2016年高考数学江苏省(理科)试题及答案【解析版】.pdf

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1、 2016 年江苏省高考数学试卷 一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分）【2016 江苏（理）】已知集合 A=1，2，3，6，B=x|2 x3，则 AB=【答案】1，2【解析】解：集合 A=1，2，3，6，B=x|2 x3，AB=1，2，【2016 江苏（理）】复数 z=（1+2i）（3i），其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是 【答案】5【解析】解：z=（1+2i）（3i）=5+5i，则 z 的实部是 5，【2016 江苏（理）】在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线【答案】2 =1 的焦距是 【解析】解：双曲线 =1 中，a=，b=，c=，双曲线 =1 的焦距是 2

2、【2016 江苏（理）】已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 【答案】0.1【解析】解：数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5 的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，该组数据的方差：S=（4.75.1）+（4.8 5.1）+（5.15.1）+（5.45.1）+（5.55.1）=0.1 【2016 江苏（理）】函数 y=的定义域是 【答案】3，1【解析】解：由 32xx0 得：x+2x30，解得：x3，1，【2016 江苏（理）】如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是 第 1 页（共 19 页）2 2 2 2 2 2 2

3、 2 【答案】9 【解析】解：当 a=1，b=9 时，不满足 ab，故 a=5，b=7，当 a=5，b=7 时，不满足 ab，故 a=9，b=5 当 a=9，b=5 时，满足 ab，故输出的 a 值为 9，【2016 江苏（理）】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 【答案】【解析】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正 方体玩具）先后抛掷 2 次，基本事件总数为 n=66=36，出现向上的点数之和小于 10 的对立事件是出现向上的点数之和不小于

4、 10，出现向上的点数之和不小于 10 包含的基本事件有：（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共 6 个，出现向上的点数之和小于 10 的概率：p=1=【2016 江苏（理）】已知a n 是等差数列，S n 是其前 n 项和，若 a1 +a 2 2 =3，S 5 =10，则 a9 的值是 【答案】20【解析】解：a n 是等差数列，S n 是其前 n 项和，a1+a 2 2=3，S 5=10，解得 a1=4，d=3，a 9=4+83=20【2016 江苏（理）】定义在区间0，3上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点 个数是 第 2 页

5、（共 19 页）【答案】7【解析】解：画出函数 y=sin2x 与 y=cosx 在区间0，3上的图象如下：由图可知，共 7 个交点 【2016 江苏（理）】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆 +=1（ab0）的 右焦点，直线 y=与椭圆交于 B，C 两点，且BFC=90，则该椭圆的离心率是 【答案】【解析】解：设右焦点 F（c，0），将 y=代入椭圆方程可得 x=a=a，可得 B（a，），C（a，），由BFC=90，可得 kBFkCF=1，即有 =1，化简为 b=3a 4c，由 b=a c，即有 3c=2a，由 e=，可得 e=，可得 e=，第 3 页（共 19 页）2 2 2

6、2 2 2 2 2 2 【2016 江苏（理）】设 f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1，1）上，f（x）=，其中 aR，若 f（）=f（），则 f（5a）的值是 【答案】【解析】解：f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1，1）上，f（x）=，f（）=f（）=+a，f（）=f（）=|=，a=，f（5a）=f（3）=f（1）=1+=，【2016 江苏（理）】已知实数 x，y 满足，则 x+y 的取值范围是 【答案】，13 【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，设 z=x+y，则 z 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，由图象知 A 到原点的距离最大，点 O

7、 到直线 BC：2x+y2=0 的距离最小，由 得，即 A（2，3），此 时 z=2+3=4+9=13，点 O 到直线 BC：2x+y2=0 的距离 d=则 z=d=（）=，故 z 的取值范围是，13，故答案为：，13 ，第 4 页（共 19 页）2 2 2 2 2 2 2 2 【2016 江苏（理）】如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点，=4，=1，则 的值是 【答案】【解析】解：D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点，=+=+3 ，=+3 ，=2 2 =1，=9 2 2 =4，2 =，2 =，又 =+2 ，=+2 ，=4 2 2 =

8、，【2016 江苏（理）】在锐角三角形 ABC 中，若 sinA=2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小 值是 【答案】8【解析】解：由 sinA=sin（A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得 sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，由三角形 ABC 为锐角三角形，则 cosB0，cosC0，在式两侧同时除以 cosBcosC 可得 tanB+tanC=2tanBtanC，又 tanA=tan（A）=tan（B+C）=，第 5 页（共 19 页）则 tanAtanBtanC=tanBtanC，由 tan

9、B+tanC=2tanBtanC 可得 tanAtanBtanC=，令 tanBtanC=t，由 A，B，C 为锐角可得 tanA0，tanB0，tanC0，由式得 1tanBtanC 0，解得 t1，tanAtanBtanC=，=（），由 t1 得，0，因此 tanAtanBtanC 的最小值为 8，当且仅当 t=2 时取到等号，此时 tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得 tanB=2+，tanC=2，tanA=4，（或 tanB，tanC 互换），此 时 A，B，C 均为锐 角 二、解 答题（共 6 小题，满分 90 分）【2016 江苏（理）】在ABC 中，AC=6，cos

10、B=，C=（1）求 AB 的长；（2）求 cos（A ）的值 【解析】解：（1）ABC 中，cosB=，sinB=，AB=5 ；（2）cosA=cos（C+B）=sinBsinCcosBcosC=A 为三角形的内角，sinA=cos（A，）=cosA+sinA=【2016 江苏（理）】如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1DA1F，A1C1A1B1求证：（1）直线 DE平面 A1C1F；（2）平面 B1DE平面 A1C1F 2 第 6 页（共 19 页）【解析】解：（1）D，E 分别为 AB，BC 的中点，DE 为AB

11、C 的中位线，DEAC，ABCA 1 B1 C1 为棱柱，ACA 1 C1，DEA 1 C1，A 1 C1 平面 A 1 C1 F，且 DE平面 A 1 C1 F，DEA1C1F；（2）ABCA1B1C1 为直棱柱，AA1平面 A1B1C1，AA1A1C1，又A 1 C1 A 1 B1，且 AA 1 A 1 B1=A 1，AA 1、A 1 B1 平面 AA 1 B1 B，A 1 C1 平面 AA 1 B1 B，DEA 1 C1，DE平面 AA 1 B1 B，又A 1 F平面 AA 1 B1 B，DEA1F，又A1FB1D，DEB1D=D，且 DE、B1D平面 B1DE，A1F平面 B1DE，又

12、A1F平面 A1C1F，平面 B1DE平面 A1C1F【2016 江苏（理）】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是 正四棱锥 PA 1 B1 C1 D 1，下部的形状是正四棱柱 ABCDA 1 B1 C1 D 1（如图所示），并 要求正四棱柱的 高 O 1 O 是正四棱锥的高 PO 1 的 4 倍（1）若 AB=6m，PO 1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为 6m，则当 PO 1 为多少时，仓库的容积最大？第 7 页（共 19 页）【解析】解：（1）PO1=2m，正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1 的 4 倍 O 1 O=8m，仓库的容积 V=6

13、 2+6 8=312m，（2）若正四棱锥的侧棱长为 6m，设 PO 1=xm，则 O 1 O=4xm，A 1 O 1=m，A 1 B1=m，则仓库的容积 V=（）x+（）2 4x=x 3 +312x，（0 x6），V=26x+312，（0 x6），当 0 x2 时，V0，V（x）单调递增；当 2 x6 时，V0，V（x）单调递减；故当 x=2 时，V（x）取最大值；即当 PO 1=2 m 时，仓库的容积最大【2016 江苏（理）】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M：x+y 12x14y+60=0 及其上一点 A（2，4）（1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切

14、，且圆心 N 在直线 x=6 上，求圆 N 的标准方程；（2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、C 两点，且 BC=OA，求直线 l 的方程；（3）设点 T（t，0）满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得 范围+=，求实数 t 的取值 【解析】解：（1）N 在直线 x=6 上，设 N（6，n），圆 N 与 x 轴相切，圆 N 为：（x6）+（yn）=n，n0，又圆 N 与圆 M 外切，圆 M：x+y 12x14y+60=0，即圆 M：（x6）+（x7）=25，|7n|=|n|+5，解得 n=1，圆 N 的标准方程为（x6）+（y1）=1（2）由题意得 OA=2，k OA=

15、2，设 l：y=2x+b，则圆心 M 到直线 l 的距离：d=，则|BC|=2=2 ，BC=2 ，即 2=2 ，解得 b=5 或 b=15，2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 直线 l 的方程为：y=2x+5 或 y=2x15 第 8 页（共 19 页）（3）=|=又|10，即 对于任意 t22，即，即|=|，10，解得 t22，2+2，欲使，2+2 ，此时，|10，只需要作直线 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于 P、Q 两点，此时|=|，即，因此实数 t 的取值范围为 t22，2+2，【2016 江苏（理）】已知函数 f（x）=a+b（a0，b0

16、，a1，b1）（1）设 a=2，b=求方程 f（x）=2 的根；若对于任意 xR，不等式 f（2x）mf（x）6恒成立，求实数 m 的最大值；（2）若 0a1，b1，函数 g（x）=f（x）2有且只有 1 个零点，求 ab 的值【解析】解：函数 f（x）=a+b（a0，b0，a1，b1）（1）设 a=2，b=方程 f（x）=2；即：=2，可得 x=0 不等式 f（2x）mf（x）6恒成立，即 m（）6恒成立 令 t=，t2 不等式化为：t mt+40 在 t2 时，恒成立可得：0 或 即：m 160 或 m4，m（，4 实数 m 的最大值为：4（2）g（x）=f（x）2=a+b 2，g（x）=

17、axlna+bxlnb=ax+，0a1，b1 可得，令 h（x）=+，则 h（x）是递增函数，而，lna0，lnb0，因此，x 0 =时，h（x 0 ）=0，第 9 页（共 19 页）x x x x 2 2 x x 因此 x（，x0）时，h（x）0，a lnb0，则 g（x）0 x（x 0，+）时，h（x）0，a lnb0，则 g（x）0，则 g（x）在（，x 0）递减，（x 0，+）递增，因此 g（x）的最小值为：g（x 0）若 g（x 0）0，xlog a2 时，a =2，b 0，则 g（x）0，因此 x 1 log a2，且 x 1 x 0 时，g（x 1）0，因此 g（x）在（x 1，

18、x 0）有零点，则 g（x）至少有两个零点，与条件矛盾 若 g（x0）0，函数 g（x）=f（x）2有且只有 1 个零点，g（x）的最小值为 g（x0），可得 g（x0）=0，由 g（0）=a+b 2=0，因此 x 0 =0，因此 =0，=1，即 lna+lnb=0，ln（ab）=0，则 ab=1 可得 ab=1【2016 江苏（理）】记 U=1，2，100，对数列a n（nN）和 U 的子集 T，若 T=，定义 S T=0；若 T=t 1，t2，t k，定义 S T=+例如：T=1，3，66时，ST=a1+a3+a66现设an（nN *）是公比为 3 的等比数列，且当 T=2，4时，ST=3

19、0（1）求数列an的通项公式；（2）对任意正整数 k（1k100），若 T1，2，k，求证：STak+1；（3）设 CU，DU，S C S D，求证：S C+S CD 2S D 【解析】解：（1）当 T=2，4时，S T=a 2+a 4=a 2+9a 2=30，因此 a2=3，从而 a1=1，故 an=3，（2）STa1+a2+ak=1+3+3+3=3=ak+1，（3）设 A=C（CD），B=D（CD），则 AB=，分析可得 SC=SA+SCD，SD=SB+SCD，则 SC+SCD2SD=SA2SB，因此原命题的等价于证明 S C 2S B，由条件 S C S D，可得 S A S B，、若

20、B=，则 S B=0，故 S A 2S B，、若 B，由 S A S B 可得 A，设 A 中最大元素为 l，B 中最大元素为 m，若 ml+1，则其与 S A ai+1 amS B 相矛盾，因为 AB=，所以 lm，则 lm+1，x x x x 0 0*n1 2 k1 k 2 m1 SBa1+a2+am=1+3+3+3=，即 SA2SB，综上所述，SA2SB，故 S C+S CD 2S D 第 10 页（共 19 页）附加题【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题 区域内作答，若多做，则按作答 的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明 过程或演 算步骤.

21、A【选修 41 几何证明选 讲】【2016 江苏（理）】如图，在ABC 中，ABC=90，BDAC，D 为垂足，E 为 BC 的中 点，求证：EDC=ABD 【解析】解：由 BDAC 可得BDC=90，因为 E 为 BC 的中点，所以 DE=CE=BC，则：EDC=C，由BDC=90，可得C+DBC=90，由ABC=90，可得ABD+DBC=90，因此ABD=C，而EDC=C，所以，EDC=ABD B.【选修 42：矩阵与变换】【2016 江苏（理）】已知矩阵 A=AB ，【解析】解：B=，矩阵 B 的逆矩阵 B=，求矩阵 B=（B 1 ）1 =，又 A=，AB=C.【选修 44：坐标系与参数

22、方程】第 11 页（共 19 页）1 1 【2016 江苏（理）】在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为（t 为 参数），椭圆 C 的参数方程为（为参数），设 直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两 点，求线段 AB 的长 【解析】解：由，由得，代入并整理得，由，得，两式平方相加得 联立，解得|AB|=或 【2016 江苏（理）】设 a0，|x1|，|y2|，求证：|2x+y4|a【解析】证明：由 a0，|x1|，|y2|，可得|2x+y4|=|2（x1）+（y2）|2|x1|+|y2|+=a，则|2x+y4|a 成立 附加题【必做题】【2016 江苏（理）】如图，在平面直

23、角坐标系 xOy 中，已知直线 l：xy2=0，抛物线 C：y=2px（p0）（1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；（2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q 求证：线段 PQ 的中点坐标为（2p，p）；求 p 的取值范围 第 12 页（共 19 页）2 【解析】解：（1）l：xy2=0，l 与 x 轴的交点坐标（2，0），即抛物线的焦点坐标（2，0），抛物线 C：y=8x （2）证明：设点 P（x 1 ，y 1 ），Q（x 2 ，y 2 ），则：，即：，k PQ =，又P，Q 关于直线 l 对称，k PQ =1，即 y 1 +y 2 =2p，

24、又 PQ 的中点在直线 l 上，=2p，线段 PQ 的中点坐标为（2p，p）；因为 Q 中点坐标（2p，p），即 ，即关于 y 2 +2py+4p 2 4p=0，有两个不相等的实数根，0，（2p）4（4p 4p）0，p 【2016 江苏（理）】（1）求 7C 4C 的值；（2）设 m，nN，nm，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+nC +（n+1）C=（m+1）C 2 2 2*第 13 页（共 19 页）【解析】解：（1）7 =4 =720435=0 证明：（2）对任意 mN，当 n=m 时，左边=（m+1）=m+1，右边=（m+1）=m+1，等式成立 假设 n=k（km）时命题

25、成立，即（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+k+（k+1）当 n=k+1 时，=（m+1），左边=（m+1）+（m+2）+（m+3）+（k+1）+（k+2）=右边=（m+1）=（m+1）=（k+2）=（k+2），k+3（km+1）=（m+1），左边=右边，n=k+1 时，命题也成立，m，nN，nm，（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+nC+（n+1）C =（m+1）C 第 14 页（共 19 页）*2016 年江苏省高考数学试卷 一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分）1【2016 江苏（理）】已知集合 A=1，2，3，6，B=x|2 x3，则 AB=2【201

26、6 江苏（理）】复数 z=（1+2i）（3i），其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是 3【2016 江苏（理）】在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 =1 的焦距是 4【2016 江苏（理）】已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 5【2016 江苏（理）】函数 y=的定义域是 6【2016 江苏（理）】如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是 7【2016 江苏（理）】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 8【2016 江苏（理）】已知a n 是

27、等差数列，S n 是其前 n 项和，若 a1+a 2 2=3，S 5=10，则 a9 的值是 9【2016 江苏（理）】定义在区间0，3上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点 个数是 第 15 页（共 19 页）10【2016 江苏（理）】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆 +=1（ab0）的右焦点，直线 y=与椭圆交于 B，C 两点，且BFC=90，则该椭圆的离心率是 11【2016 江苏（理）】设 f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1，1）上，f（x）=，其中 aR，若 f（）=f（），则 f（5a）的值是 12【2016 江苏（理）】

28、已知实数 x，y 满足，则 x+y 的取值范围是 13【2016 江苏（理）】如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分 点，=4，=1，则 的值是 14【2016 江苏（理）】在锐角三角形 ABC 中，若 sinA=2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最 小值是 二、解答题（共 6 小题，满分 90 分）15【2016 江苏（理）】在ABC 中，AC=6，cosB=，C=（1）求 AB 的长；（2）求 cos（A）的值 16【2016 江苏（理）】如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1

29、 B 上，且 B1 DA 1 F，A 1 C1 A 1 B1 求证：（1）直线 DE平面 A 1 C1 F；2 2 第 16 页（共 19 页）（2）平面 B1DE平面 A1C1F 17【2016 江苏（理）】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正 四棱 锥 PA 1 B1 C1 D 1，下部的形状是正四棱柱 ABCDA 1 B1 C1 D 1（如图所示），并 要求正四棱柱 的高 O 1 O 是正四棱锥的高 PO 1 的 4 倍（1）若 AB=6m，PO 1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为 6m，则当 PO 1 为多少时，仓库的容积最大？18【2016 江

30、苏（理）】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M：x+y 12x14y+60=0 及其上一点 A（2，4）（1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x=6 上，求圆 N 的标准方程；（2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、C 两点，且 BC=OA，求直线 l 的方程；（3）设点 T（t，0）满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得 范围+=，求实数 t 的取值 19【2016 江苏（理）】已知函数 f（x）=a+b（a0，b0，a1，b1）（1）设 a=2，b=求方程 f（x）=2 的根；若对于任意 xR，不等式 f（2x）

31、mf（x）6恒成立，求实数 m 的最大值；（2）若 0a1，b1，函数 g（x）=f（x）2有且只有 1 个零点，求 ab 的值 2 2 x x 第 17 页（共 19 页）20【2016 江苏（理）】记 U=1，2，100，对数列an（nN）和 U 的子集 T，若 T=，定义 S T=0；若 T=t 1，t2，t k，定义 S T=+例如：T=1，3，66时，S T=a 1 +a 3 +a 66 现设a n （nN）是公比为 3 的等比数列，且当 T=2，4时，S T=30（1）求数列a n 的通项公式；（2）对任意正整数 k（1k100），若 T1，2，k，求证：S Tak+1；（3）设

32、CU，DU，SCSD，求证：SC+SCD2SD 附加题【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区 域内作答，若多做，则按作答的 前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算 步骤.A【选修 41 几何证明选讲】21【2016 江苏（理）】如图，在ABC 中，ABC=90，BDAC，D 为垂足，E 为 BC 的 中点，求证：EDC=ABD B.【选修 42：矩阵与变换】22【2016 江苏（理）】已知矩阵 A=，矩阵 B 的逆矩阵 B=，求矩阵 AB C.【选修 44：坐标系与参数方程】23【2016 江苏（理）】在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线

33、 l 的参数方程为（t 为参数），椭 圆 C 的参数方程为（为参数），设 直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长 24【2016 江苏（理）】设 a0，|x1|，|y2|，求证：|2x+y4|a 附加题【必做题】25【2016 江苏（理）】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：xy2=0，抛物线 C：y=2px（p0）（1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；（2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q 求证：线段 PQ 的中点坐标为（2p，p）；*1 2 求 p 的取值范围 第 18 页（共 19 页）26【2016 江苏（理）】（1）求 7C 4C 的值；（2）设 m，nN *，nm，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+nC +（n+1）C=（m+1）C 第 19 页（共 19 页）