个空间图形，结合条件加以分析。由条件知 OA=OB=OC=1，AOB=BOC=AOC=如图5所示，球心 O 与 A、B、C 三点构成正三棱锥 OABC 则其高 故选（B）项 图5 点评：在许多球的问题中，要画出实际空间图形比较困难，但我们可以通过球心、球面上的点以及切点等的连线构造多面体（俗称“骨架图”），把球问题转化为多面体问题来加以解决