专题01全等三角形中的辅助线做法及常见题型(解析版).pdf

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1、 专题 01 全等三角形中的辅助线做法及常见题型 2021 届中考数学压轴大题专项训练(解析版)1如图，在ABC中，90ACB，ACBCD是AB的中点，且90EDF，点E在AC上，点F在BC上（1）求证：DEDF；（2）若2ACBC，求四边形ECFD的面积 【详解】（1）证明：ACBC，90ACB，ABC是等腰直角三角形，45AB，D为AB中点，BDAD，CD平分BCA，CDAB 45DCF 90EDF，90ADEEDC，90CDFEDC，CDFADE 在ADE和CFD中，ADECDFADCDADCF ，ADECFD ASA，DEDF（2）ADECFD，AEDCFDSS，S四边形CEDFADC

2、S，D是AB的中点，111221222ACDACBSS S四边形CEDF=1 2如图，ABC中，点 D在AC边上，且1902BDCABD （1）求证：DBAB；（2）点 E 在BC边上，连接AE交BD于点 F，且AFDABC，BECD，求ACB的度数（3）在（2）的条件下，若16BC，ABF的周长等于 30，求AF的长【详解】（1）证明：BDC9012ABD，BDC=ABD+A，A9012ABD BDCBDA180，BDA180BDC9012ABD ABDA9012ABD DBAB 解：（2）如图 1，作 CHBE，连接 DH，AFDABC，AFDABDBAE，ABCABDDBC，BAEDBC

3、 由（1）知，BADBDA，又EACBADBAE，CADBDBC，CAEC AECE BECH，BEEHCHEH 即 BHCEAE ABBD，BDHABE BEDH BECD，CHDHCD DCH 为等边三角形 ACB 60（3）如图 2，过点 A作 AOCE，垂足为 O DHAE，CAECDH60，AECDHC60 ACE是等边三角形 设 ACCEAEx，则 BE16x，DHAE，BFEBDH 16BFBEEFxBDBHDHx 1616xxBFBDABxx，21616xxEFDHxx ABF 的周长等于 30，即 ABBFAFAB16xABxx216xx=30，解得 AB168x 在 RtA

4、CO中，AC2x，AO32x，BO162x 在 RtABO中，AO2BO2AB2，即2221616428xxxx 解得10 x（舍去）225621x AC25621 AF11 3已知：在AOB和COD中，OAOB，OCOD（1）如图，若60AOBCOD 求证：ACBD 求证：APB的度数 图（2）如图，若AOBCOD，APD的大小为_（直接写出结果，不证明）图【详解】解:（1）60AOBCOD，AOBBOCCODBOC，AOCBOD，在AOC和BOD中，AOBOAOCBODOCOD，AOCBOD SAS，ACBD AOCBOD，OACOBD，OACAOBOBDAPB，60OACOBDAPB ，

5、60APB；（2）如图，同理可得：()AOCBOD SAS，ACBD AOCBOD，OACBOD，OACAOBOBDAPB，OACOBDAPB APB 故答案为：ACBD，APB 4如图，在ABC中，ADBC于点D，ADBD，点E是线段AD上一点，且EDCD，连接BE交AC于点F （1）求证：CBFDAC；（2）若3BD，14BF，求BAF的周长【详解】解：（1）证明：ADBC，ADC=ADB=90，在ACD 和BED 中，ADBDADCBDECDED ACDBED（SAS），DAC=CBF；（2）ADBC，AD=BD=3，223 2,ABADBD DAC=CBF，DAC+C=CBF+C=90

6、，AFB=90，222AFABBF，BAF的周长为：AB+BF+AF=3 2142 5在ABC 中，BAC=90，AC=AB，点 D为直线 BC 上的一动点，以 AD为边作ADE（顶点 ADE按逆时针方向排列），且DAE=90AD=AE，连接 CE（1）如图 1，若点 D在 BC边上（点 D与 BC不重合），求证：ABDACE；求证：222DEBDCD（2）如图 2，若点 D在 CB的延长线上，若 DB=5，BC=7，则ADE 的面积为_（3）如图 3，若点 D在 BC的延长线上，以 AD为边作等腰 RtADE，DAE=90，连结 BE，若 BE=10，BC=6，则 AE的长为_ 【详解】（1

7、）BAC=DAE，BAD=CAE，又AB=AC，AD=AE，ABDACE，ABDACE ABD=ACEBD=CE ABD+ACB=ACE+ACB=DCE=90 22222DECDCECDBD；（2）过点 A作 AFDE于点 F ADAE，点 F是 DE 的中点，DAE90，AF12DE，同理可证ABDACE，ADBAEC，DBEC，DB5，BC7，EC5，DC12，DAE90，ADEAED90，ADCCDEAED90，AECAEDCDE90，即CEDCDE90，ECD90，DE2CE2CD225144169，DE0，DE13，AF132，ADE的面积为12DEAF12131321694；（3）

8、由（1）可知：ABDACE BDCEABDACE BCE=ACB+ACE=ACB+ABD=90 RtBCE中，BE10，BC6，CE2210-68，BDCE8，CD862，RtDCE 中，DE2228=68，ADE是等腰直角三角形，AE2DE682=34 6如图在RtABC中，ABAC，90BAC，O为BC的中点 （1）写出点O到ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持ANBM，请判断OMN的形状，并证明你的结论（3）当点M、N分别在AB、AC上运动时，四边形AMON的面积是否发生变化？说明理由【详解】（1）连接 OA，RtABC中，O

9、为BC的中点，12OABC，OCOB，122OAOBOB，OAOBOC （2）OMN是等腰直角三角形，证明如下：ABAC，O为BC的中点，AOBC，90AOB，OAOBOC，45CAOB，在OAN与OBM中，OAOBCAOBANBM，OANOBM，OMON，NOAMOB，90NOMAOB，OMN是等腰直角三角形（3）四边形AMON的面积保持不变，理由如下：由（2）可得：OANS=OBMS，OANAOMOBMAOMAOBAMONSSSSSS四边形 AOB的面积保持不变 四边形AMON的面积保持不变 7如图，直线22yx 与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线112yx与x轴、y轴分别交于D、C两点

10、，与直线AB交于点M （1）填空：点B的坐标是（_，_），点D的坐标是（_，_）；（2）直线AB与直线CD的位置关系_；（3）线段DM的长为_；（4）在第一象限是否存在点P，使得ABP是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标_【详解】（1）令0 x，222yx，令0y，则220yx，解得1x，,1,0,20AB；令0 x，1112yx，令0y，则1102yx，解得2x，0,1,2,0CD；（2）直线AB与直线CD垂直，理由如下：1,0,0,2,AB0,1,2,0CD，1,2OAOCOBOD 在AOB和COD中，90OAOCAOBCODOBOD ()AOBCOD SAS，ABOCDO

11、,90DCOBCMCDODCO，90ABOBCM，90BMC，ABDM，直线AB与直线CD垂直；（3）22112yxyx 解得2565xy，点 M的坐标为2 6,5 5，线段DM的长为22266 52555；（4）假设存在点 P，使得ABP是等腰直角三角形，若 AB为斜边，过点 P 分别作 x 轴和 y轴的垂线，分别交 x轴于点 E，y轴于点 F，ABP是等腰直角三角形，,90BPAPBPA 90,90BPFFPAAPEFPA，BPFAPE 在BFP和PEA中，90BFPAEPBPFAPEBPAP ()BFPPEA AAS，FPPE 设点 P 的坐标为,x y，则xy APBP 222212x

12、yxy，解得3232xy 此时点 P 的坐标为3 3,2 2P；若 AB边为直角边，过点 P 作PGx轴交 x轴于点 G，ABP是等腰直角三角形，,90ABAPBAP 90,90OBAOABOABPAG，OBAPAG 在AOB和PGA中，90AOBPGAOBAPAGABAP ()AOBPGA AAS，,OAPG OBAG 1,2OAOB，1,2PGAG，3OGOAAG，此时 P 的坐标为3,1，过点 P 作PHy轴交 y 轴于点 H，ABP是等腰直角三角形，,90ABBPABP 90,90OBAOABOBAPBH，OABPBH 在AOB和PHB中，90AOBPHBOABPBHABBP ()AO

13、BPHB AAS，,OABH OBPH 1,2OAOB，1,2BHPH，3OHOBBH，此时 P 的坐标为2,3，综上所述，点 P 的坐标为3 3,2 2P或3,1或2,3 8如图 1，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O 1将图 1 中的OAB绕点O顺时针旋转90，在图 2 中作出旋转后的OAB(保留作图痕迹，不写作法，不证明)；2在图1中，你发现线段,AC BD的数量关系是_，直线,AC BD相交成 角(填“锐”、“钝”或“直”)；3将图 1 中的OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，得到图3，这时(2)中的两个结论是否仍成立?作出判 断并说明理由；若将OA

14、B绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由 【详解】解：（1）如图所示 （2）等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，如图 1，OC=OD，OA=OB AC=BD，ACBD 故答案为：ACBD；直（3）将图 1 中的OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，1的两个结论成立；理由如下：旋转一个锐角后，90,90COAAODBODAOD，COABOD，在COA和DOB中，OCODCOABODOAOB COADOB SAS ACBD 延长CA交OD于 E，交BD于E，,COADOB OCABDO，又,DEFCEO 90CFDCOD ACBD 将OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然

15、成立理由同上 9 问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半即：如图（1），在Rt ABC中，90ACB，30ABC，则12ACAB 探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究（1）如图（1），作AB边上的中线CE，得到结论：ACE为等边三角形；BE与CE之间的数量关系为_（2）如图（2），CE是ABC的中线，点 D 是边CB上任意一点，连接AD，作等边ADP，且点 P 在ACB的内部，连接BP试探究线段BP与DP之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明（3）当点 D为边CB延长线上任意一点时，在（2）中条件的基

16、础上，线段BP与DP之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可【详解】（1）BECE，90,30ACBB，60A，CE为AB边上的中线，12ACABAEEB，ACE是等边三角形，ECAEEB（2）PDPB 证明：如图，连接PE，ACEADP，都是等边三角形，,60ACAE ADAPCAEDAP，CADEAP，CADEAP，90ACDAEP，PEAB EAEB，PAPB DPAP，PDPB；（3）当点 D为边CB延长线上任意一点时，同（2）中的方法可证PDPB 10如图 1，在 RtABC中，A90，ABAC，点 D，E 分别在边 AB，AC上，ADAE，连接 DC，点M，P，N 分别为 DE，D

17、C，BC的中点 （1）观察猜想：图 1中，线段 PM与 PN的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把ADE绕点 A逆时针方向旋转到图 2的位置，连接 MN，BD，CE，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE绕点 A在平面内自由旋转，若 AD4，AB10，请直接写出PMN面积的最大值【详解】解：（1）点P，N是BC，CD的中点，/PNBD，12PNBD，点P，M是CD，DE的中点，/PMCE，12PMCE，ABAC，ADAE，BDCE，PMPN，/PNBD，DPNADC，/PMCE，DPMDCA，90BAC，90ADCACD，90MPNDPMDPNDCAADC ，PMP

18、N，故答案为：PMPN，PMPN；（2）PMN是等腰直角三角形 由旋转知，BADCAE，ABAC，ADAE，()ABDACE SAS，ABDACE，BDCE，利用三角形的中位线得，12PNBD，12PMCE，PMPN，PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，/PMCE，DPMDCE，同（1）的方法得，/PNBD，PNCDBC，DPNDCBPNCDCBDBC ，MPNDPMDPNDCEDCBDBC BCEDBCACBACEDBC ACBABDDBCACBABC，90BAC，90ACBABC，90MPN，PMN是等腰直角三角形；（3）方法 1：如图 2，同（2）的方法得，PMN是等腰直角三角形，MN

19、最大时，PMN的面积最大，/DEBC且DE在顶点A上面，MN最大AMAN，连接AM，AN，在ADE中，4ADAE，90DAE，2 2AM，在Rt ABC中，10ABAC，5 2AN，2 25 27 2MN最大，222111149(7 2)22242PMNSPMMN最大 方法 2：由（2）知，PMN是等腰直角三角形，12PMPNBD，PM最大时，PMN面积最大，点D在BA的延长线上，14BDABAD，7PM，2211497222PMNSPM最大 11在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线 MN经过点 C，且 ADMN于 D，BEMN 于 E (1)当直线 MN绕点 C旋转到图 1 的位置时，

20、求证：ADCCEB；DE=AD+BE；(2)当直线 MN绕点 C旋转到图 2 的位置时，直接写出 DE、AD、BE的关系为：_；(3)当直线 MN绕点 C旋转到图 3 的位置时，试问 DE、AD、BE 具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明【详解】（1）证明：如下图：ACB=90，ACD+BCE=90，而 ADMN于 D，BEMN于 E，ADC=CEB=90，BCE+CBE=90，ACD=CBE 在ADC和CEB 中，ADCCEBACDCBEACCB ，ADCCEB，AD=CE，DC=BE，DE=DC+CE=BE+AD；（2）证明：在ADC 和CEB 中，90ADCCEBACDCB

21、EACCB ，ADCCEB，AD=CE，DC=BE，DE=CE-CD=AD-BE；（3）DE=BE-AD 易证得ADCCEB，AD=CE，DC=BE，DE=CD-CE=BE-AD 12（1）（方法探索）如图1，在等边ABC中，点P在ABC内，且6PA，8PC，120APB，求PB的长 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把APC绕着点A顺时针旋转60得到AP B，连接PP，分别证明AP P和BP P是特殊三角形，从而得解请在此思路提示下，求出 PB的长 解：把APC绕着点A顺时针旋转60得到AP B，连接PP，请接着写下去：（2）（方法应用）请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题

22、 如图2，点P在等边ABC外，且4PA，3PB，120APB，若2 10AB，求APB度数；如图3，在ABC中，90BAC，10AB AC，P是ABC外一点，连接PA、PB、PC已知45APB，2PB 请直接写出PC的长 【详解】解：（1）如图 1 中，把APC绕着点A顺时针旋转60得到AP B，连接PP，由旋转不变性可知，6APAP，8BPPC，150APCAP B，P ABPAC ，60P APBAC ，AP P为等边三角形，6P PPA，60AP P，1506090PP B 在BP P中，6P P，8BP，22226810PBPPP B （2）如图 2 中，把APB绕着点B顺时针旋转60

23、得到BCD，连接PD，ABC是等边三角形，2 10ABBC，60ABC，由旋转不变性可知，4APCD，3BPBD，120APBBDC，PBADBC，60PBDABC，PBD为等边三角形，60BDP，180BDPBDC，P，D，C共线，2 10ABBC，3PB，347PC，222PBBCPC，90PBC，60ABC，906030ABP 如图 3 中，过点A作ADAP，使得ADAP，连接PD，BD PAD，ABC都是等腰直角三角形，ADAP，ABAC，PADBAC，()DABPAC SAS，DBPC，45APDAPB，90DPB，过点B作BHPA于H，2PB，45BPH，2BHPH，在Rt ABH中，90AHB，10AB，2BH，221022 2AHABBH，3 2APAD，26PDPA，在Rt DPB中，2222622 10BDPDPB，2 10PCBD