数学思想方法之数形结合教学设计.pdf

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1、 2 并主动用这种思想方法解决问题是这节课要落实和渗透的。三、教学目标、重难点 教学目标：通过函数知识的复习让学生进一步意识到代数和几何的联系，会用数形结合思想解决相关函数问题 教学重点：函数问题的读图能力及用数表达图形的能力 教学难点：激发学生主动地把数转化为形，形表述为数的能力 四、教学过程设计 1.思考引入，整合知识 引入：同学们好，今天我们学习一节函数复习课。我们刚刚学完了反比例函数，之前学习了一次函数、二次函数，我们知道各种函数的学习基本分为这几块内容：函数及其图象；函数与方程、不等式的联系；函数的应用。我们已经具备了函数的基础知识、基本技能，而今天这节课我们要复习的是函数学习中反映

2、出的某些基本思想、基本活动经验。（书写课题：数学思想之 ）师：同学们认为函数中最常用的数学思想是什么？师：大家还记得进入初中学习后第一次接触“数形结合”是在什么章节内容吗？师：人教版教材七年级下册学习的平面直角坐标系中，笛卡尔坐标系的引入就是将代数和几何连接起来，比如，用一对有序数对表示一个平面上的点，而点的横、纵坐标分别代表点到两条线段的长度，此时，数和形有效结合，几何学的问题用代数的形式表达出来，打破两者之间的界限。师：我们在如下的问题串中体会这种思想。2.体会数形结合，形成一定感悟 问题 1：如图，直线)0(kbkxy过点A(-1,2)和 B（-2，0），则xbkx2的解集为 （估计学情

3、：学生可能用待定系数法求解函数，再解不等式；也可能直接看图根据函数值的大小求解。）师：什么方法最好？你为什么想到这种方法？师：如果对上题，去掉一个条件但不影响解题，你认为去掉什么？为什么可以去掉这个条件？（教学重点：以上提问中，教师更强调的是为什么：知其然，然后知其所以然）变式：如果把上面的问题改为求xbkx20，它的的解集为 师：你怎么看待这个变化，与及怎么理解它的解题思路变化？设计意图：从学生的两种解法（数、形）入手，通过合理的问题串，让学生理解数形的结合 问题 2：如图，已经一次函数)0(kbkxy与反比例函数xy4的图象交于 A、B 两点，且点 A 的横坐标为 2，点 B 的纵坐标为-

4、4，当x满足什么条件时，一次函数的值比反比例函数的值大？师：在这道题中，你有什么发现或归纳要交流吗？变式：若点 A 的横坐标与点 B 的纵坐标均为 1，当x满足什么条件时，一次函数的值比反比例函数的值大？（估计学情：学生习惯有图的题所以缺少尝试，不去动手，或不能动手，也有可能图形或答案错误）师：我们刚才发现问题 2 中，图形对解题有很大的作用，从图形中可以感知数的关系。那么，请你试着先画出示意图再去寻找答案 师：说说自己的错误原因吧 师：数形结合，可以来源于已知的图形给以的联想，也可以是自己实践过程中的尝试和发现。3.应用数学思想，解决数学问题 3 问题 3：如图，已知抛物线xxy421和直线

5、xy22.我们约定：当x任取一个值时，x对应的函数值分别为1y和2y，若21yy 时，取1y和2y中的较小值 M；若21yy 时，由记21yyM.x2 时，2yM；当 x0 时，M 随 x 的增大而增大；使得 M 大于 4 的值不存在;若 M=2，则 x=1。其中正确的说法是 .师：对数形结合，你有什么体会呢？4.小结与反思 1.这节课的收获与体会（学生谈）2.数学文化之数形结合 我们为什么要培养学生的数形结合意识，数学家阿蒂亚（1929）在数学的统一性一书中给出了答案。他认为几何是数学中这样的一部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分。这种区分也许用另一对词刻画

6、更好，即“洞察”对“严格”，两者在真正的数学研究中都起着本质的作用。它们在教育中的意义也是清楚的。教学的目标应是培养学生发展这两种思维模式，过分强调一种而损害另一种是错误的。所以在数学学习中，我们愿意看到几何和代数在解题思想中的融汇。“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于 1964 年 1 月撰写的谈谈与蜂房结构有关的数学问题的科普小册子中，书中有一首小诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”体会华先生的小诗，我们去理解几何与代数“洞察”与“严格”间的和谐相处。比如，在函数教学中，数

7、表示的是一种精确化研究，形则反应出对函数的一种直观认识和整体把握。研究函数的性质，有数无形难以直观把握函数整体，有形无数不能精确运算。在具体的实践操作时，对数形结合的解读体现为叶老师教学时提出的“读图象中的关键东西，如交点”其实就是在形中找数，把研究精确化；强调“自变量的取值范围”则是带着数从形的角度直观寻找，整体把握函数性质。3.谈谈数学思想 什么叫数学思想，通俗地说，数学思想就是将具体的数学知识都忘掉后剩下的东西。当学生完成学业进入社会后，若干年后他会忘记数学知识，但数学思想中的获益却可以是终生的。义务教育数学课程标准（2011 版）中基本数学思想主要是指数学抽象的思想、数学推理的思想、数

8、学建模的思想。而“数形结合思想”就是从“数学抽象思想”派生出来的。那么通过怎样的数学素材、怎样来培养学生的“数形结合”思想？教学时，老师要区别数学思想和数学方法这两个概念。“数学思想”是观念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、内在的、概括的。而“数学方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的。师：刚才的题中我们都看到了“如图”，可不可以认为图形给了我们从形到数，从数到形的启示呢？如果去掉“如图”两字，我们还会有数形结合的启发吗？因为课明有限，现在布置一道 4 家作，请同学们课后去思考完成。5.布置作业，课后拓展 家作：已知一次函数)0(kbkxy与反比例函数交于点 A(1,3)及点 B，当AOB 的面积为 4 时，求 k 的值.设计意图：从有图的“如图”到无图的题目，学生会有数形结合的意识吗？数形结合会对解决这类问题起到帮助吗？