欧拉积分及其应用.pdf

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1、 .-可修编.欧拉积分及其简单应用 引言：我们知道无穷级数是构造新函数的一种重要工具，利用它我们可以构造出处处连续而处处不可微的函数，还可以构造出能填满正方形的连续曲线（参见常庚哲、史济怀著数学分析教程第三册第17 章17.8）含参量积分是构造新函数的另一重要工具，欧拉积分就是在应用中经常出现的含参量积分表示的函数。它虽身为含参量积分的一种特例，被教科书编用于加深对含参量积分所表示的函数的分析方法的理解。但本身也是许多积分的抽象概括，能为相关积分的计算带来方便。欧拉积分包括：伽马（Gamma）函数：(s)=01dxexxs,s0.-（1）贝塔（Beta）函数：B(p，q)=1011)1(dxx

2、xqp，p0,q0-（2）下面我们分别讨论这两个函数的性质：一、B 函数Euler 第一积分 1、定义域：B(p，q)=1011)1(dxxxqp=21011)1(dxxxqp+12111)1(dxxxqp=1I +2I 对 1I=21011)1(dxxxqp 当 x0 时.1I=2101dxxp=21011dxxp其收敛须p0 对2I=12111)1(dxxxqp .-可修编.当 x1 时，2I=1211)1(dxxq,令.1-x=t=2101dxtq=21011dxtq其收敛须.q0.B(p，q)定义域为 p0,q0.2、连续性 因为对p。0，q。0 有11)1(qpxx1100)1(qp

3、xxpp。,qq。而101100)1(dxxxqp收敛，故由魏尔斯特拉斯M 判别法知 B(p，q)在 p。p+,q。q0,q0 内连续。3、对称性 B(p，q)=B(p，q)作变换 x=1-y,得 B(p，q)=1011)1(dxxxqp=1011)1(dyyyqp=B(q，p)4、递推公式 B(p，q)=11qpqB(p，q-1)(p0,q1)(1)B(p，q)=11qppB(p-1，q)(p1,q0).(2)B(p，q)=)2)(1()1)(1(qpqpqpB(p-1，q-1)(p1,q1)(3)B(p，q)=B(p+1，q)+B(p，q+1)(p-1,q-1).(4)下面只证明(1)；(

4、2)可由对称性及公式(1)推出；(3)、(4)可由公式(1).、(2.推得；当 P0,q1 时，有 B(p，q)=1011)1(dxxxqp=101)1(1pqdxxp=101|)1(pxxqp+102)1(1dxxxpqqp .-可修编.=10211)1)(1(1dxxxxxpqqpp=1021)1(1dxxxpqqp1011)1(1dxxxpqqp=pq1 B(p，q1)pq1B(p，q)移项并整理得(1)5、B(p，q)的其他形式 a,令 x=t2cos 则 B(p，q)=2201212cossintdttpq 特别的当 p=q=21,B(p，q)=B(21，21)=b.令 x=t11

5、当 x:01 有 t:+0 B(p，q)=01)1(dtttqpq=01)1(dtttqpp=101)1(dtttqpp+11)1(dtttqpp 考察01)1(dtttqpq,令 t=y1,则有11)1(dtttqpp=011)1(dtttqpq=101)1(dtttqpq.B(p，q)=1011)1(dttttqpqp 二、函数Euler 第二积分 1、定义域(s)=01dxexxs=101dxexxs+11dxexxs=1I +2I 其中 .-可修编.1I=101dxexxs,当 s1 时是正常积分；当 0s0 时是收敛的无穷限反常积分（也可用柯西判别法推得）；所以，函数在 s0 时收敛

6、，即定义域为 s0.2、连续性 在任何闭区间a，b(a0)上，对1I ，当 0 x1 时有xsex1xaex1 由于101dxexxa收敛，从而1I 在a，b上一致收敛;对于 2I，当 1x0 上连续 3、可微性 01)(dxexsxs=01ln xdxexxs=01)ln(dxexxxs（利用狄利克雷判别法）它在任何闭区间a，b(a0)上一致收敛.(s)在a，b上可导.由 a，b 的任意性，(s)在 s0 上可导，且(s)=01ln xdxexxs s0.依 照 上 面 的 方 法，还 可 推 得 (s)在s0上 存 在 任 意 阶 导 数：)(n(s)=01)(lndxxexnxs.s0.

7、4、递推公式 (s+1)=s(s)证：分部积分法 Axsdxex0=Axsex0|+Axsdxexs01=AseA+Axsdxexs01 设 A+，就得到(s)的递推公式：.-可修编.(s+1)=s(s)设 nsn+1，即 0sn1，应用递推公式 n 次可得到(s+1)=s(s)=s(s-1)(s-1)=.=s(s-1)(s-2)(s-n)(s-n)因（1）=0dxex=1 若 s 为正整数n+1，则(n+2)=(n+1)n.2(1)=(n+1)！从上可以看出：（2）.函数是阶乘的推广（x）！（2）如果已知（s）在 0s1 上的值，那么在其他 X 围内的函数值可由它计算出来，即可做出一个函数值

8、表 三、函数与函数之间的关系 当 m，n 为正整数时，反复应用函数的递推公式可得：(m,n)=11nmn(m,n-1)=11.2211mnmnnmn(m,1)又由于(m,1)=1011mdxxm，所以(m,n)=11.2211mnmnnmn)!1()!1(1mmm=)!1()!1()!1(nmmn 即(m，n)=)()()(mnmn 一般地，对于任何正实数 p、q 也有相同的关系：(p,q)=)()()(qpqp 证：对于函数，令 x=2u，则ududx2，于是 0120122)(dueudxexpupxp，从而 .-可修编.)()(qp40122dxexxp0122dyeyyq=limR4R

9、xpdxex0122Ryqdyey0122 令,0,0RRDR，由二重积分化为累次积分计算公式有 RDyxqpdeyx)(121222=Rxpdxex0122Ryqdyey0122,所以)()(qplimR4RDyxqpdeyx)(121222=4Dyxqpdeyx)(121222.(4)这里 D 为平面上第一象限部分。下面讨论（4）式右边的反常二重积分。记0,0,|),(222yxryxyxDr 于是有)()(qp4Dyxqpdeyx)(121222=limr4rDyxqpdeyx)(121222，对上式右边积分应用极坐标变换，则可得)()(qplimr420012122)(22)(sin)

10、(cosrrqpqprdrerd=limr2201212)(sin)(cosdqprrqpdrer01)(222=2201212)(sin)(cosdqp(p+q)再由函数其他形式（a）就得到)()(qp(p,q)(p+q)四、在计算积分之中的应用 1、积分值计算：例 1、102dxxx 解：原式=102121)1(dxxx .-可修编.=102123123)3()23()23,23()1(dxxx=824!2)21(212 参考文献：【1】、华东师 X 大学数学系，数学分析M，(上，下册)：高等教育 2007【2】、李铁木 编著分析提纲与命题证明M，（第二册）：宇航，1986 【3】、费定辉

11、，周学圣等，吉米多维奇数学分析习题集题解（五）M，：XX 科学技术，1999 【4】裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.:高等教育,1993.【5】.菲赫金哥尔茨.微积分学教程M.:高等教育,1986.Solving definite integral calculation by using Euler integral Wang QingGuo Abstract:In this paper,aiming at solving some very difficult definite integral calculation problems,these problems are transformed into Euler integral through certain transformation at first,then these problems are solved easily by using some of properties of Euler integral,so it provides an effective method of solving some special types of definite integral calculation to us Key words:Euler integral;function;function;