高等数学(同济第六版)上册-期末复习题(含答案).pdf

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1、-高等数学上册期末复习 一.填空题 1.xxexx2sin2coslim30 23 2.曲线xxey的拐点是 )2,2(2e.设)(xf在0 x处可导且,0)0(f则xxfx)(lim0 )0(f 4.曲线xxy22cos1在)21,2(处的切线方程为 1yx 5.曲线122xxy有垂直渐近线 1x和水平渐近线 1y.设)(uf可导，)(sin2xefy，则dy dxeefefxxx)()(2sin 7.dxex40 )1(22e 8.若3)(0 xf，则hhxfhxfh)3()(lim000 12 9若dxxp1收敛，则p的范围是 1p#10.1)1232(limxxxx e 11.设cxF

2、dxxf)()(，则dxxf)2(cxF)2(21#2.设)(xf的一个原函数是xxln,则dxxxf)(cxxxln2422 1.设0,0,)(2xxxxxf，则11)(dxxf 61#14过点)3,1(且切线斜率为x2的曲线方程为 12 xy 1已知函数0,0,sin)(xaxxxxf，则当x 时,函数)(xf是无穷小;当 a 1时，函数)(xf在0 x处连续，否则0 x为函数的第 （一)类间断点。16.已知cxFdxxf)()(，则dxxfx)(arcsin112 cxF)(arcsin-7当0 x时，1)1(312ax与xcos1是等价无穷小，则a 23#10,0,sin)(303xa

3、xxdtttxfx是连续函数,则a 1 9.)(xf在 1,0上连续，且1)(,0)1(102dxxff,则10)()(dxxfxxf 21 提示：10)()(dxxfxxf1010210)()()()()(xxfdxfxxfxdfxxf 1010210)()()()()()(dxxfxxfdxxfdxxf xxfxf，移项便得。0.dxxexxx02)(，则)1()1(21e,)1(e 21xdxxdf1)(2，则)(xf x21 提示：22221)(12)(xxfxxxf 2.曲线)(xfy 在点)2(,2(f处的切线平行于直线13 xy，则)2(f 3#23.设xxfarctan)(，则

4、,00 xxxfxxfx)()(lim000 )1(2100 xx 4.33ln2xxy的水平渐近线是 3y 25.函数xxy 的导数为 )1(lnxxx.dxxex02 21 27.dxxxxx)1sin(2211 1 8.广义积分dxx131 21 29.x)x(f的积分曲线中过)21,1(的那条曲线的方程 _12x2#30.设s为曲线xxyln与exx,1及x轴所围成的面积,则s )1(412e 31.dxxf)2(cxf)2(21-2.曲线)1ln(xey的全部渐近线为 exxy1,0,1#33.曲线2xy 与xy 2所围图形绕y轴旋转一周所成的旋转体体积 103 4.点)1,1,0(

5、到平面0222zyx的距离为 35 35.设向量kjibkjia24,2，则当 10时，ba；当 ba/,2。本 题 不 作 要 求 36.空 间 曲 线)(31222222yxzzyx在xoy平 面 上 的 投 影 曲 线 方 程 为 04122zyx 37.设3),(,2,5baba,则 ba32 192 8.设向量5,4,3,2,1,2ba，则a在b上的投影为 22 39.已 知 向 量kjima5和 向 量knjib 3共 线，则m n,15 51 4.设平行四边形二边为向量3,1,2,1,3,1ba,则其面积为 103 41.设点142),5,0,4(BAA，向量BA的方向余弦为14

6、1cos,143cos,142cos,则B点坐标为 )1,2,10(本题不作要求 42.曲线0122322zyx绕y轴旋转一周所得的旋转曲面方程为 12233222yzx 43.设,3,2ba且ba/，则ba ba,6 0 4.设022dx)1x(f,0 x,x0 x,00 x,1x)x(f=56-#45.)x(,dt)tx(sin)x(x0 sin x 二选择题 1.设2005)1(limnnnn，则,的值为（）C 20051,2004.A 20052004,20051.B 20051,20052004.C 20051,20052004.D 2.设01,10,1cos)(2xxxxxxf,在

7、0 x处（)A.A连续,不可导 .B连续,可导 .C可导，导数不连续 .D为间断点 3.曲线xysin2在0 x处的切线与x轴正方向的夹角为(）B 2.A 4.B 0.C 1.D.设)(xf在 1,0上连续，)1,0(内可导,0)1(,1)0(ff,则至少存在一点)1,0(,有 A ()(),F xxf xRolle设利用定理)()(.ffA .B)()(ff .C)()(ff .D)()(ff 若032 ba，则0)(23cbxaxxxf（)B.A无实根 .B有唯一实根 .C三个单实根 .D重根#.函数)(xf在0 xx 处取得极大值,则(）D 0)(.0 xfA 0)(.0 xfB .C0

8、)(0 xf0)(,0 xf .D0)(0 xf或不存在 7.设)(xf的导函数为xsin，则)(xf的一个原函数为()D xAsin1.xxBsin.xCcos1.xxDsin.#8.设ttfcos)(ln,则dttftf t)()()A ctttAsincos.ctttBcossin.ctttC)sin(cos.cttDsin.设)(xf连续，202)()(xdttfxF，则)(xF()C)(.4xfA )(.42xfxB )(2.4xxfC )(2.2xxfD-1.下列广义积分收敛的是（）C dxxxAeln.dxxxBeln1.dxxxCe2)(ln1.dxxxDeln1.11 0 x

9、xeedx()C 2.A .B 4.C .D发散 1.下列函数中在区间3,0上不满足拉格朗日定理条件的是（）C 12.2 xxA )1cos(.xB )1(.22xxC )1ln(.xC 13求由曲线xyln，直线)0(ln,ln,0abbyayx所围图形的面积为（）C baA.22.abB abC.abD.#1若cedxexfxx11)(，则)(xf(）B xA1.21.xB xC1.21.xD 15.点)1,2,3(M关于坐标原点的对称点是(）A )1,2,3.(A )1,2,3.(B )1,2,3.(C )1,2,3.(D 16.向量ba与向量a的位置关系是（)C.A共面 .B平行 .C

10、垂直 .D斜交 17设平面方程为0DCzAx,其中DCA,均不为零,则平面()B.A平行于x轴 .B平行于y轴 .C经过x轴 .D经过y轴 1.设直线方程为00221111DyBDzCyBxA且0,221111DBDCBA,则直线(）C.A过原点 .B平行于x轴 .C垂直于y轴 .D平行于z轴 19.直线37423zyx和平面3224zyx的位置关系为()C.A斜交 .B垂直 .C平行 .D直线在平面上 20已知1)()()(lim2axafxfax,则在ax 处 (B)-A)(xf导数存在且0)(af B.)(xf取极大值 C)(xf取极小值 D.)(xf导数不存在 三计算题#1)1sinc

11、osln(lim220 xxxxx 21#.41cos0lnlimxtdttxx 81 3.)11(lim22xxx 0 .xxx10)(coslim 21e#.2tan)1(lim1xxx 2 6.求xxxxxln1lim0=解：一）原式1limlim1ln)ln1(lim0ln000eexxxxxxxxxxx，二)原式0,ln1,0lnlim,ln1limln0ln0 xxxexxxxexxxxxx 1。7.设)(xf为连续函数,计算xaaxdttfaxx)(lim2 )(2afa.dxx)sin(ln cxxx)cos(ln)sin(ln2 9 dxx02cos1 22 1 .dxxax

12、a2202 416a 11设xxycos)(sin,求y sincossinlnsin)(sin2cosxxxxxx 12.设0cos20ln0 xyttdtdte,求dy dxxx2cos2 3.设)(xf 在 1,0上连续,求积分dxxxfxxfsin)(coscos)(cos222 提示：原式2222)(cossincos)(cosxxdfxdxxf-222222cos)(cos)(cossincos)(cosxdxxfxxfxdxxf)0(2 f 1.dxxxx84132 cxxx22arctan2584ln232 15.设)1()(3tefytfx,其中f可导,且0)0(f,求0td

13、xdy 3#1.dxxx232)1(arcsin cxxxx221ln1arcsin 17.dxxx042sinsin 提示:原式1cossincossin0022dxxxdxxx 8.dxx202)1(1 发 散 1 .dxex2ln01 )41(2 2.12xxdx cx1arccos 1xdxx4223cos)4(23 22dxxx3ln 21ln(3)2xc 3.dxexx22ln03 11ln242#24)1(2xxeedx arctanxxeec 2.dx2x12x1 26.设x1)e(fx,求)x(flnxxc 2.dxcosxx35 3331sincos3xxxc 28dxx1

14、xarcsinx222arcsin1lnxxxc 29.1x1xdx33221(1)(1)3xxc#3)x1(xdx10101lnln 110 xxc#3.已知)(xf的一个原函数为lnx)sinx1(,求dx)x(fx cosln1 sin(1sin)lnxxxxxx -32.dxx1x1xln211ln(1)21xxxcx#3.dxx)1x(ln2ln(1)44arctanxxxxc#3.dxeeexxx20cossinsin 2 35.dxxaxa02214 本题不作要求 3.已知)x(为连续函数,令 0 x,00 x,)x1(lndtdu)u()1t()x(f2x0t02试讨论)(xf

15、在0 x处的连续性与可微性。连续，可微 3设)(xf在 1,0上可导，且满足210dx)x(xf2)1(f,证必存在一点)1,0(，使)(f)(f。提示：利用积分中值定理和 Rolle定理 38.设)(xf在 1,0上连续，单调减且取正值，证:对于满足10的任何,有 dx)x(fdx)x(f0。000()()()()()()()()f x dxf x dxf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx提示：3.设)(xf在),0 上连续,单调不减且0)0(f,试证：0 x0,0 xdt,)t(ftx1)x(Fx0n在),0 上连续且单调不减。（0n)40.dx)e1(xln11x

16、 13 1111221111(ln(1)ln(1)ln(1)xttxxtedtxex dxxe dxx dx 原#41.设dte)x(f22x1t，求10dx)x(xf。11(1)4e 2dtxt t10 11321123xtxxtx 43)(,badxxba22220202baxabx-4.设)(xf在),(上 连 续，且 对)()()(,yfxfyxfyx，求dxxfx112)()1()f x提示：为奇函数 5.dxexIx4421sin 22222222244sinsinsin(1 1)sin(),()1111sin1sinsin()()sin121sin2xxxxxxxxxexexf

17、xfxeeeexxxf xf xxexdx 提示：原 4631sinlim6002xxtxextdtte 47.设向量2,1,2,3,2,1,1,3,2cba,向量r满足brar,且14Prrjc 求向量r。14,10,2 48.）求过z轴和点)2,1,3(的平面方程，03 yx)求过三点)0,6,0(),4,3,2(),0,3,2(RQP的平面方程。012623zyx 49.求过点)3,2,1(),1,1,2(QP且垂直于平面06532zyx的平面方程。01639zyx 0 求 过 点)2,1,3(A且 通 过 直 线12354:zyxL的 平 面 方 程。0592298zyx 51.求与平

18、面0522zyx平行且与三坐标所构成的四面体体积为1的平面方程。032223zyx 52.求过点)0,4,2(M且与直线023012:zyzxL平行的直线方程。13422zyx-5.求点)0,2,1(A在平面012zyx上的投影。)32,32,35(5.求过直线0405:zxzyxL且与平面01284zyx成4角的平面方程。012720zyx 本题不作要求 5.若动点到坐标原点的距离等于它到平面4z的距离,该动点轨迹表示何种曲面?16822zyx 旋转曲面 四.列表讨论函数xexy的单调区间、极值及曲线的凹凸区间、拐点、渐近线。#五.设orxxxxxf0,00,sin21)(，求xdttfx0

19、)()(在),(内的表达式。xxxxdttfxx,10),1(cos210,0)()(0 六.设)(xf在),(内连续,证明)()()()(0afxfdttftxdxdx。七.设20,0,2:;0,2,2:2221aaxyxyDyxaxxyD 1.试求1D绕x轴旋转得旋转体体积1V；2D绕y轴旋转得旋转体体积2V;2.问当a为何值时1V2V得最大值？并求该最值。)32(5451aV，42aV，1a,1(V5129)max2V 八已知xxxf22tan2cos)(sin,求)(xf。提示:uuuufxxxxf121)(sin1sinsin21)(sin2222,cxxxf1ln)(2 九 设cy

20、 与22xxy相交于第一象限(如图)。1求使得两个阴影区域面积相等的常数c；2.在 1 的情况下,求区域I绕x轴旋转的旋转体体积。I Y X 0 C II III(b,c)-提示：IIIIIIIIIIIIssss,202031)2(bbcdxxxcdxbb,又22bbc，43,23cb,23,21243212xxxxyy,24041V。#十.设0cos)()(xdxxfxxf，证:22)(20dxxf。提示：设Axdxxf0cos)(,2A 十一设直线baxy与直线1,0 xx及0y所围成的梯形面积为A,求ba,使这块面积绕x轴旋转所得体积最小。)0,0(ba 提示:badxbaxAbabad

21、xbaxV2)(),3()(1022102，Aba,0时，体积最小#十二.求抛物线12xy在)1,0(内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线12xy所围图形的面积最小。提示：切线)1,0(),0,21(),(2)1(222xBxxAxXxxY，330)()1(2)1(2110222xxsdxxxxs,所求切线为34332xy 十三求通过直线3122zyx与平面15zyx的交点，且与平面 05432zyx垂直相交的直线方程。473424zyx 十四.证明011302xxdxx在区间)1,0(内有唯一的实根。提示：令0)1()0(113)(02FFxdxxxFx，再证唯一性。-本题不作要求 十五.设

22、)(xf可导，且dttxftxFfnnxn)()(,0)0(01,证:)0(21)(lim20fnxxFnx 010011()()()()nnnnxtuxxnnnxF xtf xtdtf u duf u dunn提示：十六.设)x(f,0 x 满足)x1(x02,xdx)x(f求)2(f。2x(1 x)0f(x)dxx,提示：对求导 十七证:)x(f,dx)x(xf21dx)x(fx2a02a03连续，0a,并求dx)x(sinx2203。223222200011()()()122xtaaax f xdxx f xdxtf t dt所求值为 十八.求dte)t2()x(f2x0t的最大、小值。

23、21,1 e最小值为最大值为 十九已知,5)2(f,3)2(f,1)0(f求 10dx)2x(fx。2 二十.已知,2dxxsinx0求dxxxsin022。2 21x提示：用分部积分，先将凑入微分 二十一.设dte)x(f22x1t，求10dx)x(xf。41同题 二十二0,xdt,t1lnt)x(fx1求)x1(f)x(f。21(ln)2x 二十三1)设)(xf在 1,0上连续，在)1,0(内可导，且1)x(f0,0)0(f，证：dx)x(f)dx)x(f(103102。()1f x 提示：可利用已知条件知 2)设,)(baCxf，证:dxxfabdxxfbaba)()()(22。提示：2

24、2()()()()(,)()0 xxaaF xf t dtxaft dtxa bF x设 3)设,)(baCxf,且0)(xf,证：2)()(1)(abdxxfdxxfbaba 21()()()()()xxaaF xf t dtdtxaF xf t提示：设-4)设,)(baCxf,且严格单调增加，证:babadxxxfdxxfba)(2)()(。()2()()()()xxaaF xtf t dtaxf t dtF x提示：设 5）设)(xf在,ba上可导，且0)(,)(afMxf,证：2)(2)(abMdxxfba。,()()()()(,)()()()bbaaxa bf xf afxaa xf

25、 x dxfxa dx提示：有微分中值定理：二十四.设)(xf在,0上连续，在),0(内可导,且 0sin)(cos)(00 xdxxfxdxxf，证明:一个),0(，使得0)(f。证:在),0(内0sinx，由0sin)(0 xdxxf可知,)(xf在),0(内不能恒正或负,由于)(xf的连续性可知)(xf在),0(内必有零点。若能证明零点有两个以上,则可由罗尔定理可得证。反证：若),0(0 x是)(xf的唯一零点,则当0 xx，)()sin(0 xfxx 就恒正或负，于是0)()sin(00dxxfxx，而dxxfxxxxdxxfxx)()sincoscos(sin)()sin(00000 0)(cossin)(sincos0000dxxxfxdxxxfx，矛盾，所以)(xf在),0(内至少有两个零点,由罗尔定理便得证。