数学-高一数学竞赛方程理论及应用专题培训.pdf
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1、打印版 打印版 方程理论及应用 一 一元一次同余方程 1 形式:0(mod),axbm m不能整除a(1)2 讨论 0(mod)axbm的解 分析:1)(,)1a m 设1,2,mxxx是模 m 的完系,因为(,)1a m,所以1,maxbaxb也是模 m 的完系。因此,其中必有且只有一个树与零同余,即0(mod)kaxbm,即(1)有唯一解。由(1)得:(mod)axbm,由欧拉定理知:()1(mod)mam,所以()1(mod)(mod)mbxmabma 2)(,)a md1 设(1)有解,则 db;反过来,设 db,因为(,)1a mdd,所以0(mod)abmxddd(2)有解,所以(
2、1)有解。所以,(1)和(2)是等价的。下面求(2)的解即可。但是要注意,(1)和(2)的模不同,所以(2)的相同的解不一定也是(1)的相同的解,下面我们在(2)的所有解中来求(1)的所有不相同的解。设(2)的唯一解为:(mod)mxd,则所以形如mtd(t 为任意整数)的数都是(2)的解,因此这些数中所有关于模 m 不同余的数就是(1)的所有解。因为当12(mod)mmttmdd(3)时,有120(mod)ttmmd,所以12(mod)ttd;反之也成立,所以(3)成立的充要条件是12(mod)ttd 因此,在所有形如mtd 的数中只要 t 取关于模 d 不同余的数,所得到的数就关于模 m
3、不同余,所以,(1)mmddd 就是(1)的所有解。定理 1 一元一次同余方程中,01 当(,)1a m,有唯一解,()1(mod)mxabm 02(,)a md1,0(mod)axbm有解db,打印版 打印版(mod),0,1,2,1mxtm tdd,其中(mod)mxd是0(mod)abmxddd的唯一解。定理 2(中国剩余定理)设12,km mm两两互质,则同余方程组 11(mod)(mod)kkxamxam (4)对于模12kmm mm有唯一解:1 11(mod)kkkmmxx ax ammm 其中:1(mod)iiimxmm,1,2,ik 二 二元一次不定方程。1 形式:(,)axb
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