2012高考数学精英备考专题讲座第三讲数列与不等式第二节解不等式文.pdf

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1、第二节 解不等式 不等式是高中数学的传统内容，对不等式的性质、一元二次不等式、简单的线性规划、均值不等式的考查多以选择、填空题的形式出现，这类试题虽然难度不大，但往往有一定的灵活性.若是解答题,也是中等难度的题目；高考中涉及不等式的，更多的情况是以函数与导数、方程、三角、数列、解析几何等知识为载体，综合考查不等式的解法和证明.不等式因它的基础性（是研究函数、方程、极限等必不可少的工具）、渗透性（容易与其它各部分知识结合在一起）、应用性（实际应用广泛），很自然地成为每年高考的热点.近几年，高考关于不等式的命题趋势是：（1）单纯不等式的题目多以选择填空题的形式出现，若是解答题也是中等难度的题目；（

2、2）高考中涉及不等式的，更多的情况是以函数、方程、三角、数列、解析几何等知识为载体，综合考查不等式的解法和证明，突出不等式的工具性.在高考试卷中，有关解不等式的试题一般有一到两道 考试要求（1）不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景（2）一元二次不等式 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式

3、组 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 题型一：不等式的解法 例 1(2011 上海理科 20)已知函数()23xxf xab，其中常数,a b满足0ab。若0ab，判断函数()f x的单调性；若0ab，求(1)()f xf x时x的取值范围。点拨；解不等式的基本思想方法是转化：一元二次不等式转化为一元一次不等式，分式不等式转化为整式不等式，指数与对数不等式（通过化“同底”）转化为代数不等式，抽象函数不等式（通过单调性）转化为具体不等式等.本题是指数不等式，可通过化“同底”求解 解：当0,0ab时，任 意1212,x xR xx，则121212()()(22)(33)

4、xxxxf xf xab 121222,0(22)0 xxxxaa，121233,0(33)0 xxxxbb，12()()0f xf x，函数()f x在R上是增函数。当0,0ab时，同理，函数()f x在R上是减函数。(1)()2230 xxf xf xab 当0,0ab时，3()22xab，则1.5log()2axb；当0,0ab时，3()22xab，则1.5log()2axb.易错点：对,a b符号的讨论.变式与引申 1：（1）不等式22032xxx的解集是 .（2）（2009 年天津卷第 8 题）设函数0,60,64)(2xxxxxxf则不等式)1()(fxf的解集是（）A ),3()

5、1,3(B),2()1,3(C),3()1,1(D)3,1()3,(题型二：含参数不等式的解法 例 2 解关于x的不等式221axxax 如果0a，不等式可化为201xax，解得1x 或2xa.综上，当0a 时，不等式的解集为),1()2,(a；当0a 时，不等式的解集为),1(；当02a时，不等式的解集为)2,1(a；当2a 时，不等式的解集为；当2a 时，不等式的解集为)1,2(a 易错点：在规范化的过程中，对a可能为零视而不见；在已经规范化了之后，对不确定的根的大小关系不加区分.整体表现为不能有序地进行分类讨论.变式引申 2：（1）解关于x的不等式(3)1(1)0mxx（2）已知函数2(

6、)xaxbf x（a，b 为常数）且方程f(x)x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.（1）求函数f(x)的解析式；（2）设 k1，解关于x的不等式；(1)2()kxkxf x 题型三：不等式的恒成立问题 例 3 已知函数|1()22xxf x （1）若()2f x，求x的值；（2）若2(2)()0tftmf t对于12t，恒成立，求实数m的取值范围 点拨：不等式恒成立问题通常有以下处理方法：（1）分离参数法，将参数与变量进行分离，再转化为最值问题解决；（2）变换主元法，有些题分离参数后很难求最值，可考虑变换思维角度，即主元与参数互换位置（3）数形结合法。本题分离参数后可求最值.解（1）

7、100;0,22xxxf xxf x当时，当时.由 已 知，2122,22 210,2xxxx 即 解得 212.x 220,log12xx.（2）当22111,2,2220,22ttttttm时即242121.ttm 2210t,221tm 在1,2t上 恒 成 立,2max(21)tm .又1,2t时,217(12)5t ,故m的取值范围是 5,).易错点：（1）绝对值的处理方法不明确，找不到解题的突破口（2）指数运算不熟悉，不能正确地将参数与变量进行分离（3）能否取等号也是常见的错误.变式与引申 3：（1）已知22)(2axxxf，当),1x时，axf)(恒成立，求a的取值范围 （2）奇

8、函数)0)(，且在的定义域为 Rxf上是增函数，当20时，是否存在实数m，使)0()cos24()32(cosfmmff对所有的20，均成立？若存在，求出适合条件的所有实数 m；若不存在，说明理由.题型四：线性规划问题与基本不等式 例 4（1）设,x y满足24,1,22,xyxyxy则zxy().（A）有最小值 2，最大值 3 （B）有最小值 2，无最大值（C）有最大值 3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值（2）函数log(3)1ayx(01)aa且，的图象恒过定点A，图322 若点A在直线10mxny 上，其中0mn，则12mn的最小值 为 点拨：（1）首先准确地作出线性约束条件下的

9、可行域，再由 yx 经过平移得到结论，这里关键就在于转化与化归（2）找出定点A的坐标，代入直线方程，得21mn，由均值不等式得结果.解（1）画出不等式表示的平面区域，如右图，由 zxy，得yxz，令 z0，画出 yx 的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z 取得最小值，最小值为：z2，无最大值，故选.B（2）函 数log(3)1(0,1)ayxaa的 图 象 恒 过 定 点(2,1)A,(2)(1)10mn ,21mn，,0m n,121244()(2)4428nmnmmnmnmnmnmn.易错点：可行域画不准确，将 yx 经过平移后得到的最优解不正确，变式与引申 4：（1）(2011 安

10、徽文科数)设变量 x,y 满足,xy1xy1x,则xy 的最大值和最小值分别为 说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算.（A）1，1 (B)2，2 (C)1，2 (D)2，1（2）已知0,0ab，则112 abab的最小值是（）A2 B2 2 C4 D5 本节主要考查：（1）一元一次不等式、一元二次不等式的性质及能转化为它们的分式不等式、绝对值不等式、指数与对数不等式的解法以及含字母系数不等式的解法；（2）基本不等式及其应用，简单的线性规划等问题（3）图解法、换元法、分析法、综合法等方法（4）数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用以及逻辑推理能力、运算求解能

11、力等基本数学能力.点评：（1）解不等式的关键是等价转化.分式不等式转化为整式不等式；指数与对数不等式转化为代数不等式；抽象函数的不等式在确定其单调性的前提下去掉函数符号转化为代数不等式（2）在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式；通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系.对含有参数的不等式，运用图解法，有时可以使分类标准更加明晰（3）等价转化具体地说，分式化为整式，高次化为低次，绝对值化为非绝对值，指数与对数化为代数式等分类讨论分类讨论的目的是处理解决问题过程中遇到的障碍，在无障碍时不要提前进行分类讨论数形结合有些不

12、等式的解决可化为两个函数图像间的位置关系的讨论等几何问题（4）函数方程思想解不等式可化为解方程或求函数图像与x轴交点的问题，根据题意判断所求解的区间如“穿根法”实际上就是一种函数方程思想（5）线性规划问题的解题步骤：根据线性约束条件画出可行域；利用线性目标函数求出最优解。最优“整点”不一定在可行区域内，这时需要将相近的点一一列出，再代入约束条件和目标函数逐一检验，得出正确答案.（6）在利用基本不等式解决有关问题时，特别注意不等式成立的条件，即“一正，二定值，三相等”在使用基本不等式时，要掌握常见的恒等变形技巧。（7）不等式渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用如集合问题，方程(组)的解的

13、讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题等，无一不与不等式有着密切的联系.因此不等式应用问题体现了一定的灵活性、综合性在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点及内在联系，选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解 习题 32 1(2011 山东文科 7)设变量 x，y 满足约束条件250200 xyxyx，则目标函数231zxy的最大值为 (A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5 3已知函数f(x)log2(x3xa)的定义域为A，值域为B（1）当a4 时，求集合A；（2）设IR 为全集，集合Mx|yx2x1(a5)x22(a5

14、)x4，若(CIM)(CIB)，求实数a的取值范围 4解关于x的不等式2)1(xxa1(a1)5设不等式2220 xaxa的解集为M，如果1,4M，求实数a的取值范围【答案】变式与引申 1 （1）21,2xxx 或【解析】:22032xxx20221021xxxxxx，数轴标根得：21,2xxx 或 （2）解析：由已知3)1(f,当0 x时，由)1()(fxf得,2463xx,解得01x或3x.当0 x，由)1()(fxf得,63x,解得3x .综上所述：不等式)1()(fxf的解集是),3()1,3(.选 A.变式与引申 2（1）解：本题与例 2 解法类似，请自行设计算法框图，再求解.这里仅

15、提供答案：当4m时，解集为11,3m；当4m时，解集为；当34m时，解集为1,13m；当3m时，解集为(,1)；当3m时，解集为1(,1)(,)3m.（2）解（1）将0124,3221xbaxxxx分别代入方程得（2）不 等 式 即 为02)1(,2)1(222xkxkxxkxkxx可化为,即.0)(1)(2(kxxx 当).,2(),1(,21kxk解集为 当);,2()2,1(0)1()2(,22xxxk解集为不等式为时),()2,1(,2kxk解集为时当.变式与引申 3（1）解：设2()22F xxaxa，则问题的条件变为当),1x时，()0F x 恒成立.当2(2)4(4)4(2)(1

16、)0aaaa ,即21a 时，()0F x 恒成立.又当0 时，()0F x 在1,上恒成立的充要条件是 0,12,(1)0,3,3221.12aaFaaaa 或，故a的取值范围是3,1.本题实际上也是一道恒成立的问题，此类问题还可运用分离参数法求解，请自行尝试解答.（2）解：易 知 奇 函 数()f x在R上 递 增,且(0)0f,则(cos23)(42cos2)0ffmm(cos23)(42cos2)(cos23)(2cos24)os232cos24ffmmffmmmm 2coscos220mm.令cost,则01t.由题意,在0,1上不等x y O 答图321 1 式2220tmtm恒成

17、立,从而24(22)0mm 或20220mm或211220mmm,解得242m.因此，满足条件的实数m存在，它可取)224(，内的一切值.变式与引申 4：【答案】B【解析】1,1,0 xyxyx三条直线的交点分别为（0,1），（0，1），（1,0），分别代入xy，得最大值为 2，最小值为2.故选 B.（2）因 为11112222()4abababababab当 且 仅 当11ab，且1abab，即1ab时，取“=”号,选 C.【解析】2222()sin2cos2sin(2)f xaxbxabxab，又31()sincos063322fabab，由题意()()6f xf对一切则xR 恒成立，则2

18、23122abab对一切则xR 恒成立，即2222313442ababab，2232 30abab恒 成 立，而2232 3abab，所 以2232 3abab，此 时30ab.所 以()3 sin2cos22 sin 26f xbxbxbx.1111()2 sin01266fb，故正确；774713()2 sin2 sin2 sin10563030fbbb，21713()2 sin2 sin2 sin5563030fbbb，所以7()10f()5f，错误；()()fxf x，所以正确；由知()3 sin2cos22 sin 26f xbxbxbx，0b，由222262kxk知236kxk，所

19、以不正确；由知30ab，要经过点（a，b）的直线与函数的图()f x像不相交，则此直线与横轴平行，又()f x的振幅为23bb，所以直线必与()f x图像有交点.不正确.3 解：（1）当a4 时，由x3x4x24x3x(x1)(x3)x0，解得 0 x1 或x3，故Ax|0 x1 或x3 （2）由(CIM)(CIB)，得 CIM，且 CIB，即MBR，若BR，只要ux3xa可取到一切正实数，则x0 及umin0，umin2 3a0，解得a2 3 若MR，则a5 或 a504(a5)216(a5)0 解得 1a5 由得实数a的取值范围为2 3，5 4【解析】原不等式可化为 2)2()1(xaxa

20、0，当1a时，原不等式与0)2)(12(xaax同解 由于2111211aaa 原不等式的解为),2()12,(aa 当1a时，原不等式与0)2)(12(xaax.由于21111aaa,当0a时，211211aaa,解集为)2,12(aa；当0a时，211211aaa，解集为；当10 a时，211211aaa,解集为)12,2(aa 综上所述 当1a时解集为),2()12,(aa；当10 a时，解集为)12,2(aa；当0a时，解集为；当0a时，解集为)2,12(aa 5【解析】解：1,4M 有两种情况其一是M，此时0；其二是M ，此时0 或0.以下分三种情况求a的取值范围 设2()22f xxaxa，有2(2)4(2)4(1)(2)aaaa .(1)当0 时，12a，M 1,4.(2)当0 时，1a 或2.当1a 时 1M 1,4；当2a 时，21,4M (3)当0 时，1a 或2a.设方程()0f x 的两根12,x x，且12xx，那么12,Mx x，1,4M 1214xx(1)0,(4)0,14,0.ffa 即30,1870,14,12.aaaaa 或解得7182 a.a的取值范围是718,1(答图 323