平面向量知识点与基础练习(最基础).pdf

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1、 1 平面向量知识点与基础练习 一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。2零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与ABuuu r共线的单位向量是|ABABuuu ruuu r)；4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：ab，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定

2、相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的.平行向量无传递性！（因为有0r)；三点ABC、共线 AB ACuuu r uuu r、共线；6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是a。二向量的表示方法：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为,axiy jx yrrr，称,x y为向量a的坐标，a,x y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐

3、标相同。三平面向量的基本定理：如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数1、2，使 a=1e12e2。四实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1,2aarr当0时，a的方向与a的方向相同，当0 时，a的方向与a的方向相反，当0 时，0arr，注意：a0。五平面向量的数量积：1两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作,OAa OBbuuu rr uuu rr，AOB 0称为向量a，b的夹角，当0 时，a，b同向，当时，a，b反向，当2时，a，b垂直。2平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我

4、们把数量|cosa brr叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：ab，即abcosa br r。规定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。3b在a上的投影为|cosbr，它是一个实数，但不一定大于0。如 已知3|a，5|b，且12ba，则向量a在向量b上的投影为_（答：512）4ab的几何意义：数量积ab等于a的模|ar与b在a上的投影的积。5向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：0aba brrrr；当a，b同向时，aba br r，特别地，222,aa aaaarrrrrr；当a与b反向时，aba br r；非零向量a，b夹角的计算公式

5、：cosa ba brrr r；|a ba brrrr。六向量的运算：1几何运算：2 向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,ABa BCbuuu rr uuu rr，那么向量ACuuu r叫做ar与br的和，即abABBCACrruuu ruuu ruuu r；向量的减法：用“三角形法则”：设,ABa ACbabABACCAuuu rr uuu rrrruuu ruuu ruuu r那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如 化简：ABBCCDuuu ruuu ruuu

6、 r_；ABADDCuuu ruuu ruuu r_；()()ABCDACBDuuu ruuu ruuu ruuu r_（答：ADuuu r；CBuuu r；0r）；2坐标运算：设1122(,),(,)ax ybxyrr，则：向量的加减法运算：12(abxxrr，12)yy。实数与向量的积：1111,ax yxyr。若1122(,),(,)A x yB xy，则2121,ABxx yyuuu r，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如 设(2,3),(1,5)AB，且13ACABuuu ruuu r，3ADABuuu ruuu r，则 C、D 的坐标分别是_（答：

7、11(1,),(7,9)3）；平面向量数量积：1212a bx xy yrr。向量的模：222222|,|axyaaxyrrr。已知,a br r均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|3|abu u rr_（答：13）；两点间的距离：若1122,A x yB xy，则222121|ABxxyy。七向量的运算律：1交换律：abbarrrr，aa rr，a bb arrrr；2结合律：,abcabc abcabcrrrrrr rrrrrr，aba babrrrrrr；3分配律：,aaaababrrrrrrr，abca cb c rrrrrrr。提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：

8、对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即cbacba)()(，为什么？八向量平行(共线)的充要条件：/ababrrrr1212x yy x0。(1)若向量(,1),(4,)axbxrr，当x_时ar与br共线且方向相同（答：2）；（2）已知(1,1),(4,)abxrr，2uabrrr，2vabrrr，且/uvrr，则 x_（答：4）；（3）设(,12),(4,5),(10,)PAkPBPCkuuu ruuu ruuu r，则 k

9、_时，A,B,C 共线（答：2 或 11）九向量垂直的充要条件：002121yyxxbaba.(1)已知(1,2),(3,)OAOBm uuu ruuu r，若OAOBuuu ruuu r，则m （答：32）；（2）已知(,),na br向量nmru r，且nmru r，则mu r的坐标是_（答：(,)(,)bab a或）基础练习 1.已知，则 等于 A.B.C.D.2.已知，点 的坐标为，则点 的坐标为 A.B.C.D.3.设，若，则 的值为 3 A.B.C.D.4.向量，则 A.B.C.与 的夹角为 D.与 的夹角为 5.已知向量，则 A.B.C.D.6.已知向量，则 A.B.C.D.7.

10、若，则 与 的夹角的余弦值为 A.B.C.D.8.已知，则 A.B.C.D.9.已知向量，且，则 A.B.C.D.10.向量，在正方形网格中的位置如图所示，则 等于 A.B.B.C.D.11.在如图的平面图形中，已知，则 的值为 12.已知向量，且向量，不共线，则下列说法不正确的是 A.B.C.与 的夹角等于 D.与 在 方向上的投影相等 13.若向量 ，则 等于 14.已知向量，则向量 的坐标是 15.已知向量，则 .16.已知向量，且，则 A.B.C.D.4 17.设向量，且，则 18.在 正 三 角 行 中，是 上 的 点 若 ，则 19.设向量，满足，且 与 的方向相反，则 的坐标为 20.如图，在矩形 中，点 为 的中点，点 在边 上，若，则 的值是 21.已知，若，三点共线，求 22.平面向量，已知，求，及 与 的夹角 23.已知，是夹角为 的两个单位向量，（1）求；（2）求 与 的夹角