抛物线常用性质总结(可编辑修改word版).pdf

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1、AF BF 2 结论一：若 A B 是抛物线 y2 2 px(p 0)的焦点弦（过焦点的弦），且 A(x,y)，B(x,y)，则：1 1 2 2 x x p，y y p2。1 2 4 1 2 结论二：已知直线 AB 是过抛物线 y2 2 px(p 0)焦点 F，求证：1。1=2 p 结论三：（1）若 AB 是抛物线 y2 2 px(p 0)的焦点弦，且直线 AB 的倾斜角为，则 AB 2 P（0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。sin2 结论四：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点

2、弦 相切。AF BF AF BF AB y M A P O Q F N B 1 N 证明结论二：例：已知直线 AB 是过抛物线 y2 2 px(p 0)焦点 F，求证：1 1 p 为定值。p 证明：设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，由抛物线的定义知：AF x1 2，BF p2 x2 2，又 AF+BF=AB，所以 x1+x2=AB-p，且由结论一知：x1 x2 4。则：1 1 (x p)(x p)AB p p2 =AB p2 p 2 p2 p （常数 1 2 2 2 x1x2 2(x1 x2)4 (AB p)4 2 4 证明：结论四：已知 AB 是抛物线 y2 2 px(p 0)的过焦点

3、 F 的弦，求证：（1）以 AB 为直径的圆与抛物 线的准线相切。(2)分别过 A、B 做准线的垂线，垂足为 M、N，求证：以 MN 为直径的圆与直线 AB 相 切。证明：(1)设 AB 的中点为 Q,过 A、Q、B 向准线 l 作垂线，垂足分别为 M、P、N，连结 AP、BP。由抛物线定义：AM AF，BN BF，x QP (AM 2 BN)1(AF 2 BF)AB，以 AB 为直径为圆与准线 l 相切（2）作图如（1），取 MN 中点 P，连结 PF、MF、NF，AM AF y，AMOF，AMF=AFM，AMF=MFO，M A AFM=MFO。同理，BFN=NFO，1 MFN=（AFM+MFO+BFN+NFO）=90，2 O F x MP NP FP MN，B PFM=FMP AFP=AFM+PFM=FMA+FMP=PMA=90，FPAB 1 2 1 2 P AF BF AF BF