一次函数经典剖析.pdf

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1、第十一章 一次函数复习课 知识点 1 一次函数和正比例函数的概念 若两个变量 x，y 间的关系式可以表示成 y=kx+b（k，b 为常数，k0）的形式，则称 y是 x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当 b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x，y=-x 都是正比例函数.【说明】（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，b0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量 x 的次数为 1，一次项系数

2、k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.（3）当 b=0，k0 时，y=kx 仍是一次函数.（4）当 b=0，k=0 时，它不是一次函数.知识点 2 函数的图象 把一个函数的自变量 x 与所对应的 y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线 知识点 3 一次函数的图象 由于一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，k0）的图象是一条直线，所以一次函数 y=kx+b的图象也称为直线 y=kx+b 由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个

3、特殊点：直线与 y 轴的交点（0，b），直线与 x 轴的交点（-kb，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数 y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.知识点 4 一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，k0）的性质（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；k0 时，y 的值随 x 值的增大而增大；kO 时，y 的值随 x 值的增大而减小（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与 x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与 x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与 y 轴交点的位置；当 b0 时，直线与 y 轴交于正半轴上；

4、当 b0 时，直线与 y 轴交于负半轴上；当 b=0 时，直线经过原点，是正比例函数（4）由于 k，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；如图 1118（l）所示，当 k0，b0 时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；如图 1118（2）所示，当 k0，bO 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；如图 1118（3）所示，当 kO，b0 时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；如图 1118（4）所示，当 kO，bO 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）（5）由于|k|决定直线与 x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等

5、，且它们是同位角，因此，它们是平行的另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线 y=x1 可以看作是正比例函数 y=x 向上平移一个单位得到的 知识点 3 正比例函数 y=kx（k0）的性质（1）正比例函数 y=kx 的图象必经过原点；（2）当 k0 时，图象经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大；（3）当 k0 时，图象经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小 知识点 4 点 P（x0，y0）与直线 y=kx+b 的图象的关系（1）如果点 P（x0，y0）在直线 y=kx+b 的图象上，那么 x0,y0的值必满足解析式 y=kx+b；（2）如果 x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那

6、么以 x0，y0为坐标的点 P（1，2）必在函数的图象上 例如：点 P（1，2）满足直线 y=x+1，即 x=1 时，y=2，则点 P（1，2）在直线 y=x+l的图象上；点 P（2，1）不满足解析式 y=x+1，因为当 x=2 时，y=3，所以点 P（2，1）不在直线 y=x+l 的图象上 知识点 5 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数 y=kx（k0）中只有一个待定系数 k，故只需一个条件（如一对x，y 的值或一个点）就可求得 k 的值（2）由于一次函数 y=kx+b（k0）中有两个待定系数 k，b，需要两个独立的条件确定两个关于 k，b 的方程，求得 k，b 的值，

7、这两个条件通常是两个点或两对 x，y 的值 知识点 6 待定系数法 先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法其中未知系数也叫待定系数例如：函数 y=kx+b 中，k，b 就是待定系数 知识点 7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为 y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出 k 与 b 的值，得到函数表达式 例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式 解：设一次函数的关系式为 ykx+b（k0），由题意可知，,3,2

8、1bkbk 解.35,34bk 此函数的关系式为 y=3534x【说明】本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式 y=kx+b，其中 k，b 是未知的常量，且 k0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数 k，b）；第三步，求（把求得的 k，b 的值代回到“设”的关系式 y=kx+b 中）；第四步，写（写出函数关系式）.思想方法小结 （1）函数方法 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，

9、灵活运用函数方法可以解决许多数学问题（2）数形结合法 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用 知识规律小结（1）常数 k，b 对直线 y=kx+b(k0）位置的影响 当 b0 时，直线与 y 轴的正半轴相交；当 b=0 时，直线经过原点；当 b0 时，直线与 y 轴的负半轴相交 当 k，b 异号时，即-kb0 时，直线与 x 轴正半轴相交；当 b=0 时，即-kb=0 时，直线经过原点；当 k，b 同号时，即-kb0 时，直线与 x 轴负半轴相交 当 kO，bO 时，图象经过第一、二、三象限；当 k0，b=0 时

10、，图象经过第一、三象限；当 bO，bO 时，图象经过第一、三、四象限；当 kO，b0 时，图象经过第一、二、四象限；当 kO，b=0 时，图象经过第二、四象限；当 bO，bO 时，图象经过第二、三、四象限（2）直线 y=kx+b（k0）与直线 y=kx(k0)的位置关系 直线 y=kx+b(k0)平行于直线 y=kx(k0)当 b0 时，把直线 y=kx 向上平移 b 个单位，可得直线 y=kx+b；当 bO 时，把直线 y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线 y=kx+b（3）直线 b1=k1x+b1与直线 y2=k2x+b2（k10，k20）的位置关系 k1k2y1与 y2相交；2121

11、bbkky1与 y2相交于 y 轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；2121,bbkky1与 y2平行；2121,bbkky1与 y2重合.典例剖析 基本概念题 本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件 例 1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-21x；（2）y=-x2；（3）y=-3-5x；（4）y=-5x2；（5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x2.分析 本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解 解：（1）（3）（5）（6）是一次函数，（l）（6）是正比例函数 例 2 当 m 为何值

12、时，函数 y=-（m-2）x32m+（m-4）是一次函数？分析 某函数是一次函数，除应符合 y=kx+b 外，还要注意条件 k0 解：函数 y=（m-2）x32m+（m-4）是一次函数，,0)2(,132mmm=-2.当 m=-2 时，函数 y=（m-2）x32m+（m-4）是一次函数 小结 某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为 1，系数不为0而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为 0 基础知识应用题 本节基础知识的应用主要包括：（1）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决

13、实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式 例 3 一根弹簧长 15cm，它所挂物体的质量不能超过 18kg，并且每挂 1kg 的物体，弹簧就伸长 05cm，写出挂上物体后，弹簧的长度 y（cm）与所挂物体的质量 x(kg）之间的函数关系式，写出自变量 x 的取值范围，并判断 y 是否是 x 的一次函数 分析（1）弹簧每挂 1kg 的物体后，伸长 05cm，则挂 xkg 的物体后，弹簧的长度y 为（l5+05x）cm，即 y=15+05x（2）自变量 x 的取值范围就是使函数关系式有意义的 x 的值，即 0 x18(3)由 y=15+05x 可知，y 是 x 的一次函数 解：（l）y=15+

14、05x（2）自变量 x 的取值范围是 0 x18（3）y 是 x 的一次函数 学生做一做 乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约 600 千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为 58 千米时，则火车离库尔勒的距离 s（千米）与行驶时间 t（时）之间的函数关系式是 .老师评一评 研究本题可采用线段图示法，如图 1119 所示 火车从乌鲁木齐出发，t 小时所走路程为 58t 千米，此时，距离库尔勒的距离为 s 千米，故有 58t+s=600，所以，s=600-58t 例 4 某物体从上午 7 时至下午 4 时的温度 M（）是时间 t（时）的函数：M=t2-5t+100（其中 t=0 表示中午 12 时，t=1

15、 表示下午 1 时），则上午 10 时此物体的温度为 分析 本题给出了函数关系式，欲求函数值，但没有直接给出 t 的具体值从题中可以知道，t=0 表示中午 12 时，t=1 表示下午 1 时，则上午 10 时应表示成 t=-2，当 t=-2时，M=（-2）3-5（-2）+100=102（）答案：102 例 5 已知 y-3 与 x 成正比例，且 x=2 时，y=7.（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x=4 时，求 y 的值；（3）当 y=4 时，求 x 的值 分析 由 y-3 与 x 成正比例，则可设 y-3=kx，由 x=2，y=7，可求出 k，则可以写出关系式 解：（1）

16、由于 y-3 与 x 成正比例，所以设 y-3=kx 把 x=2，y=7 代入 y-3=kx 中，得 7-32k，k2 y 与 x 之间的函数关系式为 y-3=2x，即 y=2x+3（2）当 x=4 时，y=24+3=11（3）当 y4 时，4=2x+3，x=21.学生做一做 已知y与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y关于x的函数关系式是 .老师评一评 由 y 与 x+1 成正比例，可设 y 与 x 的函数关系式为 y=k（x+1）.再把 x=5，y=12 代入，求出 k 的值，即可得出 y 关于 x 的函数关系式 设 y 关于 x 的函数关系式为 y=k（x+1）.当 x=5 时，y

17、=12，12=（5+1）k，k=2 y 关于 x 的函数关系式为 y=2x+2【注意】y 与 x+1 成正比例，表示 y=k(x+1)，不要误认为 y=kx+1.例 6 若正比例函数 y=（1-2m）x 的图象经过点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2），当 x1x2时，y1y2，则 m 的取值范围是（）AmO Bm0 Cm21 DmM 分析 本题考查正比例函数的图象和性质，因为当 x1x2时，y1y2，说明 y 随 x 的增大而减小，所以 1-2mO,m21，故正确答案为 D 项 学生做一做 某校办工厂现在的年产值是 15 万元，计划今后每年增加 2 万元（1）写出年产值 y（万元）与年数

18、 x（年）之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）求 5 年后的产值 老师评一评（1）年产值 y（万元）与年数 x（年）之间的函数关系式为 y=15+2x（2）画函数图象时要特别注意到该函数的自变量取值范围为 x0，因此，函数 y=15+2x的图象应为一条射线 画函数 y=12+5x 的图象如图1121 所示 （3）当 x=5 时，y15+25=25（万元）5 年后的产值是 25 万元 例 7 已知一次函数 y=kx+b 的图象如图 1122 所示，求函数表达式 分析 从图象上可以看出，它与 x 轴交于点（-1，0），与 y 轴交于点（0，-3），代入关系式中，求出 k 为即可 解：由图

19、象可知，图象经过点（-1，0）和（0，-3）两点，代入到 y=kx+b 中，得,03,0bbk.3,3bk 此函数的表达式为 y=-3x-3.例 8 求图象经过点（2，-1），且与直线 y=2x+1 平行的一次函数的表达式 分析 图象与 y=2x+1 平行的函数的表达式的一次项系数为 2，则可设此表达式为y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出 b 即可 解：由题意可设所求函数表达式为 y=2x+b，图象经过点（2，-1），-l=22+b b=-5，所求一次函数的表达式为 y=2x-5.综合应用题 本节知识的综合应用包括：（1）与方程知识的综合应用；（2）与不等式知识的综合应用；（3）与实际

20、生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题 例 8 已知 y+a 与 x+b（a，b 为是常数）成正比例（1）y 是 x 的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，y 是 x 的正比例函数？分析 判断某函数是一次函数，只要符合 y=kx+b（k，b 中为常数，且 k0）即可；判断某函数是正比例函数，只要符合 y=kx(k 为常数，且 k0)即可 解：（1）y 是 x 的一次函数 y+a 与 x+b 是正比例函数，设 y+a=k(x+b)（k 为常数，且 k0）整理得 y=kx+（kb-a）k0，k，a，b 为常数，y=kx+(kb-a)是一次函数（2）当 kb-a=0，即 a=kb 时，y

21、是 x 的正比例函数 例 9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交 50 元月租费，然后每通话 1 分，再付电话费 04 元；“神州行”使用者不交月租费，每通话 1 分，付话费 06元（均指市内通话）若 1 个月内通话 x 分，两种通讯方式的费用分别为 y1元和 y2元（1）写出 y1，y2与 x 之间的关系；（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？（3）某人预计一个月内使用话费 200 元，则选择哪种通讯方式较合算？分析 这是一道实际生活中的应用题，解题时必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算，方可得出正确结论 解：（1）y1=50+04x（其中 x0，且

22、 x 是整数）y2=06x（其中 x0，且 x 是整数）(2)两种通讯费用相同，y1=y2，即 50+04x=06x x250 一个月内通话 250 分时，两种通讯方式的费用相同（3）当 y1=200 时，有 200=50+04x，x=375（分）“全球通”可通话 375 分 当 y2=200 时，有 200=06x，x=33331（分）“神州行”可通话 33331分 37533331，选择“全球通”较合算 例 10 已知 y+2 与 x 成正比例，且 x=-2 时，y=0（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察图象，当 x 取何值时，y0？（4）若点（m，6）

23、在该函数的图象上，求 m 的值；（5）设点 P 在 y 轴负半轴上，（2）中的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，且 SABP=4，求 P 点的坐标 分析 由已知 y+2 与 x 成正比例，可设 y+2=kx，把 x=-2，y=0 代入，可求出 k，这样即可得到 y 与 x 之间的函数关系式，再根据函数图象及其性质进行分析，点（m，6）在该函数的图象上，把 x=m，y=6 代入即可求出 m 的值 解：（1）y+2 与 x 成正比例，设 y+2=kx（k 是常数，且 k0）当 x=-2 时，y=0 0+2k（-2），k-1 函数关系式为 x+2=-x，即 y=-x-2（2）列表；x 0

24、-2 y-2 0 描点、连线，图象如图 1123 所示 （3）由函数图象可知，当 x-2 时，y0 当 x-2 时，y0(4)点（m，6）在该函数的图象上，6=-m-2,m-8（5）函数 y=-x-2 分别交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，A（-2，0），B（0，-2）SABP=21|AP|OA|=4，|BP|=428|8OA.点 P 与点 B 的距离为 4 又B 点坐标为(0，-2),且 P 在 y 轴负半轴上，P 点坐标为(0，-6).例 11 已知一次函数 y=（3-k）x-2k2+18.（1）k 为何值时，它的图象经过原点？（2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k 为

25、何值时，它的图象平行于直线 y=-x？（4）k 为何值时，y 随 x 的增大而减小？分析 函数图象经过某点，说明该点坐标适合方程；图象与 y 轴的交点在 y 轴上方，说明常数项 bO；两函数图象平行，说明一次项系数相等；y 随 x 的增大而减小，说明一次项系数小于 0 解：（1）图象经过原点，则它是正比例函数,03,01822kkk-2 当 k=-3 时，它的图象经过原点（2）该一次函数的图象经过点（0，-2）.-2=-2k2+18，且 3-k0，k=10 当 k=10时，它的图象经过点(0，-2)（3）函数图象平行于直线 y=-x，3-k=-1，k4 当 k4 时，它的图象平行于直线 x=-

26、x（4）随 x 的增大而减小，3-kO k3 当 k3 时，y 随 x 的增大而减小 例 12 判断三点 A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上 分析 由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线上 解：设过 A，B 两点的直线的表达式为 y=kx+b 由题意可知，,02,31bbk.2,1bk 过 A，B 两点的直线的表达式为 y=x-2 当 x=4 时，y=4-2=2 点 C（4，2）在直线 y=x-2 上 三点 A（3，1），B（0，-2），C（4，2）在同一条直线上

27、 学生做一做 判断三点 A（3，5），B（0，-1），C（1，3）是否在同一条直线上.探索与创新题 主要考查学生运用知识的灵活性和创新性，体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用 例 13 老师讲完“一次函数”这节课后，让同学们讨论下列问题：（1）x 从 0 开始逐渐增大时，y=2x+8 和 y=6x 哪一个的函数值先达到 30？这说明了什么？（2）直线 y=-x 与 y=-x+6 的位置关系如何？甲生说：“y=6x 的函数值先达到 30，说明 y=6x 比 y=2x+8 的值增长得快”乙生说：“直线 y=-x 与 y=-x+6 是互相平行的”你认为这两个同学的说法正确吗？分析（1

28、）可先画出这两个函数的图象，从图象中发现，当 x2 时，6x2x+8，所以，y=6x 的函数值先达到 30（2）直线 y=-x 与 y=-x+6 中的一次项系数相同，都是-1，故它们是平行的，所以这两位同学的说法都是正确的 解：这两位同学的说法都正确 例 14 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，用旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠”乙旅行社说：“所有人按全票价的 6 折优惠”已知全票价为 240 元 （1）设学生人数为 x，甲旅行社的收费为 y甲元，乙旅行社的收费为 y乙元，分别表示两家旅行社的收费；（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠 分析 先求出甲、乙两旅行社的收费与学生

29、人数之间的函数关系式，再通过比较，探究结论 解：（1）甲旅行社的收费 y甲（元）与学生人数 x 之间的函数关系式为 y甲=240+21240 x=240+120 x.乙旅行社的收费 y乙（元）与学生人数 x 之间的函数关系式为 y乙=24060（x+1）=144x+144（2）当 y甲=y乙时，有 240+120 x=144x+144，24x96，x=4 当 x=4 时，两家旅行社的收费相同，去哪家都可以 当 y甲y乙时，240+120 x144x+144，24x96，x4 当 x4 时，去乙旅行社更优惠 当 y甲y乙时，有 240+120 x140 x+144，24x96，x4 当 x4 时

30、，去甲旅行社更优惠 小结 此题的创新之处在于先通过计算进行讨论，再作出决策，另外，这两个函数都是一次函数，利用图象来研究本题也不失为一种很好的方法 学生做一做 某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在 3000 千克以上（含 3000 千克）的有两种销售方案甲方案：每千克 9 元，由基地送货上门；乙方案：每千克 8 元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为 5000 元（1）分别写出该公司两种购买方案的付款 y（元）与所购买的水果量 x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量 X 的取值范围；（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？并说

31、明理由 老师评一评 先求出两种购买方案的付款 y（元）与所购买的水果量 x（千克）之间的函数关系式，再通过比较，探索出结论（1）甲方案的付款 y甲（元）与所购买的水果量 x（千克）之间的函数关系式为 y甲=9x（x3000）；乙方案的付款 y乙（元）与所购买的水果量 x（千克）之间的函数关系式为 y乙=8x+500O（x3000）（2）有两种解法：解法 1：当 y甲=y乙时，有 9x=8x+5000，x=5000 当 x=5000 时，两种方案付款一样，按哪种方案都可以 当 y甲y乙时，有 9x8x+5000，x5000 又x3000，当 3000 x5000 时，甲方案付款少，故采用甲方案

32、当 y甲y乙时，有 9x8x+5000，x5000 当 x500O 时，乙方案付款少，故采用乙方案 解法 2：图象法，作出 y甲=9x 和 y乙=8x+5000 的函数图象，如图 1124 所示，由图象可得：当购买量大于或等于 3000 千克且小于 5000 千克时，y甲y乙,即选择甲方案付款少；当购买量为 5000 千克时，y甲y乙即两种方案付款一样；当购买量大于 5000 千克时，y甲y乙，即选择乙方案付款最少 【说明】图象法是解决问题的重要方法，也是考查学生读图能力的有效途径.例 15 一次函数 y=kx+b 的自变量 x 的取值范围是-3x6，相应函数值的取值范围是-5y-2，则这个函

33、数的解析式为 .分析 本题分两种情况讨论：当 k0 时，y 随 x 的增大而增大，则有：当 x=-3，y=-5；当 x=6 时，y=-2，把它们代入 y=kx+b 中可得,62,35bkbk,4,31bk函数解析式为 y=-31x-4 当 kO 时则随 x 的增大而减小，则有：当 x=-3 时，y=-2；当 x=6 时，y=-5，把它们代入 y=kxb 中可得,65,32bkbb,3,31bk函数解析式为 y=-31x-3.函数解析式为 y=31x-4，或 y=-31x-3.答案：y=31x-4 或 y=-31x-3.【注意】本题充分体现了分类讨论思想，方程思想在一次函数中的应用，切忌考虑问题

34、不全面.中考试题预测 例 1 某地举办乒乓球比赛的费用 y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用 b（元），另一部分与参加比赛的人数 x（人）成正比例，当 x=20 时 y=160O；当x=3O 时，y=200O（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）动果有 50 名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？分析 设举办乒乓球比赛的费用 y（元）与租用比赛场地等固定不变的费用 b（元）和参加比赛的人数 x（人）的函数关系式为 y=kx+b（k0）.把 x=20，y=1600；x=30，y=2000 代入函数关系式，求出 k，b 的值，进而求出

35、y 与 x之间的函数关系式，当 x=50 时，求出 y 的值，再求得 y50 的值即可 解：（1）设 y1=b，y2=kx（k0，x0），y=kx+b 又当 x=20 时，y=1600；当 x=30 时,y=2000，,302000,201600bkbk.800,40bk y 与 x 之间的函数关系式为 y=40 x+800（x0）.（2）当 x=50 时，y=4050+800=2800（元）每名运动员需支付 280050=56（元 答：每名运动员需支付 56 元 例 2 已知一次函数 y=kx+b，当 x=-4 时，y 的值为 9；当 x=2 时，y 的值为-3（1）求这个函数的解析式。（2

36、）在直角坐标系内画出这个函数的图象 分析 求函数的解析式，需要两个点或两对 x，y 的值，把它们代入 y=kx+b 中，即可求出 k 在的值，也就求出这个函数的解析式，进而画出这个函数的图象 解：（1）由题意可知,23,49bkbk.12bk 这个函数的解析式为 x=-2x+1.(2)列表如下：x 0 21 y 1 0 描点、连线，如图 1126 所示即为 y=-2x+1的图象 例 3 如图 1127 所示，大拇指与小拇指尽 量 张开时，两指尖的距离称为指距某项研究表明，一 般 情况下人的身高 h 是指距 d 的一次函数，下表是测得 的 指距与身高的一组数据 指距 d/cm 20 21 22

37、23 身高 h/cm 160 169 178 187（1）求出 h 与 d 之间的函数关系式；（不要求写出自变量 d 的取值范围）（2）某人身高为 196cm，一般情况下他的指距应是多少？分析 设 h 与 d 之间的函数关系式是 h=kd+b（k0）当 d20 时，h=160；当 d=21 时,h=169 把这两对 d,h 值代人 h=kd+b 得,21169,20160bkbk.20,9bk 所以得出 h 与 d 之间的函数关系式，当 h=196 时，即可求出 d 解：（1）设 h 与 d 之间的函数关系式为 h=kd+b(k0)由题中图表可知当 d=2O 时,h=16O；当 d=21 时，

38、h=169.把它们代入函数关系式，得,21169,20160bkbk.20,9bk h 与 d 之间的函数关系式是 h=9d-20（2）当 h=196 时，有 196=9d-20 d24 当某人的身高为 196cm 时，一般情况下他的指距是 24cm 例 4 汽车由重庆驶往相距 400 千米的成都，如果汽车的平均速度是 100 千米时，那么汽车距成都的路程 s（千米）与行驶时间 t（时）的函数关系用图象（如图 1128 所示）表示应为（）分析 本题主要考查函数关系式的表达及函数图象的知识，由题意可知,汽车距成都的路程 s（千米）与行驶时间 t（时）的函数关系式是 s=400-100t，其中自变

39、量t的取值范围是0t4，所以有0s400，因此这个函数图象应为一条线段，故淘汰掉 D又因为在 S=400-100t 中的 k=-1000，s 随 t 的增大而减小，所以正确答案应该是 C 答案：C 小结 画函数图象时，要注意自变量的取值范围，尤其是对实际问题 例 5 已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象经过点（2，-5）.请你写出一个同时满足（1）和（2）的函数关系式：分析 这是一个开放性试题，答案是不惟一的，因为点（2，-5）在第四象限，而图象又不经过第二象限，所以这个函数图象经过第一、三、四象限，只需在第一象限另外任意找到一点，就可以确定出函数的解析式 设经过第一、二、四象限的直

40、线解析式为 y=kx+b（kO），另外的一点为（4，3），把这两个点代入解析式中即可求出 k，b.,25,43bkbk .13,4bky=4x-13.答案：y4x-13【注意】后面学习了反比例函数二次函数后可另行分析.例 6 人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关如果用 a 表示一个人的年龄，用 b表示正常情况下这个人运动时所能承受的每分心跳的最高次数，另么 b=08（220-a）（1）正常情况下，在运动时一个 16 岁的学生所能承受的每分心跳的最高次数是多少？（2）一个 50 岁的人运动 10 秒时心跳的次数为 20 次，他有危险吗？分析（1）只需求出当 a=16 时 b 的值即可（2）求出

41、当 a=50 时 b 的值，再用 b 和 201060=120（次）相比较即可 解：（1）当 a=16 时，b=08（220-16）1632（次）正常情况下，在运动时一个 16 岁的学生所能承受的每分心跳的最高次数是 1632次（2）当 a=50 时，b=08（220-50）=08170=136（次），表示他最大能承受每分 136 次 而 201060=120136，所以他没有危险 一个 50 岁的人运动 10 秒时心跳的次数为 20 次，他没有危险 例 7 某市的 A 县和 B 县春季育苗，急需化肥分别为 90 吨和 60 吨，该市的 C 县和 D县分别储存化肥 100 吨和 50 吨，全部

42、调配给 A 县和 B 县已知 C，D 两县运化肥到 A，B 两县的运费（元吨）如下表所示 （1）设 C 县运到 A 县的化肥为 x 吨，求总运费 W（元）与 x（吨）的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案 分析 利用表格来分析 C，D 两县运到 A，B 两县的化肥情况如下表 则总运费 W（元）与 x（吨）的函数关系式为 W=35x+40（90-x）+30（100-x）+4560-（100-x）=10 x+4800 自变量 x 的取值范围是 40 x90 解：（1）由 C 县运往 A 县的化肥为 x 吨，则 C 县运往 B 县的化肥为（100

43、-x）吨 D 县运往 A 县的化肥为（90-x）吨，D 县运往 B 县的化肥为（x-40）吨 由题意可知 W35x+40（90-x）+30（100-x）+45（x-40）10 x+4800 自变量 x 的取值范围为 40 x90 总运费 W（元）与 x（吨）之间的函数关系式为 w1Ox+480O（40 x9O）（2）100，W 随 x 的增大而增大 当 x=40 时，W最小值=1040+4800=5200（元）运费最低时，x=40，90-x=50（吨），x-40=0（吨）当总运费最低时，运送方案是：C 县的 100 吨化肥 40 吨运往 A 县，60 吨运往 B 县，D 县的 50 吨化肥全部

44、运往 A 县 例 8 2006 年夏天，某省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，图 1129是某水库的蓄水量 V（万米2）与干旱持续时间 t（天）之问的关系图，请根据此图回答下列问题（1）该水库原蓄水量为多少万米2？持续干旱 10 天后水库蓄水量为多少万米3？（2）若水库存的蓄水量小于 400 万米3时，将发出严重干旱警报，请问：持续干旱多少天后，将发生严重干旱警报？（3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸？分析 由函数图象可知，水库的蓄水量 V（万米2）与干旱时间 t（天）之间的函数关系为一次函数，设一次函数的解析式是 V=kt+b（k，b 是常数，且 k0）.由图象求得这个函数

45、解析式，进而求出本题（1）（2）（3）问即可 解：设水库的蓄水量 V（万米3）与干旱时间 t（天）之间的函数关系式是 V=kt+b（k，b 是常数，且 k=0）由图象可知，当 t=10 时，V=800；当 t=30 时，V=400 把它们代入 V=kt+b 中，得,30400,10800bkbk.1000,20bk V=-20t+1000（0t50）（1）当 t=0 时，V=-200+1000=1000（万米2）；当 t=10 时，V=-2010+1000=800（万米3）该水库原蓄水量为 1000 万米3，持续干旱 10 天后，水库蓄水量为 800 万米3（2）当 V400 时，有-20t+

46、1000400，t30，当持续干旱 30 天后，将发生严重干旱警报（3）当 V=0 时，有-20t+1000=0，t50，按此规律，持续干旱 50 天时，水库将干涸【说明】解决本题的关键是求出 V 与 t 之间的函数关系式.例 9 图 1130 表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程 y（千米）随时间 x（分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题（1）当比赛开始多少分时，两人第一次相遇？（2）这次比赛全程是多少千米？（3）当比赛开始多少分时，两人第二次相遇？分析 本题主要考查读图能力和运用函数图象解决实际问题的能力解决本题的关键是写出甲、乙两人在行驶中，路程 y（千米）随时间 x（分

47、）变化的函数关系式，其中：乙的函数图象为正比例函数，而甲的函数图象则是三段线段，第一段是正比例函数，第二段和第三段是一次函数，需分别求出 解：（1）当 15x33 时，设 yAB=k1x+b1，把（15，5）和（33，7）代入，解得 k1=91,b1=310,yAB=91x+310.yAB=91x+310.当 y=6时，有 6=91x+310，x=24。比赛开始 24 分时，两人第一次相遇（2）设 yOD=mx,把（4，6）代入，得 m=41，当 X=48 时，yOD=4148=12（千米）这次比赛全程是 12 千米（3）当 33x43 时，设 yBC=k2x+b2，把（33，7）和（43，1

48、2）代入，解得 k2=21，b2=-219.yBC=21x-219.解方程组得.41,21921xyxy得.219,38yx x=38.当比赛开始 38 分时，两人第二次相遇 例 10 如图 1131 所示，已知直线 y=x+3 的图象与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点，直线l经过原点，与线段 AB 交于点 C，把AOB 的面积分为 2：1 的两部分，求直线l的解析式 分析 设直线l的解析式为 y=kx(k0),因为l分AOB 面积比为 2：1，故分两种情况：SAOC：SBOC=2：1；SAOC：SBOC=1：2求出 C 点坐标，就可以求出直线l的解析式 解：直线 y=x+3 的图象与 x,

49、y 轴交于 A，B 两点 A 点坐标为（-3，0）,B 点坐标为(0,3).|OA|3，|OB|=3 SAOB=21|OA|OB|=2133=29.设直线l的解析式为 y=kx（k0）.直线l把AOB 的面积分为 2：1，直线l与线段 AB 交于点 C 分两种情况来讨论：当 SAOC:SBOC=2:1 时，设 C 点坐标为（x1，y1）.又SAOB=SAOC+SBOC=29，SAOB=3229=3.即 SAOC=21|OA|y1|=213|y1|=3.y1=2，由图示可知取 y1=2 又点 C 在直线 AB 上，2=x1+3，x1=-1.C 点坐标为（-1，2）把 C 点坐标（-1，2）代人 y=kx 中，得 2=-1k，k-2 直线l的解析式为 y=-2x 当 SAOC:SBOC=1:2 时，设 C 点坐标为(x2,y2)又SAOC=SAOC+SBOC=29,SAOB=,233129 即 SAOC=21|OA|y2|=213|y2|=23.y2=1，由图示可知取 y2=1.又点 C 在直线 AB 上，1=x2+3，x2=-2.把 C 点坐标（-2，1）代入 y=kx 中，得 1=-2k，k=-y2.直线l的解析式为 y=-21x.直线l的解析式为 y=-2x 或 y=-21x.