江西省中学等学校2022-2023学年九年级数学第一学期期末经典试题含解析.pdf

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1、2022-2023 学年九上数学期末模拟试卷 考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)1二次函数2yaxbxc的图像如图所示，下面结论：0a；0c；函数的最小值为3；当4x 时，0y；当122xx时，12yy（1y、2y分别是1x、2x对应的函数值）正确的个数为（）A2 B3 C4 D5 2张华同学的身

2、高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为3米，同时与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为（）A3.2米 B4.8米 C5.2米 D5.6米 3如图，四边形 ABCD 中，A=90，AB=8，AD=6，点 M，N 分别为线段 BC，AB 上的动点（含端点，但点 M 不与点 B 重合），点 E，F 分别为 DM，MN 的中点，则 EF 长度的最大值为（）A8 B6 C4 D5 4小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）A12 B18 C38 D14 5下列事件是随机事件的是（）A打开电视，正在播放新闻 B氢气在氧

3、气中燃烧生成水 C离离原上草，一岁一枯荣 D钝角三角形的内角和大于 180 6如图，AB 是半圆 O的直径，且 AB4cm，动点 P 从点 O出发，沿 OAABBO 的路径以每秒 1cm的速度运动一周设运动时间为 t，sOP2，则下列图象能大致刻画 s 与 t 的关系的是（）A B C D 7一个不透明的袋中装有 2 个红球和 4 个黄球，这些球除颜色外完全相同从袋中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是（）A13 B23 C14 D16 8下列事件属于随机事件的是（）A抛出的篮球会下落 B两枚骰子向上一面的点数之和大于 1 C买彩票中奖 D口袋中只装有 10 个白球，从中摸出一个黑球 9 二次函数

4、2(0)yaxbxc a的图象如图，有下列结论:0abc，20ab，1m 时，2abambm，0abc，当221122axbxaxbx且12xx时，122xx，当13x时，0y.其中正确的有（）A B C D 1013的倒数是（）A3 B13 C13 D3 二、填空题(每小题 3 分,共 24 分)11随着信息化时代的到来，微信支付、支付宝支付、QQ红包支付、银行卡支付等各种便捷支付已经成为我们生活中的一部分，某学校某宿舍的 5 名同学，有 3 人使用微信支付，2 人使用支付宝支付，问从这 5 人中随机抽出两人，使用同一种支付方式的概率是_ 12不透明布袋里有 5 个红球，4 个白球，往布袋里

5、再放入 x个红球，y个白球，若从布袋里摸出白球的概率为13，则y 与 x之间的关系式是 _ 13已知二次函数 yx2+2x+m的部分图象如图所示，则关于 x的一元二次方程x2+2x+m0 的解为_ 14某工厂 1 月份的产值为 50000 元，3 月份的产值达到 72000 元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？15如图，矩形 ABCD的顶点 A、B在 x轴的正半轴上，反比例函数 ykx(k0)在第一象限内的图象经过点 D，交BC于点 E若 AB4，CE2BE，tanAOD34，则 k的值_ 16函数2yx中，自变量x的取值范围是_ 17在一个不透明的布袋中装有 4 个白球和 n 个黄球

6、，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是14，则 n_ 18 如图，CD 是O的直径，E为O上一点，48EOD，A 为 DC 延长线上一点，AE 交O于点 B，且ABOC，则A的度数为 _ 三、解答题(共 66 分)19（10 分）已知关于x的方程2120 xmxm的一个实数根是 3，求另一根及m的值.20（6 分）如图，在 ABC中，C=90，点 O在 AC上，以 OA为半径的O交 AB于点 D，BD的垂直平分线交 BC于点 E，交 BD于点 F，连接 DE（1）判断直线 DE与O的位置关系，并说明理由；（2）若 AC=6，BC=8，OA=2，求线段 DE的长

7、 21（6 分）如图，tRABC中，90ACB，ACBC，P为ABC内部一点，135APBBPC求证：PABPBC 22（8 分）已知抛物线22ya xc经过点2,0A和 90,4C，与x轴交于另一点B，顶点为D（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图，点,E F分别在线段,AB BD上（E点不与,A B重合），且DEFA，则DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）若点P在抛物线上，且PBDCBDSmS，试确定满足条件的点P的个数 23（8 分）若357abc，且 3a+2b4c=9，求 a+bc的值是多少？24（8 分）如图是某区域的平面示意图，码头

8、 A在观测站 B的正东方向，码头 A的北偏西60方向上有一小岛 C，小岛 C在观测站 B的北偏西15方向上，码头 A到小岛 C的距离 AC为 10 海里（1）填空：BAC 度，C 度；（2）求观测站 B到 AC的距离 BP（结果保留根号）25（10 分）为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25 万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于 35 万元，如果该公司想获得 130 万元的月利润，那么该设备的销

9、售单价应是多少万元？26（10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2yx的对称轴为直线l，将直线l绕着点0,2P顺时针旋转的度数后与该抛物线交于AB两点（点A在点B的左侧），点Q是该抛物线上一点 （1）若45，求直线AB的函数表达式（2）若点p将线段分成2:3的两部分，求点A的坐标（3）如图，在（1）的条件下，若点Q在y轴左侧，过点p作直线/lx轴，点M是直线l上一点，且位于y轴左侧，当以P，B，Q为顶点的三角形与PAM相似时，求M的坐标 参考答案 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)1、C【分析】由抛物线开口方向可得到 a0；由抛物线过原点得 c=0；根据顶点坐标可得到函数的最小值为

10、-3；根据当 x0 时，抛物线都在 x 轴上方，可得 y0；由图示知：0 x2，y 随 x 的增大而减小；【详解】解：由函数图象开口向上可知，0a，故此选项正确；由函数的图像与y轴的交点在(0,0)可知，0c，故此选项正确；由函数的图像的顶点在(2,3)可知，函数的最小值为3，故此选项正确；因为函数的对称轴为2x，与x轴的一个交点为(0,0)，则与x轴的另一个交点为(4,0)，所以当4x 时，0y，故此选项正确；由图像可知，当2x 时，y随着x的值增大而减小，所以当122xx时，122xx，故此选项错误；其中正确信息的有 故选：C【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 y=ax

11、2+bx+c（a0）的图象为抛物线，当 a0，抛物线开口向上；对称轴为直线 x=2ba，；抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，c）；当 b2-4ac0，抛物线与 x 轴有两个交点；当 b2-4ac=0，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b2-4ac0，抛物线与 x 轴没有交点 2、A【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体、影子、经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似【详解】解：据相同时刻的物高与影长成比例，设这棵树的高度为 xm，则可列比例为，1.636x,解得，x=3.1 故选：A【点睛】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力 3

12、、D【分析】根据三角形中位线定理可知 EF=12DN，求出 DN 的最大值即可【详解】解：如图，连结 DN，DE=EM，FN=FM，EF=12DN，当点 N 与点 B 重合时，DN 的值最大即 EF 最大，在 RtABD 中，A=90，AD=6，AB=8，22228610BDADAB，EF 的最大值=12BD=1 故选：D【点睛】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想，属于中考常考题型 4、B【分析】画出树状图，根据概率公式即可求得结果.【详解】画树状图，得 共有 8 种情况，经过每个路口都是绿灯的有一种，实际这样的机会是18 故选：B【点

13、睛】本题考查随机事件的概率计算，关键是要熟练应用树状图，属基础题.5、A【分析】根据随机事件的意义，事件发生的可能性大小判断即可【详解】解：A、打开电视，正在播放新闻，是随机事件；B、氢气在氧气中燃烧生成水，是必然事件；C、离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件；D、钝角三角形的内角和大于 180，是不可能事件；故选：A【点睛】本题考查可随机事件的意义，正确理解随机事件的意义是解决本题的关键.6、C【解析】在半径 AO上运动时，s=OP1=t1；在弧 BA 上运动时，s=OP1=4；在 BO上运动时，s=OP1=（4+4-t）1，s 也是 t 是二次函数；即可得出答案【详解】解：利用图象可得出：当

14、点 P 在半径 AO上运动时，s=OP1=t1；在弧 AB 上运动时，s=OP1=4；在 OB 上运动时，s=OP1=（1+4-t）1 结合图像可知 C 选项正确 故选：C【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，能够结合图形正确得出 s 与时间 t 之间的函数关系是解决问题的关键 7、B【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：全部等可能情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.因此，地口袋中共有 2+4=6 个球，其中黄球 3 个，随机抽取一个球是黄球的概率是4263.故选 B 考点：概率 8、C【解析】根据随机事件,必然事件,不可能事件概念解题即可.【详解】解：A.抛出的

15、篮球会下落,是必然事件,所以错误,B.两枚骰子向上一面的点数之和大于 1,是不可能事件,所以错误,C.买彩票中奖.是随机事件,正确,D.口袋中只装有 10 个白球，从中摸出一个黑球,是不可能事件,所以错误,故选 C.【点睛】本题考查了随机事件的概念,属于简单题,熟悉概念是解题关键.9、D【分析】只需根据抛物线的开口、对称轴的位置、与 y 轴的交点位置就可得到 a、b、c 的符号，从而得到 abc 的符号；只需利用抛物线对称轴方程 x=2ba=1 就可得到 2a 与 b 的关系；只需结合图象就可得到当 x=1 时 y=a+b+c最小，从而解决问题；根据抛物线 x=1图象在 x 轴上方，即可得到

16、x=1所对应的函数值的符号；由221122axbxaxbx可得221122axbxcaxbxc，然后利用抛物线的对称性即可解决问题；根据函数图像，即可解决问题.【详解】解：由抛物线的开口向下可得 a0，由对称轴在 y 轴的右边可得 x=2ba0，从而有 b0，由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可得 c0，故错误；由对称轴方程 x=2ba=1 得 b=-2a，即 2a+b=0，故正确；由图可知，当 x=1 时，y=a+b+c 最小，则对于任意实数 m（1m），都满足2abcambmc，即2abambm，故正确；由图像可知，x=1所对应的函数值为正，x=1时，有 a-b+c0，故错误；若

17、221122axbxaxbx，且 x1x2，则221122axbxcaxbxc，抛物线上的点（x1，y1）与（x2，y2）关于抛物线的对称轴对称，1-x1=x2-1，即 x1+x2=2，故正确 由图可知，当13x时，函数值有正数，也有负数，故错误；正确的有；故选：D.【点睛】本题主要考查了抛物线的性质（开口、对称轴、对称性、最值性等）、抛物线上点的坐标特征等知识，运用数形结合的思想即可解决问题 10、A【分析】根据乘积为 1 的两个数互为倒数进行解答即可【详解】解：131=1，13的倒数是 1 故选 A【点睛】本题考查了倒数的概念，熟记倒数的概念是解答此题的关键 二、填空题(每小题 3 分,共

18、 24 分)11、25【详解】解：画树状图为：（用 W表示使用微信支付，Z表示使用支付宝支付）共有 20 种等可能的结果，其中使用同一种支付方式的结果数为 8，所以使用同一种支付方式的概率为82025 故答案为：25【点睛】本题考查用列表法或树状图法求概率，解答关键是根据题意正确画出树状图或正确列表，从而解答问题 12、x2y1【分析】根据从布袋里摸出白球的概率为13，列出454yxy13，整理即可得【详解】根据题意得454yxy13，整理，得：x2y1，故答案为：x2y1【点睛】本题考查概率公式的应用，熟练掌握概率公式建立方程是解题的关键 13、x11 或 x21【分析】由二次函数 yx2+

19、2x+m 的部分图象可以得到抛物线的对称轴和抛物线与 x轴的一个交点坐标，然后可以求出另一个交点坐标，再利用抛物线与 x轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的根的关系即可得到关于 x的一元二次方程x2+2x+m0 的解【详解】解：依题意得二次函数 yx2+2x+m的对称轴为 x1，与 x轴的一个交点为（1，0），抛物线与 x轴的另一个交点横坐标为 1（11）1，交点坐标为（1，0）当 x1 或 x1 时，函数值 y0，即x2+2x+m0，关于 x的一元二次方程x2+2x+m0 的解为 x11 或 x21 故答案为：x11 或 x21【点睛】本题考查了关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分

20、利用二次函数图象，根据图象提取有用条件来解答，这样可以降低题的难度，从而提高解题效率 14、20%【分析】设这两个月的产值平均月增长的百分率为 x，根据该工厂 1 月份及 3月份的产值，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【详解】解：设这两个月的产值平均月增长的百分率为 x，依题意，得：50000（1+x）272000，解得：x10.220%，x22.2（舍去）答：这两个月的产值平均月增长的百分率是 20%【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程 15、1【解析】由 tanAOD34，可设 AD1a、OA4a，在表示出点 D、E

21、 的坐标，由反比例函数经过点 D、E 列出关于 a 的方程，解之求得 a的值即可得出答案【详解】解：tanAODADOA34，设 AD1a、OA4a，则 BCAD1a，点 D 坐标为（4a，1a），CE2BE，BE13BCa，AB4，点 E（4+4a，a），反比例函数kyx 经过点 D、E，k12a2（4+4a）a，解得：a12 或 a0（舍），D（2，32）则 k2321 故答案为 1【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点 D、E 的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数 k 16、2x 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.【详解】依

22、题意，得20 x，解得：2x，故答案为2x 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义 17、1【分析】根据白球的概率公式列出方程求解即可【详解】解：不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有（n+4）个球，其中白球 4 个，根据概率公式知：P（白球）4144n，解得：n1，故答案为：1【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法

23、为：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A出现 m种结果，那么事件 A 的概率 P()mAn.18、16【分析】连接 OB，根据,ABOC OCOB，可得AAOB，设A=x，则AOB=x，列方程求出的值即可 【详解】连接 OB ,ABOC OCOB ABOB AAOB 设A=x，则AOB=x OBExx2x OEOB OEBOBE2x EODx2x3x EOD48 348x 16x 即A 的度数为 16 故答案为：16【点睛】本题考查了圆的角度问题，掌握等边对等角、三角形外角定理是解题的关键 三、解答题(共 66 分)19、6m，另一根为 4.【分析】把3x 代入方

24、程求出 m 的值，再把m代入原方程即可求解.【详解】解：把3x 代入方程，得9 3120mm，解得6m，把6m 代入原方程，得27120 xx，解得13x，24x.所以另一根为 4.【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知方程的解的定义及方程的解法.20、（1）直线 DE与O相切；（2）4.1【分析】（1）连接 OD，通过线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证明EDBODA90，进而得出ODDE，根据切线的判定即可得出结论；（2）连接 OE，作 OHAD于 H则 AHDH，由AOHABC，可得AHOAACAB，推出 AH65，AD125，设 DEBEx，CE8x，根据 OE2

25、DE2OD2EC2OC2，列出方程即可解决问题；【详解】（1）连接 OD，EF垂直平分 BD，EBED，BEDB，OAOD，ODAA，C90，AB90，EDBODA90，ODE90，ODDE，DE是O的切线（2）连接 OE，作 OHAD于 H则 AHDH，AOHABC，AHOAACAB，2610AH，AH65，AD125，设 DEBEx，CE8x，OE2DE2OD2EC2OC2，42（8x）222x2，解得 x4.1，DE4.1【点睛】本题考查切线的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型

26、 21、详见解析【分析】利用等式的性质判断出PBC=PAB，即可得出结论；【详解】解：90ACB，ABBC 45ABCPBAPBC ，又135APB,45PABPBA，PBCPAB，又135APBBPC，PABPBC【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出PBC=PAB 是解本题的关键 22、（1）2,3；（2）可能，BE的长为5或258；（3）当3010m时，满足条件的点P的个数有4个，当310m 时，满足条件的点P的个数有3个，当310m 时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）【解析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题（2）可

27、能分三种情形当DEDF时，当DEEF时，当DFEF时，分别求解即可（3）如图 2 中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DHAB于H，连接,PD PH PB设23,2316P nn，构建二次函数求出PBD的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题【详解】（1）由题意：160944acac 解得3163ac 抛物线的解析式为23(2)316yx，顶点D坐标2,3（2）可能如图1，(2,0),(2,3),(6,0)ADB 8,5ABADBD 当D E=D F时，DFEDEFABD /EFAB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立 当DEEF时，又BEFAED，BEFAED，5BEAD 当DFEF时

28、，EDFDEFDABDBA FDEDAB DEBDABEF EFBD5DEAB8，AEFBCE EF5ADDE8EB，52588EBAD 答：当BE的长为5或258时，CFE为等腰三角形（3）如图 2 中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DHAB于H，连接,PD PH PB设23,2316P nn 则PBDPDHBDHPBHSSSS2134(2)3216n 113(2)4 322n 233482n 308 4n 时，PBD的面积的最大值为32，PBDCBDSmS 当点P在BD的右侧时，m的最大值332510，观察图象可知：当3010m时，满足条件的点P的个数有4个，当310m 时，满足条

29、件的点P的个数有3个，当310m 时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题 23、1【分析】设3ak，利用比例性质得到 a=3k，b=5k，c=7k，所以 9k+10k28k=9，求出 k后得到 a、b、c的值，然后计算代数式的值【详解】设3ak，则 a=3k，b=5k，c=7k 3a+2b4c=9，9k+10k28k=9，解得：k=1，a=3

30、，b=5，c=7，a+bc=35(7)=1【点睛】本题考查了比例的性质：灵活应用比例性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)进行计算 24、（1）30，45；（2）（535）海里【分析】（1）由题意得：906030BAC，9015105ABC，由三角形内角和定理即可得出C的度数；（2）证出BCP是等腰直角三角形，得出=BP PC，求出3PABP，由题意得出310BPBP，解得5 35BP 即可【详解】解：（1）由题意得：906030BAC，9015105ABC，18045CBACABC；故答案为30，45；（2）BPAC，90BPABPC，45C，BCP是等腰直角

31、三角形，BPPC，30BAC，3PABP，PAPCAC，310BPBP，解得：5 35BP，答：观测站 B到 AC的距离 BP为(5 35)海里【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键 25、（1）y与x的函数关系式为5200yx；（2）该设备的销售单价应是 27 万元【分析】（1）根据图像上点坐标 28,60,32,40,代入ykxb,用待定系数法求出即可.（2）根据总利润=单个利润销售量列出方程即可.【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为ykxb，依题意，得6028,4032.kbkb解得5,200.kb 所以y与x的函数关系式为5200yx

32、（2）依题知255200130 xx 整理方程，得26510260 xx 解得122738xx，此设备的销售单价不得高于 35 万元，238x（舍），所以27x 答：该设备的销售单价应是 27 万元【点睛】本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用.26、（1）2yx；（2）2 3 4,33或3,3；（3）(1,2)，(2,2)，(13,2)，(13,2)【分析】（1）根据题意易得点 M、P 的坐标，利用待定系数法来求直线 AB的解析式；（2）分:2:3AP PB 和:3:2AP PB 两种情况根据点 A、点 B 在直线 y=x+2 上列式求解即可；（3）分45QBP和45BQP两种情况，利用相

33、似三角形的性质列式求解即可.【详解】（1）如图，设直线 AB 与 x 轴的交点为 M OPA=45，OM=OP=2，即 M（-2，0）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b（k0），将 M（-2，0），P（0，2）两点坐标代入，得 0(202)kbkb ，解得，12kb 故直线 AB 的解析式为 y=x+2；（2）:2:3AP PB 设22,4Aaa23,9Baa（a0）点A、点B 在直线y=x+2 上和抛物线 y=x2的图象上，2422aa，2932aa 24212aa，292=13aa 22429223aaaa 解得，133a，233a （舍去）2 3 4,33A:3:2AP PB 设23

34、,9Aaa22,4Baa（a0）点A、点B 在直线y=x+2 上和抛物线 y=x2的图象上，2932aa，2422aa 29213aa，242=12aa 22924232aaaa 解得：133a，233a （舍去）(3,3)A 综上2 3 4,33或3,3（3）45MPA，45QPB(1,1)A，(2,4)B 45QBP 此时B，Q关于y轴对称，PBQ为等腰直角三角形 1(1,2)M2(2,2)M 45BQP 此时2,4Q 满足，左侧还有Q也满足 BQPBQ P Q，B，P，Q四点共圆，易得圆心为BQ中点0,4D 设2,Qx x，0 x Q DBD 2222(0)42xx 22430 xx 0 x 且不与Q重合 3x (3,3)Q，2Q P 2Q PDQDP DPQ为正三角形，160302PBQ 过P作PEBQ，则2PEQ E，2BE 26Q B Q PBPMA PQQ BPAPM 2262PM 解得，13PM (13,2)M Q PBPMA PQQ BPMPA 2262PM 解得，31PM (13,2)M 综上所述，满足条件的点 M 的坐标为：(1,2)，(2,2)，(13,2)，(13,2).【点睛】本题考查了二次函数综合题其中涉及到了待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，方程思想，难度比较大另外，解答（2）、（3）题时，一定要分类讨论，做到不重不漏