知识要点-空间直角坐标系.pdf

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1、文档 第 5 讲 空间直角坐标系 知识梳理 1.右手直角坐标系 右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指；已知点的坐标),(zyxP作点的方法与步骤（路径法）：沿x轴正方向（0 x时）或负方向（0 x时）移动|x个单位，再沿y轴正方向（0y时）或负方向（0y时）移动|y个单位，最后沿x轴正方向（0z时）或负方向（0z时）移动|z个单位，即可作出点 已知点的位置求坐标的方法：过P作三个平面分别与x轴、y轴、z轴垂直于CBA,，点CBA,在x轴、y轴、z轴的坐标分别是cba,，则),(cba就是点P的坐标 2、在x轴上的点分别可以表示为),0,0(),0,

2、0(),0,0,(cba，在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为),0(),0,(),0,(cbcaba;3、点),(cbaP关于x轴的对称点的坐标为),(cba 点),(cbaP关于y轴的对称点的坐标为),(cba；点),(cbaP关于z轴的对称点的坐标为),(cba；点),(cbaP关于坐标平面xOy的对称点为),(cba；点),(cbaP关于坐标平面xOz的对称点为),(cba；点),(cbaP关于坐标平面yOz的对称点为),(cba；点),(cbaP关于原点的对称点),(cba。4.已知空间两点),(),(222111zyxQzyxP，则线段PQ的中点坐标为)2,2,2(

3、212121zzyyxx 文档 5空间两点间的距离公式 已知空间两点),(),(222111zyxQzyxP，则两点的距离为221221221)()()(|zzyyxxPQ，特殊地,点),(zyxA到原点O的距离为222|zyxAO;5以),(000zyxC为球心,r为半径的球面方程为2202020)()()(rzzyyxx 特殊地,以原点为球心,r为半径的球面方程为2222rzyx 重难点突破 重点:了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导和使用空间两点间的距离公式 难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比，认识空间点的对称及坐标间的关系 重难点:在空间直角坐标系中，

4、点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用 1借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系 问题 1：点),(cbaP到y轴的距离为 解析借助长方体来思考，以点PO,为长方体对角线的两个顶点，点),(cbaP到y轴的距离为长方体一条面对角线的长度，其值为22ca 2将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系 问题 2：对于任意实数,x y z，求222222(1)(2)(1)xyzxyz的最小值 解析在空间直角坐标系中，222222(1)(2)(1)xyzxyz表示空间点(,)x y z到点(0,0,0)的距离与到点(1,2,1)的距离之和，它的最小值就是点(0,0,0)与点(1,2,1)

5、之间的线段长，所以222222(1)(2)(1)xyzxyz的最小值为6。3利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题(1)判断两条相交直线是否垂直(2)判断空间三点是否共线 文档(3)得到一些简单的空间轨迹方程 热点考点题型探析 考点 1:空间直角坐标系 题型 1:认识空间直角坐标系 例 1（1）在空间直角坐标系中，ya表示 （）Ay轴上的点 B过y轴的平面 C垂直于y轴的平面 D平行于y轴的直线（2）在空间直角坐标系中，方程xy 表示 A在坐标平面xOy中，1，3 象限的平分线 B平行于z轴的一条直线 C经过z轴的一个平面 D平行于z轴的一个平面【解题思路】认识空间直角坐标系,可以类比平

6、面直角坐标系,如在平面直角坐标系坐标系中,方程1x表示所有横坐标为 1 的点的集合 解析（1）ya表示所有在y轴上的投影是点)0,0(a的点的集合，所以ya表示经过点)0,0(a且垂直于y轴的平面 （2）方程xy 表示在任何一个垂直于z轴的一个平面内，1，3 象限的平分线组成的集合【名师指引】(1)类比平面直角坐标系,可以帮助我们认识空间直角坐标系 (2)要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。如：经过点)0,0,(a且垂直于x轴的平面上的点都可表示为),(zya 题型 2:空间中点坐标公式与点的对称问题 例 2 点),(cbaP关于z轴的对称点为1P，点1P关于平面xOy的对称点为2P

7、，则2P的坐标为 【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系，得到空间直角坐标系中的对称关系 解析因点P和1P关于z轴对称,所以点P和1P的竖坐标相同,且在平面xOy的射影关于原点对称,故点1P的坐标为),(cba,又因点1P和2P关于平面xOy对称,所以点2P坐标为),(cba 【名师指引】解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找文档 关系,如借助空间想象,在例 2 中可以直接得出点2P为点),(cbaP关于原点的对称点,故坐标为),(cba【新题导练】1已知正四棱柱1111ABCDA B C D的顶点坐标分别为(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)ABD

8、，1(0,0,5)A，则1C的坐标为 。解析正四棱柱1111ABCDA B C D过点 A 的三条棱恰好是坐标轴，1C的坐标为（2，2，5）2平行四边形ABCD的两个顶点的的坐标为)3,2,3(),3,1,1(BA，对角线的交点为)4,0,1(M，则顶点 C 的坐标为 ,顶点 D 的坐标为 解析由已知得线段AC的中点为M,线段BD的中点也是M,由中点坐标公式易得)5,1,3(C，)11,2,1(D 3已知(4,3,1)M，记M到x轴的距离为a，M到y轴的距离为b，M到z轴的距离为c，则（）Aabc Bcba Ccab Dbca 解析借助长方体来思考,a、b、c分别是三条面对角线的长度。5,17

9、,10cba，选 C 考点 2：空间两点间的距离公式 题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题 例 3 如图：已知点(1,1,0)A，对于Oz轴正半轴上任意一点P，在Oy轴上是否存在一点B，使得PAAB恒成立？若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由。【解题思路】转化为距离问题，即证明222PBABPA 解析设),0,0(cP)0,0(bB，对于Oz轴正半轴上任意一点P，假设在Oy轴上存在一点B，使得PAAB恒成立，则222PBABPA X A Y B O Z P 文档 222222222)0()0()00()00()1()01()0()10()10(cbbc即22)1(3bb，解得：2b

10、 所以存在这样的点B，当点B为(0,2,0)时，PAAB恒成立【名师指引】在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题。此外，用距离还可以解决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹。【新题导练】4已知(,5,21),(1,2,2)A xxxBxx，当,A B两点间距离取得最小值时，x的值为（）A19 B87 C87 D1914 解析75)78(14191214)33()23()1(|22222xxxxxxAB 当x87时，|AB取得最小值 5已知球面222(1)(2)(3)9xyz，与点(3,2,5)A，则球面上的点与点A距离的最大值与最小值分别是 。解析球心6),3,2,1(ACC，球面上的点与

11、点A距离的最大值与最小值分别是 9 和 3 6已知三点(1,1,2),(1,2,1),(,0,3)ABC a，是否存在实数a，使 A、B、C 共线？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。解析 222(1 1)(12)(21)14AB ，2222(1)(10)(23)(1)2ACaa，2222(1)(20)(13)(1)20BCaa ，因为BCAB，所以，若,A B C三点共线，有BCACAB或ACBCAB，若BCACAB，整理得：2518190aa，此方程无解；若ACBCAB，整理得：2518190aa，此方程也无解。所以不存在实数a，使 A、B、C 共线。文档 抢分频道 基础巩固训练 1将

12、空间直角坐标系(右手系)画在纸上时，我们通常将x轴与y轴，x轴与z轴所成的角画成（）A090 B0135 C045 D075 解析：选 B 2.点(3,4,5)P在yoz平面上的投影点1P的坐标是 （）A(3,0,0)B(0,4,5)C(3,0,5)D(3,4,0)解析：两点的纵坐标、竖坐标不变，选 B 3.三棱锥ABCO 中，)3,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,0,0(CBAO此三棱锥的体积为（）A1 B2 C3 D 6 解析 OCOBOA,两两垂直，13212131ABCOV 4（2007 山东济宁模拟）设点 B 是点 A(2,-3,5)关于平面xOy的对称点，则|AB|

13、等于()A10 B10 C38 D38 解析 A 点 A(2,-3,5)关于平面xOy的对称点为)5,3,2(B,10)5(5)3(3)22(222AB 5（2007 年湛江模拟）点)3,2,1(P关于y轴的对称点为1P，P关于平面xOz的对称点为2P，则|21PP=解析)3,2,1(1P，)3,2,1(2P，56|21PP 6正方体不在同一表面上的两顶点 P（-1，2，-1），Q（3，-2，3），则正方体的体积是 解析 QP,不共面，PQ为正方体的一条对角线，34PQ，正方体的棱长为 4，文档 体积为 64 综合提高训练 7空间直角坐标系中，到坐标平面xOy，xOz，yOz的距离分别为 2，

14、2，3 的点有 A.1 个 B.2 个 C.4 个 D.8 个 解析：8 个。分别为（3，2，2）、（3，2，-2）、（3，-2，2）、（3，-2，-2）、（-3，2，2）、（-3，2，-2）、（-3，-2，2）、（-3，-2，-2）8（2007 山东昌乐模拟）三角形ABC的三个顶点的坐标为)4,1,6(),3,2,4(),11,2,1(CBA，则ABC的形状为（）A正三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形 解析 C 89)311()22()41(|222AB75)411()12()64(|222AC14)43()12()64(|222BC 222ABBCAC 9(2008 年佛冈一

15、中模拟)已知空间直角坐标系xyzO 中有一点)2,1,1(A，点B是平面xOy内的直线1 yx上的动点，则BA,两点的最短距离是（）A6 B234 C3 D 217 解析因为点 B 在xoy平面内的直线1xy上，故可设点 B 为(,1,0)xx，所以217)21(2922)20()2()1(22222xxxxxAB，所以当21时，AB 取得最小值234，此时点 B 为)0,21,21(。10如图，以棱长为a的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上。（1）当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，B A C Y D Z O Q

16、 P 文档 探究PQ的最小值；（2）当点P在对角线AB上运动，点Q为棱CD的中点时，探究PQ的最小值；解析由已知(,0),(0,0),(0,),(0,0,)A a aCaDa a Ba，（1）当点P为对角线AB的中点时，点P坐标为(,)2 2 2a a a，设(0,)Qa z，则22()22aaPQz，当2az 时，PQ取到最小值为22a，此时Q为CD的中点。（2）当点Q为棱CD的中点时，点Q的坐标为(0,)2aa，设:AP ABk，则(1)Pxak，(1)Pyak，Pzak，所以P点的坐标为(1),(1),)ak ak ak，所以22213()22aPQak，当12k，即P为AB的中点时，PQ取到最小值22a。