招式一：弦的垂直平分线问题-终结圆锥曲线大题十个大招.pdf

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1、！招式一：弦的垂直平分线问题 知识点：弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维,首先弄清楚哪个是弦,哪个是对称轴,用到的知识是:垂直(两直线的斜率之积为-1)和平分(中点坐标公式).例题 1、过点 T(-1,0)作直线l与曲线 N：2yx交于 A、B 两点，在 x 轴上是否存在一点 E(0 x,0)，使得ABE是等边三角形，若存在，求出0 x；若不存在，请说明理由.解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于 0.设直线:(1)l yk x，0k，11(,)A x y，22(,)B xy.由2(1)yk xyx消 y 整理，得2222(21)0k xkxk 由直线和抛物线交于两点，得2242(21

2、)4410kkk 即2104k 由韦达定理，得：212221,kxxk 121x x.则线段 AB 的中点为22211(,)22kkk.线段的垂直平分线方程为：22111 2()22kyxkkk 令 y=0,得021122xk，则211(,0)22Ek ABE为正三角形，211(,0)22Ek到直线 AB 的距离 d 为32AB.221212()()ABxxyy2221 41kkk212kdk 22223 1 41122kkkkk解得3913k 满足式此时053x.【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦 AB 的垂直平分线 L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦 AB 的中

3、点坐标 M，结合弦 AB 与它的垂直平分线 L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线 L 的方程，然后解决相关问题，比如：求 L 在 x 轴 y 轴上的截距的取值范围，求 L 过某定点等等.有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦 AB 的中点问题，比如：弦与某定点 D 构成以 D 为顶点的等腰三角形（即 D 在！AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点 AB 关于直线 m 对称等等.例题分析 1：已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B，则|AB|等于 .解：设直线AB的方程为yxb，由22123301yxxxbxxyxb ，进而可求出AB的中点

4、11(,)22Mb，又由11(,)22Mb在直线0 xy上可求出1b，220 xx，由弦长公式可求出221 114(2)3 2AB 例题 2：已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是1(3,0),F 一条渐近线的方程是520.xy（）求双曲线C的方程；（）若以(k0)k为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点MN，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k的取值范围.【解析】（）设双曲线 C 的方程为22221(0,0).xyabab由题设得 229,5.2abba解得224,5.ab.所以双曲线 C 的方程为221.45xy（）解：设直线 l 方程为(0).ykxm k点

5、 M11(,)x y，N22(,)xy的坐标满足方程组 22,1.45ykxmxy 将式代入式，得22()1,45xkxm整理得222(54)84200.kxkmxm 此方程有两个不等实根，于是2540k，且222(8)4(54)(420)0.kmkm 整理得 22540mk.由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标（00,xy）满足 120002245,25454xxkmmxykxmkk 从而线段MN的垂直平分线的方程为22514.5454mkmyxkkk 此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为2299,0,0,.5454kmmkk 由题设可得 ！2219981.225454kmmkk整理得2

6、 22(54),0.kmkk 将上式代入式得2 22(54)540kkk，整理得22(45)(45)0,0.kkkk 解得502k或5.4k 所以 k 的取值范围是5555-,004224，例题3：已知椭圆22221(0)xyabab的右焦点 10F，长轴的左、右端点分别为12AA，,且121FAFA.（）求椭圆C的方程；（）过焦点F斜率为k(0)k 的直线l交椭圆C于,A B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点D.试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，试求点E到y轴的距离；若不存在，请说明理由.【解析】（）依题设1(,0)Aa，2(,0)A a，则1(1,0)FAa ，

7、2(1,0)FAa.由121FAFA，解得22a，所以21b.所以椭圆C的方程为2212xy.（）依题直线 的方程为(1)yk x.由得2222214220kxk xk.设11(,)A x y,22(,)B xy,弦AB的中点为00(,)M xy，则2122421kxxk，21 222(1)21kx xk，202221kxk，0221kyk，所以2222(,)21 21kkMkk.直线MD的方程为22212()2121kkyxkkk，令0y，得2221Dkxk，则22(,0)21kDk.若四边形ADBE为菱形，则02EDxxx，02EDyyy.所以22232(,)21 21kkEkk.若点E在

8、椭圆C上，则2222232()2()22121kkkk.l22(1),22yk xxy！整理得42k，解得22k.所以椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形.此时点E到y的距离为123 27.例题 4：设AB、是椭圆223xy上的两点，点13N（，）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于CD、两点.（）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（）试判断是否存在这样的，使得ABCD、四点在同一个圆上？并说明理由.【解析】（）解法 1：依题意，可设直线AB的方程为(1)3,yk x代入223xy，整理得 222(3)2(3)(3)0.kxk kxk 设1122(,),(,),A x yB

9、 xy则12,x x是方程的两个不同的根，224(3)3(3)0kk 且1222(3).3k kxxk由(1,3)N是线段AB的中点，得 2121,(3)3.2xxk kk 解得 k=-1，代入得，12，即的取值范围是12（，）.于是，直线AB的方程为3(1),40.yxxy 即（）解法 1：CD垂直平分,AB 直线CD的方程为31,yx即20.xy代入椭圆方程，整理得24440.xx 又设3344(,),(,),C xyD xyCD的中点为00(,),M xy则34,x x是方程的两根，341,xx 且03400113(),2,222xxxyx 即1 3(,).2 2M 于是由弦长公式可得2

10、341|1()|2(3).CDxxk 将直线AB的方程40,xy代入椭圆方程得 248160.xx 同理可得 当12时,2(3)2(12).,|.ABCD 假设在在12，使得ABCD、四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离！为0013|4|4|3 222.222xyd 于是，由、式和勾股定理可得 222229123|.22222ABCDMAMBd 故当12时，ABCD、四点均在以M为圆心，|2CD为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：ABCD、共圆ACD为直角三角形，A为直角2|,ANCNDN即 2|()()().222ABCDCDdd 由式知，式左边

11、=12.2 由和知，式右边=2(3)2(3)3 23 2()()22223912,222 式成立，即ABCD、四点共圆 练习 1：设抛物线过定点1,0A，且以直线1x 为准线（）求抛物线顶点的轨迹C的方程；（）若直线l与轨迹C交于不同的两点,M N，且线段MN恰被直线12x 平分，设弦MN的垂直平分线的方程为ykxm，试求m的取值范围【解析】（）设抛物线的顶点为,G x y，则其焦点为21,Fxy由抛物线的定义可知：AF等于点A到直线1x 的距离为2所以，2242xy 所以，抛物线顶点G的轨迹C的方程为：2214yx 1x （）因为m是弦MN的垂直平分线与y轴交点的纵坐标，由MN所唯一确定所以

12、，要求m的取值范围，还应该从直线l与轨迹C相交入手 显然，直线l与坐标轴不可能平行，所以，设直线l的方程为1:l yxbk，代入椭圆方程得：222241240kbxxbkk 由于l与轨迹C交于不同的两点,M N，所以，22222441440bkbkk，即 ！222410 0kk bk （）又线段MN恰被直线12x 平分，所以，2212241MNbkxxk 所以，2412kbk代入（）可解得：33 022kk 下面，只需找到m与k的关系，即可求出m的取值范围由于ykxm为弦 MN 的垂直平分线，故可考虑弦MN的中点01,2Py 在1:l yxbk 中，令12x ，可解得：2011412222kybkkkk 将点1,22Pk代入ykxm，可得：32km 所以，3 33 344m且0m 解法二设弦 MN 的中点为01,2Py，则由点,M N为椭圆上的点，可知：22224444MMNNxyxy 两式相减得：40MNMNMNMNxxxxyyyy 又由于01121,2,2MNMNMNMNyyxxyyyxxk ，代入上式得：02yk 又点01,2Py在弦 MN 的垂直平分线上，所以，012ykm 所以，001324myky 由点01,2Py在线段BB上（BB，为直线12x 与椭圆的交点），所以，0BByyy也即：033y 所以，3 33 344m且0m