2012高二数学上册8.2《向量的数量积》教案(2)沪教版.pdf

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1、2（2）向量的数量积（2）教学目标设计 1深刻领会向量的数量积的概念和运算性质、向量的夹角公式及其内涵、两向量垂直的充要条件；2掌握求向量的长度、求两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法；3初步运用向量的方法解决一些简单的几何问题，领略向量的数量积的数学价值；4通过对问题的分析研究，体会数学思考的过程 教学重点及难点 重点：向量的数量积的运算性质、向量的夹角公式、向量垂直的条件及其应用；难点：向量的夹角公式的应用.教学用具准备 直尺，投影仪 教学过程设计 一情景引入：1复习回顾(1)两个非零向量的夹角的概念：对于两个非零向量,a b，如果以O为起点，作,OAa OBb，那么射线,OA O

2、B的夹角叫做向量a与向量b的夹角，其中0(2)平面向量数量积（内积）的定义：如果两个非零向量,a b的夹角为（0），那么我们把|cosa b叫做向量a与向量b的数量积，记做a b，即cosa ba b并规定0与 任何向量的数量积为 0(3)“投影”的概念：定义：|cosb叫做向量b在a方向上的投影 投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为 0；当=0时投影为b；当=180时投影为b(4)向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|cosb|的乘积(5)向量的数量积的运算性质：对于R，有（1）2|0,a aa当且仅当0a a

3、时，a0（2）a bb a（3）()ababa b（4）()abca ba c 分析思考：(1)类 比 实 数 的 运 算 性 质，向 量 的 数 量 积 结 合 律()()a b ca bc是否成立？学生通过讨论，回答：()()a b ca bc一般不成立(2)如果一个物体在大小为牛顿的力f的作用下，向前移动米，其所做的功的大小为焦耳，问力f的方向与运动方向的夹角是否为0o？分析：设该物体在力f的作用下产生位移s，f所做的功为W，f与s的夹角为，则由|cosWfs知11cos602 12|oWfs 二学习新课:1.向量的夹角公式:在学习了向量数量积的定义之后，我们很容易推导出两个非零向量,a

4、 b的夹角满足 因此,当2时,0a b,反之,当0a b时,2.考虑到0可与任何向量垂直,所以可得：两个向量,a b垂直的充要条件是0a b.例题分析 例 1：化简:22abab(课本 P66 例 2)解:22abab =aabbababaabb =2222aa bb abab aa bb =4a b 例 2:已知2,3ab,且a与b的夹角为3,求32ab(课本 P66 例3)解:2323232ababab 所以 326ab 例 3：已知2,4ab,kabkab与垂直,求k的值(课本 P66 例4)解：因为kabkab与垂直，所以0kabkab 化简得 2220k ab 即 2220kab 由

5、已知2,4ab，可得24160k 解得 2k 所以，当2k 时，kabkab与垂直 例 4：已知a、b都是非零向量，且3ab与75ab垂直，4ab与72ab垂直，求a与b的夹角 解：由223750716150ababaa bb 22472073080ababaa bb 两式相减：22a bb 代入或得：22ab 设a、b的夹角为，则221cos22a bba bb =60.问题拓展 例 5利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角 证明：设 AB 是O 直径，半径为 r 设AOa,则OBa;OCc,则acr 则ACac BCca ACBC，即ACB 是直角 三巩固练习 1 已知1,2ab,(

6、1)若ab,求a b；(2)若a与b的夹角为 60，求ab；(3)若ab与a垂直，求a与b的夹角 2 已知3,4ab,向量34ab与34ab的位置关系为（）A平行 B垂直 C夹角为3 D不平行也不垂直 3 已知2,1ab,a与b之间的夹角为3，则向量4mab的模为（）A2 B23 C6 D12 4 已知a与b是非零向量，则ab是ab与a b垂直的（）A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 四课堂小结 1向量的数量积及其运算性质；两向量的夹角公式；两个向量垂直的充要条件；4求向量的模、两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法 五作业布置 练习 8.2(1)

7、P67 T2、T3、T4；P35 T3、T4 思考题 1已 知 向 量a与b的 夹 角 为3，2,1ab,则|a+b|a-b|=2 已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a b=3 已知ab、c与a、b的夹角均为 60，且1,2,3abc则22abc_ _ 4 对于两个非零向量a与b，求使atb最小时的t值，并求此时b与atb的夹角 5 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和 教学设计说明及反思 本节课是在上节课学习了向量的数量积的概念、向量的数量积的运算性质之后再一次抛出物理模型问题，学生通过交流、分析讨论，解决问题进一步推而广之，由数量积的定义，通过变形十分容易的导出向量的夹角公式并推出了两向量垂直的充要条件之后，通过例题分析，学生体验了运用向量的数量积的定义和运算性质求向量的模、向量的夹角、以及研究一些简单几何问题的过程学生获取了知识、掌握了方法、提高了技能、训练了能力