2010级高三数学总复习讲义—向量高考教案苏教版.pdf

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1、09 级高三数学总复习讲义向量 知识清单 一、向量的有关概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法:字母表示法:如,a b c等.几何表示法:用一条有向线段表示向量.如AB,CD等.坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA的起点O为在坐标原点,终点 A 坐标为,x y,则,x y称为OA的坐标,记为OA=,x y.注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a与b相等,记为ab.注:向量不能比较大小,因为方向没有大

2、小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于 1 个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:0与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量:长度相等且方向相反的向量.二、向量的运算(一)运算定义 向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积,这些运算的定义都是“自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算

3、性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加 法 与减法 OA+OB=OC OBOA=AB 记OA=(x1,y1),OB=(x1,y2)则OA OB=(x1+x2,y1+y2)OB OA=（x2-x1,y2-y1）OA+AB=OB 实 数 与向 量 的乘积 AB=a R 记a=(x,y)则a=(x,y)两 个 向量 的 数量积 cos,a ba bab 记1122(,),(,)ax ybx y

4、 则ab=x1x2+y1y2(二)运算律 加法：abba(交换律);()()abcabc(结合律)实 数 与 向 量 的 乘 积：()a bab;()aaa;()()aa 两个向量的数量积:ab=ba;(a)b=a(b)=(ab);(a+b)c=ac+bc 注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(ab)2=222aa bb(三)运算性质及重要结论 平面向量基本定理:如果12,e e是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量a,有且只有一对实数12,使1 122aee，称1 122ee为12,e e

5、的线性组合。其中12,e e叫做表示这一平面内所有向量的基底;平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.这说明如果1 122aee且1 122aee,那么1122.当基底12,e e是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若 A(x，y)，则OA=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若 A（x1,y1），B（x2,y2），则AB=(x2-x1,y2-y1)两个向量平行的充要

6、条件 符号语言：)0(/bbaba 坐标语言为：设非零向量1122,abx yx y,则ab(x1,y1)=(x2,y2)，即1212xxyy,或x1y2-x2y1=0,在这里,实数是唯一存在的,当a与b同向时,0；当a与b异向时,0。|=|b|a|,的大小由a及b的大小确定。因此,当a,b确定时，的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中的几何意义。两个向量垂直的充要条件 符号语言：ba0ba 坐标语言：设非零向量1122,abx yxy，则ba02121yyxx 两个向量数量积的重要性质：22|aa 即 2|aa(求线段的长度);ba0ba(垂直的判断);cosa bab(求角度)。以上结论

7、可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.注:两向量a,b的数量积运算结果是一个数cosab(其中,a b),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关.cosb叫做向量b在a方向上的投影（如图）.数量积的几何意义是数量积a b等于a的模与b在a方向上的投影的积.如果111(,)P x y,222(,)P xy,则12PP=2121(,)xx yy,22122121()()PPxxyy,这就是平面内两点间的距离公式.课前预习 1在ABCD中，BCCDBA（）2.平面内三点(0,3),(3,3),(,1)ABC x,若ABBC，则x的值为()(A

8、)-5 (B)-1 (C)1 (D)5 3.设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：(ab)c(ca)b=0|a|-|b|ab|(bc)a(ca)b不与c垂直(3a+2b)(3a2b)=9|a|2-4b|2中，真命题是()(A)(B)(C)(D)4.OAB 中,OA=a,OB=b,OP=p,若p=()|abtab，tR，则点 P在()(A)AOB 平分线所在直线上 (B)线段 AB 中垂线上(C)AB 边所在直线上 (D)AB 边的中线上 5.正方形P RSQ对角线交点为 M，坐标原点 O 不在正方形内部，且OP=（0，3），OS=（4，0），则RM=()(A)（21,27）(B)

9、（21,27）(C)（7，4）(D)（27,27）6.已知,3,2,4,axbab,则实数x=_.7.已知2,8,6,4,abab 则a _,b _,a与b的夹角的余弦值是_.8 在OAB中,(2cos,2sin)OA,(5cos,5sin)OB,若5OA OB,则OABS=.；9.已知ABC的三个顶点分别为3,3,6,0,5,3,ABC求ACB的大小.10.已知ABC 中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC 边上的高为 AD，求点 D 和向量AD坐标。11.在OAB 的边 OA、OB 上分别取点 M、N，使|OM|OA|=13，|ON|OB|=14，设线段 AN 与 BM

10、交于点 P，记OA=a，OB=b，用 a，b表示向量OP.典型例题 一、平面向量的实际背景与基本概念 EG1.如图 1，设O是正六边形的中心，分别写出图中与OA、OB、OC相等的向量。变式 1：如图 1，设O是正六边形的中心，分别写出 图中与OD、DC共线的向量。解：变式 2：如图 2，设O是正六边形的中心，分别写出图中与DA 的模相等的向量以及方向相同的向量。解：二、平面向量的线性运算 EG2.如图，在平行四边形ABCD中，AB a，AD b，你能用a，b表示向量 AC，DB吗？变式 1：如图，在五边形 ABCDE 中，AB a，BC b，CD c，EA d，试用a，b，c，d表示向量CE和

11、DE.变式 2：如图，在平行四边形ABCD中，若，OA a，OB b 则下列各表述是正确的为（）AOAOBAB BOCODAB CCD a+b DBC (a+b)变式 3：已知OA=a，OB=b,OC=c,OD=d,且四边形ABCD为平行四边形，则（）A.a+b+c+d=0 B.ab+cd=0 C.a+bcd=0 D.abc+d=0 变式 4：在四边形ABCD中，若12ABCD，则此四边形是()A 平行四边形 B 菱形 C 梯形 D 矩形 变式 5：已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(ab)垂直的（D C A B D E C A D C O A B B A C O F D E

12、 图 1 B A C O F D E 图 2 ）A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 变式 6：在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=4ab，CD=5a3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（）A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 变式 7：已知菱形ABCD，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP等（）A.(AB+AD),(0,1)B.(AB+BC),(0,22)C.(ABAD),(0,1)D.(BCAB),(0,22)变式 8：已知D、E、F分别是ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC=a，CA=b，AB=c,则下列各式：EF=

13、21c21b BE=a+21b CF=21a+21b AD+BE+CF=0其中正确的等式的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4 EG3 如图，已知任意两个非零向量a、b，试作OA a+b，OB a+2b，OC a+3b，你能判断 A、B、C 三点之间的位置关系吗？为什么？变式 1：已知OA a+2b，OB 2a+4b，OC 3a+6b (其中a、b是两个任意非零向量)，证明：A、B、C 三点共线 证明：ABOBOAa+2b，ACOCOA2a+4b，2ACAB 所以，A、B、C 三点共线 变式 2：已知点 A、B、C 在同一直线上，并且OA a+b，(2)OBma+2b，(1)OCna+3b

14、(其中a、b是两个任意非零向量)，试求m、n之间的关系 EG4.已知四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：EFHG b a O A P Q B a b 变式 1：已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，求证：2ABDCEF.三、平面向量的基本定理及坐标表示 EG4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a/b，求 y 变式 1：与向量a=(12，5)平行的单位向量为（）A1251313，-B1251313，-C12513 13，或1251313，-D12513 13，或1251313，-变式 2：已知a(1,2)，b,1x，当a+2b与 2a

15、b共线时，x值为（）A1 B2 C13 D12 变式 3：已知A(0,3)、B(2,0)、C(1,3)与ACAB2方向相反的单位向量是()A(0,1)B(0,1)C (1,1)D(1,1)变式 4：已知a=(1，0)，b=(2，1)试问：当k为何实数时，kab与a+3b平行,平行时它们是同向还是反向？EG5.设点P是线段12PP上的一点，1P、2P的坐标分别为11yx，22yx，(1)当点P是线段12PP上的中点时，求点P的坐标；(2)当点P是线段12PP的一个三等分点时，求P的坐标 变式 1：已知两点3,2M，5,5N，12MPMN，则P点坐标是 （）A8,1 B31,2 C31,2 D 8

16、,1 变式 2：如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若OAa，D C E F A B OBb，则OP ，OQ (用a、b表示)四、平面向量的数量积 EG6.已知|a|6，|b|4 且a与b的夹角为60，求(a+2b)(a3b)变式 1：已知3,4,223,ababab那么a与b夹角为 A、60 B、90 C、120 D、150 变式 2：已知向量a和b的夹角为 60，|a|3，|b|4，则（2a b）a等于 （A）15 （B）12 （C）6 （D）3 变式 3：在ABC中，已知|AB|=4，|AC|=1，SABC=3，则ABAC等于（）A.2 B.2 C.2 D.4 变式 4：设向量2172

17、ee t与向量21e te 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围.EG7.已知|a|3，|b|4 且a与b不共线，k为何实数时，向量a+kb 与akb互相垂直？变式 1：已知ab，|a|2，|b|3，且向量 3a+2b与kab互相垂直，则k的值为（）A32 B32 C32 D1 变式 2：已知|a|1，|b|2且（ab）a，则a与b夹角的大小为 EG8.已知a=(4，2)，求与向量a 垂直的单位向量的坐标 变式 1：若i=(1,0),j=(0,1)，则与 2i+3j垂直的向量是()A3i+2j B2i+3j C 3i+2j D2i3j 变式 2：已知向量)1,1(a，)3,2(b，若bak2与

18、a垂直，则实数k=（）A1 B1 C0 D2 变式 3：若非零向量ba,互相垂直，则下列各式中一定成立的是（）Ababa B|baba C0)(baba D0)(2ba 变式 4：已知向量a（3，4），b（2，x），c（2，y）且ab，ac求|bc|的值 EG9.已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明 变 式1：O是ABC所 在 的 平 面 内 的 一 点，且 满 足0OBOCOCOA，则 ABC 一定为（）A正三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D斜三角形 变式 2：已知A、B、C三点不共线，O是ABC内的一点，若OAOBOC0，则O是ABC的（）A

19、 重心 B 垂心 C 内心 D 外心 变式 3：已知02ABBCAB，则ABC 一定是 （）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形 变式 4：四边形ABCD中，)3,2(),(),1,6(CDyxBCAB （1）若DABC/，试求x与y满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有BDAC，求yx,的值及四边形ABCD的面积。五、平面向量应用举例 EG10.题目意图：用平面向量的方法证明平面几何命题：平行四边形两条对角线的平方和等于其两条邻边的平方和的两倍 变式 1：如图，矩形 ABCD 内接于半径为 r 的圆 O，点 P 是圆周上任意一点，求证：PA2+PB2+PC2+PD2=

20、8r2.变式 2：已知ABC 中，cABbCAaBC,，若accbba，求证：ABC 为正三角形.变式 3：已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证OEODOCOBOA4.变式 4：四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，求证：)(21DCABEF 实战训练 1.（08 全国一 3）在ABC中，AB c，AC b 若点D满足2BDDC，则AD A2133bc B5233cb C2133bc D1233bc 2.（08 安徽卷 3）在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB，(1,3)AC,则BD（）A（2，4）B（3，5）C（3，5）

21、D（2，4）3.（08 湖北卷 1）设)2,1(a,)4,3(b,)2,3(c则cba)2(C A.(15,12)B.0 C.3 D.11 4.（08 湖南卷 7）设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上 的 点，且2,DCBD2,CEEA2,AFFB则ADBECF与BC()A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 5.（08 陕西卷 15）关于平面向量，abc有下列三个命题：若a b=a c，则bc若(1)(2 6)k，ab，ab，则3k 非零向量a和b满足|abab，则a与ab的夹角为60 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）6.（08 广东卷 8）在

22、平行四边形ABCD中，AC与BD交于点OE，是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F若AC a，BD b，则AF（）A1142ab B2133ab C1124ab D1233ab 7.（08 浙江卷 9）已知a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足0)()(cbca,则c的最大值是 （A）1 （B）2 （C）2 （D）22 8.（08 辽宁卷 5）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足20ACCB，则OC（）A2OAOB B2OAOB C2133OAOB D1233OAOB 9.（08 海南卷 8）平面向量a，b共线的充要条件是（）A.a，b方向相同 B.a，

23、b两向量中至少有一个为零向量 C.R，ba D.存在不全为零的实数1，2，120ab 10.（08 上海卷 5）若向量a，b满足12ab，且a与b的夹角为3，则ab 11.（08 全国二 13）设向量(12)(2 3)，ab，若向量ab与向量(47)，c共线，则 12.（08 北京卷 10）已知向量a与b的夹角为120，且4ab，那么(2)bab的值为 13.（08 天津卷 14）已知平面向量(2,4)a，(1,2)b 若()caa b b，则|c _ 14.（08 江苏卷 5）a，b的夹角为120，1a，3b 则5ab 15.（08 江西卷 13）直角坐标平面上三点(1,2)(3,2)(9,

24、7)ABC、，若EF、为线段BC的三等分点，则AE AF=16（08 海南卷 13）已知向量(0,1,1)a，(4,1,0)b，|29ab且0，则=_ 17（08 福建卷 17）已知向量m=(sinA,cosA),n=(3,1)，mn1，且A为锐角.（）求角A的大小；（）求函数()cos24cossin()f xxAx xR的值域.18.在ABC中，角 A、B、C 的对边分别为,a b c，已知向量33(cos,sin),22AAm (cos,sin),22AAn 且满足3mn，（）求角 A 的大小；（）若3,bca试判断ABC的形状。19.已知向量(,sin2),(cos2,),()bmx

25、cx n xf xb cR，若函数()f x的图象经过点(0,1)和(,1).4（I）求mn、的值；（II）求()f x的最小正周期，并求()f x在0,4x上的最小值；（III）当1(),0,25f时，求sin的值 20.在ABC中，,ABC所 对 边 分 别 为cba,.已 知(sin,sincos),mCBA(,2)nbc,且0m n.（）求A大小.（）若,2,32ca求ABC的面积 S 的大小.21.已知向量(1tan,1)xa，(1sin2cos2,0)xxb，记()f x a b （1）求f(x)的解析式并指出它的定义域；（2）若2()85f，且(0,)2，求()f 22.已 知 向 量(cos,sin)xxm,(cos,sin2 3cos)xxxn,xR,设()f x mn.()求函数()f x的最小正周期.()若24()13f x,且,4 2x,求sin2x的值.23.（2007 年陕西卷理 17.）设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),xR,且函数y=f(x)的图象经过点2,4，（）求实数m的值；（）求函数f(x)的最小值及此时 x 的值的集合.24.(07 年陕西卷文 17）.设函数baxf、)(.其中向量 2)2(R,),1,sin1(),cos,(fxxbxma且.（）求实数m的值;（）求函数)(xf的最小值.