lingo解决线性规划问题的程序(经典).pdf

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1、 1 Lingo12 软件培训教案 Lingo 主要用于求解线性规划，整数规划，非线性规划，V10 以上版本可编程。例 1 一个简单的线性规划问题 0 ,600 2 100 350 st.3 2max yxyxxyxyxz !源程序 max=2*x+3*y;st_1 x+y350;st_2 x100;2*x+y600;!决策变量黙认为非负;相当于=;大小写不区分 当规划问题的规模很大时，需要定义数组(或称为矩阵)，以及下标集(set)下面定义下标集和对应数组的三种方法，效果相同:：r1=r2=r3,a=b=c.sets:r1/1.3/:a;r2:b;r3:c;link2(r1,r2):x;li

2、nk3(r1,r2,r3):y;endsets 2 data:ALPHA=;a=11 12 13;r2=1.3;b=11 12 13;c=11 12 13;enddata 例2 运输问题 计算 6 个发点 8 个收点的最小费用运输问题。产销单位运价如下表。B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 产量 A1 6 2 6 7 4 2 5 9 60 A2 4 9 5 3 8 5 8 2 55 A3 5 2 1 9 7 4 3 3 51 A4 7 6 7 3 9 2 7 1 43 A5 2 3 9 5 7 2 6 5 41 A6 5 5 2 2 8 1 4 3 52 销量 35 37 22 3

3、2 41 32 43 38 解：设决策变量ijx=第 i 个发点到第 j 个售点的运货量，i=1,2,m;j=1,2,n;记为ijc=第i个发点到第j个售点的运输单价，i=1,2,m;j=1,2,n 记is=第i个发点的产量，i=1,2,m;记jd=第j个售点的需求量，j=1,2,n.其中，m=6;n=8.设目标函数为总成本，约束条件为（1）产量约束；（2）需求约束。3 于是形成如下规划问题：njmixnjdxmisxxcijjniijimjijminjijij,.,2,1,.,2,1,0 ,.,2,1,.,2,1,st.zmin 1111 把 上 述 程 序 翻 译 成L I N G O 语

4、 言，编 制 程 序 如 下：!源程序 model:!6发点8收点运输问题;sets:rows/1.6/:s;!发点的产量限制;cols/1.8/:d;!售点的需求限制;links(rows,cols):c,x;!运输单价，决策运输量;endsets !-;data:s=60,55,51,43,41,52;d=35 37 22 32 41 32 43 38;c=6 2 6 7 4 2 9 5 4 9 5 3 8 5 8 2 5 2 1 9 7 4 3 3 7 6 7 3 9 2 7 1 4 2 3 9 5 7 2 6 5 5 5 2 2 8 1 4 3;enddata!-;min=sum(li

5、nks:c*x);!目标函数=运输总成本;for(rows(i):sum(cols(j):x(i,j)=s(i);!产量约束;for(cols(j):sum(rows(i):x(i,j)=d(j);!需求约束;end 例 3 把上述程序进行改进，引进运行子模块和打印运算结果的语句：!源程序 model:!6发点8收点运输问题;sets:rows/1.6/:s;!发点的产量限制;cols/1.8/:d;!售点的需求限制;links(rows,cols):c,x;!运输单价，决策运输量;endsets!=;data:s=60,55,51,43,41,52;d=35 37 22 32 41 32 4

6、3 38;c=6 2 6 7 4 2 9 5 4 9 5 3 8 5 8 2 5 2 1 9 7 4 3 3 5 7 6 7 3 9 2 7 1 2 3 9 5 7 2 6 5 5 5 2 2 8 1 4 3;enddata!=;submodel transfer:min=cost;!目标函数极小化;cost=sum(links:c*x);!目标函数：运输总成本;for(rows(i):sum(cols(j):x(i,j)d(j);!需求约束;endsubmodel!=;calc:solve(transfer);!运行子模块（解线性规划）;divert();!向.txt文件按自定格式输出数据;

7、write(最小运输成本=,cost,newline(1),最优运输方案x=);for(rows(i):write(newline(1);writefor(cols(j):,format(x(i,j),);divert();!关闭输出文件;endcalc end 打开文件，内容为：最小运输成本=664 6 最优运输方案 x=0 19 0 0 41 0 0 0 1 0 0 32 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 40 0 0 0 0 0 0 5 0 38 34 7 0 0 0 0 0 0 0 0 22 0 0 27 3 0 例 4 data 段的编写技巧（1）：从 txt 文件中读取原始

8、数据 !源程序中的data也可以写为：data:s=file();d=file();c=file();enddata 其中，的内容为：!程序的数据;!产量约束 s=;60,55,51,43,41,52 !需求约束 d=;35 37 22 32 41 32 43 38 !运输单价 c=;6 2 6 7 4 2 9 5 4 9 5 3 8 5 8 2 5 2 1 9 7 4 3 3 7 6 7 3 9 2 7 1 7 2 3 9 5 7 2 6 5 5 5 2 2 8 1 4 3 !注：字符是数据分割符,若无此符，视所有数据为一个数据块，只赋给一个变量;例5 lingo 程序的的 3 种输入和 3

9、 种输出方法;!的源程序;sets:rows/1.3/:;cols/1.4/:;link(rows,cols):a,b,mat1,mat2;endsets data:b=1,2,3,4 5,6,7,8 9,10,11,12;!程序内输入;a=file();!外部txt文件输入;mat1=ole(d:lingo12,mat1);!EXcel文件输入;enddata calc:text()=a;!列向量形式输出数据;for(link:mat2=2*mat1);ole(d:lingo12)=mat2;!把mat2输出到xls文件中的同名数据块;!向.txt文件按自定格式输出数据(参照前例);Endc

10、alc 8 例 6 程序段中的循环和选择结构举例!的源程序;sets:rows/1.5/:;cols/1.3/:;links(rows,cols):d;endsets data:d=0 2 3 4 3 2 1 3 2 4 7 2 2 1 6;enddata calc:i=1;while(i#le#5:a=d(i,1);b=d(i,2);c=d(i,3);ifc(a#eq#0:write(infeasible!,newline(1);else delta=b2-4*a*c;sqrt=sqrt(if(delta#ge#0,delta,-delta);ifc(delta#ge#0:write(x1=

11、,(-b+sqrt)/2/a,x2=,(-b-sqrt)/2/a,newline(1);9 else write(x1=,-b/2/a,+,sqrt/2/a,i,x2=,-b/2/a,-,sqrt/2/a,i,newline(1);););i=i+1;);endcalc 本程序中的循环结构也可以用for(rows(i):程序体);进行计算。例7 指派问题 （n 人 n 任务费用最小）B1 B2 B3 B4 B5 B6 A1 6 2 6 7 4 2 A2 4 9 5 3 8 5 A3 5 2 1 9 7 4 A4 7 6 7 3 9 2 A5 2 3 9 5 7 2 A6 5 5 2 2 8 1

12、 解：设决策变量ijx=1 或 0,表示第 i 个人是否完成第 j 项任务，i,j=1,2,n;记ijc=第i个人完成第j项任务的费用，i,j=1,2,n;n=6.设目标函数为总费用，约束条件为（1）每人只完成一项任务；（2）每项任务只由一人完成。于是形成如下规划问题：10 njnixnjxnixxcijniijnjijninjijij,.,2,1,.,2,1,10 ,.,2,1,1 ,.,2,1,1 st.zmin 1111或 !的源程序;model:!6人6任务指派问题;sets:rows/1.6/:;!6人6任务;links(rows,rows):c,x;!费用和决策变量;endsets

13、 !-;data:c=6 2 6 7 4 2 4 9 5 3 8 5 5 2 1 9 7 4 7 6 7 3 9 2 2 3 9 5 7 2 5 5 2 2 8 1;enddata!=;submodel appointment:min =cost;!目标函数极小化;cost=sum(links:c*x);!目标函数：总费用;11 for(rows(i):sum(rows(j):x(i,j)=1 );!每人完成一项;for(rows(j):sum(rows(i):x(i,j)=1 );!每项由一人完成;for(links:bin(x);!0-1变量约束;endsubmodel submodel

14、binVar:for(links:bin(x);!0-1变量约束;endsubmodel !=;calc:solve(appointment,binVar);!运行子模块（解线性规划）;divert();!向.txt文件按自定格式输出数据;write(最小指派费用=,cost,newline(1),分配方案x=);for(rows(i):write(newline(1);writefor(rows(j):,format(x(i,j),);divert();!关闭输出文件;endcalc end 例8 多目标规划转化为单目标规划问题举例 把上述运输问题稍加修改，考虑到运输量可以要取整数，就变成整

15、数规划问题，而且运输问题除了成本最小一个目标以外，有时也要考虑各发点的运输量尽量均衡作为另一个目标。本程序处理的方法一是两目标加权平均，方法二是只选一个目标，另一个目标转化为约束，从而把多目标改为单目标。12!源程序;model:!6发点8收点运输问题;sets:rows/1.6/:s;!发点的产量限制;cols/1.8/:d;!售点的需求限制;links(rows,cols):c,x;!运输单价，决策运输量;endsets!=;data:s=60,55,51,43,41,52;d=35 37 22 32 41 32 43 38;c=6 2 6 7 4 2 9 5 4 9 5 3 8 5 8

16、2 5 2 1 9 7 4 3 3 7 6 7 3 9 2 7 1 2 3 9 5 7 2 6 5 5 5 2 2 8 1 4 3;enddata!=;submodel obj_1:min=minCost;!目标函数极小化;minCost=sum(links:c*x);!目标函数：运输总成本;endsubmodel submodel obj_2:min=objValue;objValue=*obj1+*obj2;!二目标加权平均;obj1=sum(links:c*x);!目标函数1：运输总成本;13 obj2=max1-min1;!目标函数2：发点运输量极差;for(links(i,j):su

17、m(cols(j):x(i,j)min1;);endsubmodel submodel obj_3:min=obj2;obj2=max1-min1;!目标函数：发点运输量极差;for(links(i,j):sum(cols(j):x(i,j)min1;);cost1=sum(links:c*x);!运输总成本;cost1 *minCost;!运输总成本约束;endsubmodel submodel subject_to_1:for(rows(i):sum(cols(j):x(i,j)d(j);!需求约束;endsubmodel submodel subject_to_2:for(links:g

18、in(x);!整数约束;endsubmodel !=;calc:solve(obj_1,subject_to_1,subject_to_2);!运行子模块（解线性整 14 数规划）;divert();write(newline(2),整数规划的最小运输成本=,minCost,newline(1),最优运输方案x=);for(rows(i):write(newline(1);writefor(cols(j):,format(x(i,j),);divert();pause();solve(obj_2,subject_to_1,subject_to_2);!运行子模块（解线性整数规划）;divert

19、(,a);!向.txt文件追加输出数据;write(newline(2),二目标加权平均最小值=,objValue,newline(1),最优运输方案x=);for(rows(i):write(newline(1);writefor(cols(j):,format(x(i,j),);divert();pause();solve(obj_3,subject_to_1,subject_to_2);!运行子模块（解线性整数规划）;divert(,a);!向.txt文件追加输出数据;write(newline(2),成本约束时极差最小值=,obj2,newline(1),成本约束时运输量最平均方案x=

20、);for(rows(i):write(newline(1);writefor(cols(j):,format(x(i,j),);15 divert();endcalc end 本例中的运输量均衡指标，可以用方差表示，但变成非线性规划问题，只能求出局部最优解，而线性规划的最优解是全局最优解。例9 杂例 1 model:!费波那契数列;!源程序;sets:II/1.100/:Fi;!费波那契数列;endsets!=;submodel myProc:Fi(1)=1;Fi(2)=1;for(II(i)|(i#ge#3)#and#(i#le#n):Fi(i)=Fi(i-1)+Fi(i-2);endsu

21、bmodel!=;calc:n=10;solve(myProc);divert();writefor(II(k)|k#le#n:Fi(,format(k,),)=,format(Fi(k),),newline(1);divert();endcalc 16 end 例10 杂例 2 sets:II/1.3/:;links(II,II):a,x;endsets data:a=1,2,3 2,1,4 3,2,2;enddata submodel fMin:!求函数的极值，极小值点;min=z2+4*z+3;free(z);endsubmodel submodel fzero:!解方程，求函数的零点;

22、cos(y)=y;bnd(0,y,5);endsubmodel submodel get_invMat:!解矩阵方程，求逆阵;for(II(i):for(II(j):sum(II(k):a(i,k)*x(k,j)=if(i#eq#j,1,0);for(links:free(x);endsubmodel calc:17 solve(fMin);solve(fzero);solve(get_invMat);endcalc Lingo 编程语言参考：LINGO 有 9 种类型的函数：1 基本运算符：包括算术运算符、逻辑运算符和关系运算符 2 数学函数：三角函数和常规的数学函数 3 金融函数：LING

23、O 提供的两种金融函数 4 概率函数：LINGO 提供了大量概率相关的函数 5 变量界定函数：这类函数用来定义变量的取值范围 6 集操作函数：这类函数为对集的操作提供帮助 7 集循环函数：遍历集的元素，执行一定的操作的函数 8 数据输入输出函数：允许模型和外部数据源相联系，进行数据输入输出 18 9 辅助函数：各种杂类函数 1.基本运算符 算术运算符 、逻辑运算符：#not#否定该操作数的逻辑值，not是一个一元运算符#eq#若两个运算数相等，则为 true；否则为 flase#ne#若两个运算符不相等，则为 true；否则为 flase#gt#若左边的运算符严格大于右边的运算符，则为true

24、；否则为 flase#ge#若左边的运算符大于或等于右边的运算符，则为 true；否则为 flase#lt#若左边的运算符严格小于右边的运算符，则为true；否则为 flase#le#若左边的运算符小于或等于右边的运算符，则为 true；否则为 flase#and#仅当两个参数都为 true 时，结果为 true；否则为 flase#or#仅当两个参数都为 false 时，结果为 false；否则为 true 关系运算符 “=”、“=”,LINGO 中还能用“”表示小于等于关系，数学函数 三角函数 sin(x),sinh(x),asin(x),asinh(x),cos(x),cosh(x),a

25、cos(x),acosh(x),tan(x),tanh(x),atan(x),atanh(x),atan2(x)abs(x)返回 x 的绝对值 exp(x)返回常数 e 的 x 次方 floor(x)返回去掉小数部分后的整数 log(x)返回 x 的自然对数 log10(x)返回 x 的以 10 为底的对数 lgm(x)返回 x 的 gamma 函数的自然对数 19 mod(m,n)返回用n整除m的余数.，如mod(5,3)返回2;pi()返回圆周率 pow(x,y)返回 x 的 y 次幂 sign(x)如果 x0 返回-1；否则，返回 1 smax(x1,x2,xn)返回 x1，x2，xn

26、中的最大值 smin(x1,x2,xn)返回 x1，x2，xn 中的最小值 sqr(x)返回 x 的平方.sqrt(x)返回 x 的平方根.2.3 金融函数 fpa(I,n)返回如下情形的净现值：单位时段利率为 I，连续 n 个时段支付，每个时段支付单位费用。若每个时段支付 x 单位的费用，则净现值可用 x乘以 fpa(I,n)算得。fpl(I,n)返回如下情形的净现值：单位时段利率为 I，第 n 个时段支付单位费用。概率函数 norminv(p,mu,sigma)N(mu,sigma2)分布函数的反函数 norminv(p,mu,sigma)N(0,1)分布函数的反函数 pbn(p,n,x)

27、二项分布的累积分布函数。当 n 和（或）x 不是整数时，用线性插值法进行计算。pcx(n,x)自由度为 n 的2 分布的累积分布函数。peb(a,x)当到达负荷为 a，服务系统有 x 个服务器且允许无穷排队时的 Erlang 繁忙概率。pel(a,x)当到达负荷为 a，服务系统有 x 个服务器且不允许排队时的Erlang 繁忙概率。pfd(n,d,x)自由度为 n 和 d 的 F 分布的累积分布函数。pfs(a,x,c)20 当负荷上限为 a，顾客数为 c，平行服务器数量为 x 时，有限源的 Poisson 服务系统的等待或返修顾客数的期望值。a 是顾客数乘以平均服务时间，再除以平均返修时间。

28、（或）x 不是整数时，采用线性插值进行计算。phg(pop,g,n,x)超几何（Hypergeometric）分布的累积分布函数。pop表示产品总数，g 是正品数。从所有产品中任意取出 n（npop）件。pop，g，n和 x 都可以是非整数，这时采用线性插值进行计算。ppl(a,x)Poisson 分布的线性损失函数，即返回 max(0,z-x)的期望值，其中随机变量 z 服从均值为 a 的 Poisson 分布。pps(a,x)均值为 a 的 Poisson 分布的累积分布函数。当 x 不是整数时，采用线性插值进行计算。psl(x)单位正态线性损失函数，即返回 max(0,z-x)的期望值，

29、其中随机变量 z 服从标准正态分布。psn(x)标准正态分布的累积分布函数。ptd(n,x)自由度为 n 的 t 分布的累积分布函数。qrand(seed)产生服从(0,1)区间的拟随机数。rand(seed)返回 0 和 1 间的伪随机数，变量界定函数 变量界定函数实现对变量取值范围的附加限制，共4 种：bin(x)限制 x 为 0 或 1 bnd(L,x,U)限制 LxU free(x)取消对变量 x 的默认下界为 0 的限制，即 x 可以取任意实数 gin(x)限制 x 为整数 在默认情况下，LINGO 规定变量是非负的，也就是说下界为 0，上界为+。free 取消了默认的下界为 0 的

30、限制，使变量也可以取负值。bnd 用于设定一个变量的上下界,它也可以取消默认下界为 0 的约束。semic(L,x,U),半连续约束。约束 x 或者取 0 或者取L,U内数据。21 2.6 集操作函数 in(set_name,primitive_index_1,primitive_index_2,)如果元素在指定集中，返回1；否则返回 0。index(set_name,primitive_set_element)该 函 数 返 回 在 集set_name 中原始集成员 primitive_set_element 的索引。如果 set_name 被忽略，那么 LINGO 将返回与 primiti

31、ve_set_element 匹配的第一个原始集成员的索引。如 果找不到，则产生一个错误。wrap(index,limit)该函数返回 j=index-k*limit，其中 k 是一个整数，取适当值保证j 落在区间1，limit 内。该函数相当于index 模limit 再加1。该函数在循环、多阶段计划编制中特别有用。size(set_name)该函数返回集 set_name 的成员个数。在模型中明确给出集大小时最好使用该函数。它的使用使模型更加数据中立，集大小改变时也更易维护。集循环函数 集循环函数遍历整个集进行操作。其语法为 function(setname(set_index_list)

32、|conditional_qualifier:expression_list);function 相应于下面罗列的五个集循环函数之一；setname 是要遍历的集；set_index_list 是集索引列表；conditional_qualifier 是用来限制集循环 函 数 的 范 围，当 集 循 环 函 数 遍 历 集 的 每 个 成 员 时，LINGO 都 要 对conditional_qualifier 进行评价，若结果为真，则对该成员执行function操作，否则跳过，继续执行下一次循环。expression_list 是被应用到每个集成员的表达式列表，当用的是for 函数时，exp

33、ression_list 可以包含多个表达式，其间用逗号隔开。这些表达式将被作为约束加到模型中。当使用其余的三个集循环函 22 数时，expression_list 只能有一个表达式。如果省略 set_index_lis t，那么在 expression_list 中引用的所有属性的类型都是 setname 集。for 该函数用来产生对集成员的约束。基于建模语言的标量需要显式输入每个约束，不过for 函数允许只输入一个约束，然后 LINGO 自动产生每个集成员的约束。sum 该函数返回遍历指定的集成员的一个表达式的和。prod 该函数返回遍历指定的集成员的一个表达式的积。min 和max 返回

34、指定的集成员的一个表达式的最小值或最大值。输入和输出函数 file 函数 该函数用从外部文件中输入数据，可以放在模型中任何地方。该函数的语法格式为 file(filename)。这里 filename 是文件名，可以采用相对路径和绝对路径两种表示方式。file 函数对同一文件的两种表示方式的处理和对两个不同的文件处理是一样的，这一点必须注意。text 函数 该函数被用在数据部分用来把解输出至文本文件中。它可以输出集成员和集属性值。其语法为 text(filename)这里 filename 是文件名，可以采用相对路径和绝对路径两种表示方式。如果忽略 filename，那么数据就被输出到标准输出

35、设备（大多数情形都是屏幕）。text函数仅能出现在模型数据部分的一条语句的左边，右边是集名（用来输出该集的所有成员名）或集属性名（用来输出该集属性的值）。ole 函数 23 OLE 是从 EXCEL 中引入或输出数据的接口函数，它是基于传输的 OLE 技术。OLE 传输直接在内存中传输数据，并不借助于中间文件。当使用OLE 时，LINGO 先装载 EXCEL，再通知 EXCEL 装载指定的电子数据表，最后从电子数据表中获得 Ranges。为了使用 OLE 函数，必须有 EXCEL5 及其以上版本。OLE 函数可在数据部分和初始部分引入数据。OLE 可以同时读集成员和集属性，集成员最好用文本格式

36、，集属性最好用数值格式。原始集每个集成员需要一个单元(cell)，而对于n 元的派生集每个集成员需要n 个单元，这 里第一行的n 个单元对应派生集的第一个集成员，第二行的n 个单元对应派生集的第二个集成员，依此类推。OLE 只能读一维或二维的 Ranges（在单个的EXCEL 工作表(sheet)中），但不能读间断的或三维的Ranges。Ranges 是自左而右、自上而下来读。ranged(variable_or_row_name)为了保持最优基不变，变量的费用系数或约束行的右端项允许减少的量。rangeu(variable_or_row_name)为了保持最优基不变，变量的费用系数或约束行的右端项允许增加的量。status()dual(variable_or_row_na me)返回变量的判别数（检验数）或约束行的对偶（影子）价格（dual prices）。辅助函数 if(logical_condition,true_result,false_result)if 函数将评价一个逻辑表达式 logical_condit ion，如果为真，返回 true_ result，否则返回 false_result。warn(text,logical_condition)如果逻辑条件 logical_condition 为真，则产生一个内容为text的信息框。3.敏感性分析(略)24