立体几何练习题(精)说课材料.pdf

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1、 立体几何练习题(精)精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 立体几何练习题 1.设、为两两不重合的平面，l、m、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若，则；若 m，n，m，n，则；若，l，则 l；若=l，=m，=n，l，则 mn 其中真命题的个数是()A1 B2 C3 D4 2.正方体 ABCDA1B1C1D1中，BD1与平面 ABCD 所成角的余弦值为（）A B C D 3.三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1=2 且 AA1平面 ABC，ABC 是 边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）A 8 B C D 8 4.三个平面两两垂直，它们的三

2、条交线交于点 O，空间一点 P 到三个平面的距离分别为 3、4、5，则 OP长为（）A 5 B 2 C 3 D 5 5.如图，四棱锥 SABCD 的底面为正方形，SD底面 ABCD，则下列结论中不正确的是（）A ACSB B AB平面 SCD C SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 6.如图，四棱锥 PABCD 的底面为正方形，PD底面 ABCD，PD=AD=1，设点 CG 到平面 PAB 的距离为 d1，点 B 到平面 PAC 的距离为 d2，则有（）A 1d1d2 B d1d21 C d11d2 D

3、 d2d11 7.在锐角的二面角 EF，AEF，AG，45GAE，若AG与所成角为30，则二面角 EF为_.8.给出下列四个命题：(1)若平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则/；E F A G 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 (2)两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线；(3)两条异面直线中的一条平行于平面，则另一条必定不平行于平面；(4)b,a为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个 其中正确命题的序号是_ 9.已知正方体 1111ABCDA B C D中，点 E 是棱 11A B的中点，则直线 AE 与平而 11BDD B所成角的正弦值是_.10.已知直

4、三棱柱111ABCA B C中，090ABC，12 2ACAA，2AB，M为1BB的中点，则1B与平面ACM的距离为_ 11.边长分别为a、b的矩形，按图中所示虚线剪裁后，可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接成该正四棱锥的 4 个侧面，则ba的取值范围是 12.已知矩形ABCD的长4AB，宽3AD，将其沿对角线BD折起，得到四面体ABCD，如图所示，给出下列结论：四面体ABCD体积的最大值为725；四面体ABCD外接球的表面积恒为定值；若EF、分别为棱ACBD、的中点，则恒有EFAC且EFBD；当二面角ABDC为直二面角时，直线ABCD、所成角的余弦值为1625；当二面角ABD

5、C的大小为60时，棱AC的长为145 其中正确的结论有 (请写出所有正确结论的序号)13.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=BB1，直线 B1C 与平面ABC 成 30角（I）求证：平面 B1AC平面 ABB1A1；（II）求直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值 4343ABCD4334DCBA精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 14.如图，在三棱锥 PABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点已知 PAAC，PA=AB=6，BC=8，DF=5（1）若 PBBC，证明平面 BDE平面 ABC（2）求直线 BD 与平面 ABC 所成

6、角的正切值 15.如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点 P 为 DD1的中点（1）求证：直线 BD1平面 PAC；（2）求证：平面 PAC平面 BDD1B1；（3）求 CP 与平面 BDD1B1所成的角大小 16.如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，PD底面 ABCD，点 E 在棱PB 上（1）求证：AC平面 PDB（2）当 PD=AB 且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小 17.在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，ADC=45，AD=AC=1，O 为 AC 中点，PO平面 ABCD，PO=2，M为

7、PD 中点（）求证：PB平面 ACM；（）求证：AD平面 PAC；精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 （）求二面角 MACD 的正切值 18.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，点 E 在线段 PC 上，PC平面BDE（1）证明：BD平面 PAC；（2）若 PA=1，AD=2，求二面角 BPCA 的正切值 19.如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，CACB，AA1=AC=CB=2，D 是 AB 的中点（1）求证：BC1平面 A1CD；（2）求证：A1CAB1；（3）若点 E 在线段 BB1上，且二面角 ECDB 的正切值是，求此时三棱锥

8、 CA1DE 的体积 20.如图，四棱锥 SABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P 为侧棱 SD 上的点（1）求证：ACSD；（2）若 SD平面 PAC，求二面角 PACD 的大小；精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 （3）在（2）的条件下，侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE平面 PAC若存在，求 SE：EC 的值；若不存在，试说明理由 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 试卷答案 1.B：解：若，则 与 可能平行也可能相交，故错误；由于 m，n 不一定相交，故 不一定成立，故错误；由面面平行的性质定理，易得正确；由线面平行的性质定理，我们易

9、得正确；故选 B 2.D 考点：棱柱的结构特征 专题：空间角 分析：找出 BD1与平面 ABCD 所成的角，计算余弦值 解答：解：连接 BD，；DD1平面 ABCD，BD 是 BD1在平面 ABCD 的射影，DBD1是 BD1与平面 ABCD 所成的角；设 AB=1，则 BD=，BD1=，cosDBD1=；故选：D 点评：本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角，是基础题 3.C 考点：球的体积和表面积 专题：计算题；空间位置关系与距离 分析：根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的体积 解答：解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球

10、的球心，因为ABC 是边长为的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为：1；因为 AA1=2 且 AA1平面 ABC，所以外接球的半径为：r=精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 所以外接球的体积为：V=r3=（）3=故选：C 点评：本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题 4.D 考点：平面与平面垂直的性质 专题：计算题；空间位置关系与距离 分析：构造棱长分别为 a，b，c 的长方体，P 到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，OP 为长方体的对角线，求出 OP 即可 解答：构造棱长分

11、别为 a，b，c 的长方体，P 到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，则 a2+b2+c2=32+42+52=50 因为 OP 为长方体的对角线 所以 OP=5 故选：D 点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查计算能力，是基础题 5.D 考点：直线与平面垂直的性质 专题：综合题；探究型 分析：根据 SD底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，以及三垂线定理，易证 ACSB，根据线面平行的判定定理易证 AB平面 SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出ASO 是 SA 与平面 SBD 所成的角，CSO 是 SC 与平面 SBD 所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面

12、直线所成的角，利用线线平行即可求得结果 解答：解：SD底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，连接 BD，则 BDAC，根据三垂线定理，可得 ACSB，故 A 正确；ABCD，AB平面 SCD，CD平面 SCD，AB平面 SCD，故 B 正确；SD底面 ABCD，ASO 是 SA 与平面 SBD 所成的角，DSO 是 SC 与平面 SBD 所成的，精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 而SAOCSO，ASO=CSO，即 SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角，故 C 正确；ABCD，AB 与 SC 所成的角是SCD，DC 与 SA 所成的角是SAB，而这

13、两个角显然不相等，故 D 不正确；故选 D 点评：此题是个中档题考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强 6.D 考点：点、线、面间的距离计算 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角 分析：过 C 做平面 PAB 的垂线，垂足为 E，连接 BE，则三角形 CEB 为直角三角形，根据斜边大于直角边，再根据面 PAC 和面 PAB 与底面所成的二面角，能够推导出 d2d11 解答：解：过 C 做平面 PAB 的垂线，垂足为 E，连接 BE，则三角形 CEB 为直角三角形，其中CEB=90，根据斜边大于直角边，得 CECB，即 d21 同

14、理，d11 再根据面 PAC 和面 PAB 与底面所成的二面角可知，前者大于后者，所以 d2d1 所以 d2d11 故选 D 点评：本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用 7.4 8.(2)(4)9.1010 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 10.1 11.1(,)2 12.13.考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角 专题：证明题 分析：（I）欲证平面 B1AC平面 ABB1A1，关键是寻找线面垂直，而 AC平面 ABB1A1，又 AC平面B1AC，满足面面垂直的判定定理；（II）过 A1做 A1MB1A1，垂足为 M，连接 CM，A

15、1CM 为直线 A1C 与平面 B1AC 所成的角，然后在三角形A1CM 中求出此角的正弦值即可 解答：解：（I）证明：由直三棱柱性质，B1B平面 ABC，B1BAC，又 BAAC，B1BBA=B，AC平面 ABB1A1，又 AC平面 B1AC，平面 B1AC平面 ABB1A1（II）解：过 A1做 A1MB1A1，垂足为 M，连接 CM，平面 B1AC平面 ABB1A，且平面 B1AC平面 ABB1A1=B1A，A1M平面 B1AC A1CM 为直线 A1C 与平面 B1AC 所成的角，直线 B1C 与平面 ABC 成 30角，B1CB=30 设 AB=BB1=a，可得 B1C=2a，BC=

16、，精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值为 点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力 14.考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角 分析：（1）由已知得 DEAC，DE2+EF2=DF2，从而 DE平面 ABC，由此能证明平面 BDE平面 ABC（2）由 DE平面 ABC，得DBE 是直线 BD 与平面 ABC 所成的角，由此能求出直线 BD 与平面 ABC 所成角的正切值 解答：（1）证明：在三棱锥 PABC 中，D，E，F 分别

17、为棱 PC，AC，AB 的中点 PAAC，PA=AB=6，BC=8，DF=5，DEAC，DE=3，EF=4，DF=5，DE2+EF2=DF2，DEEF，又 EFAC=F，DE平面 ABC，又 DE 平面 BDE，平面 BDE平面 ABC（2）DE平面 ABC，PA平面 ABC，PAAB，PBBC，ABBC，AC=10，由 DE平面 ABC，得DBE 是直线 BD 与平面 ABC 所成的角，tanDBE=直线 BD 与平面 ABC 所成角的正切值为 点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 15.考点：直线与平面平

18、行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 专题：证明题 分析：（1）设 AC 和 BD 交于点 O，由三角形的中位线的性质可得 POBD1，从而证明直线 BD1平面PAC（2）证明 ACBD，DD1AC，可证 AC面 BDD1B1，进而证得平面 PAC平面 BDD1B1 （3）CP 在平面 BDD1B1内的射影为 OP，故CPO 是 CP 与平面 BDD1B1所成的角，在 RtCPO 中，利用边角关系求得CPO 的大小 解答：（1）证明：设 AC 和 BD 交于点 O，连 PO，由 P，O 分别是 DD1，BD 的中点，故 POBD1，

19、PO平面 PAC，BD1平面 PAC，所以，直线 BD1平面 PAC（2）长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，底面 ABCD 是正方形，则 ACBD，又 DD1面 ABCD，则DD1AC BD平面 BDD1B1，D1D平面 BDD1B1，BDD1D=D，AC面 BDD1B1AC平面 PAC，平面 PAC平面BDD1B1 （3）由（2）已证：AC面 BDD1B1，CP 在平面 BDD1B1内的射影为 OP，CPO 是 CP 与平面 BDD1B1所成的角 依题意得，在 RtCPO 中，CPO=30 CP 与平面 BDD1B1所成的角为 30 点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方

20、法，求直线和平面所称的角的大小，找出直线和平面所成的角是解题的难点，属于中档题 16.考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角 分析：（1）根据题意证明 ACBD，PDAC，可得 AC平面 PDB；（2）设 ACBD=O，连接 OE，根据线面所成角的定义可知AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角，在 RtAOE中求出此角即可 解答：（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，ACBD，PD底面 ABCD，PDAC，又 BDPD=DAC平面 PDB，（3 分）（2）设 ACBD=O，连接 OE，由（1）知 AC平面 PDB 于 O，精品文档 收集于网

21、络，如有侵权请联系管理员删除 AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角，（5 分）又 O，E 分别为 DB、PB 的中点，OEPD，OE=PD，在 RtAOE 中，OE=PD=AB=AO，AEO=45，（7 分）即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45（8 分）点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题 17.考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 专题：计算题 分析：（）连接 OM，BD，由 M，O 分别为 PD 和 AC 中点，知 OMPB，由此能够证明 PB平面 A

22、CM（）由 PO平面 ABCD，知 POAD，由ADC=45，AD=AC=1，知 ACAD，由此能够证明 AD平面PAC（）取 DO 中点 N，连接 MN，由 MNPO，知 MN平面 ABCD过点 N 作 NEAC 于 E，由 E 为 AO 中点，连接 ME，由三垂线定理知MEN 即为所求，由此能求出二面角 MACD 的正切值 解答：（）证明：连接 OM，BD，M，O 分别为 PD 和 AC 中点，OMPB，OM平面 ACM，PBACM 平面，PB平面 ACM（4 分）（）证明：由已知得 PO平面 ABCD POAD，ADC=45，AD=AC=1，精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

23、 ACAD，ACPO=O，AC，PO平面 PAC，AD平面 PAC.（8 分）（）解：取 DO 中点 N，连接 MN，则 MNPO，MN平面 ABCD 过点 N 作 NEAC 于 E，则 E 为 AO 中点，连接 ME，由三垂线定理可知MEN 即为二面角 MACD 的平面角，MN=1，NE=tanMEN=2.（13 分）点评：本题考查直线与平面平行、直线现平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意三垂直线定理的合理运用 18.考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何 分析：（1）由题设条件及图知，可先由线面垂直

24、的性质证出 PABD 与 PCBD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；（2）由图可令 AC 与 BD 的交点为 O，连接 OE，证明出BEO 为二面角 BPCA 的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值 解答：（1）PA平面 ABCD PABD PC平面 BDE PCBD，又 PAPC=P BD平面 PAC（2）设 AC 与 BD 交点为 O，连 OE PC平面 BDE PC平面 BOE PCBE BEO 为二面角 BPCA 的平面角 BD平面 PAC 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 BDAC 四边形 ABCD 为正方形，又 PA=1，AD=2，可得

25、 BD=AC=2，PC=3 OC=在PACOEC 中，又 BDOE，二面角 BPCA 的平面角的正切值为 3 点评：本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题型，二面角的平面角的求法过程，作，证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握 19.考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角 分析：（1）连接 AC1交 A1C 于点 F，由三角形中位线定理得 BC1DF，由此能证明 BC1平面 A1CD（2）利用线面垂直的判定定理证明 A1C平面 AB1C1，即可证明 A1CAB1

26、；（3）证明BDE 为二面角 ECDB 的平面角，点 E 为 BB1的中点，确定 DEA1D，再求三棱锥 CA1DE的体积 解答：（1）证明：连结 AC1，交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1中点，又 D 是 AB 中点，连结 DF，则 BC1DF，因为 DF平面 A1CD，BC1平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD（3 分）（2）证明：直三棱柱 ABCA1B1C1中，因为 AA1=AC，所以 AC1A1C（4 分）因为 CACB，B1C1BC，精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 所以 B1C1平面 ACC1A1，所以 B1C1A1C（6 分）因为 B1C1AC1=C1，

27、所以 A1C平面 AB1C1 所以 A1CAB1（8 分）（3）在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1CD，因为 AC=CB，D 为 AB 的中点，所以 CDAB，CD平面 ABB1A1 所以 CDDE，CDDB，所以BDE 为二面角 ECDB 的平面角 在 RtDEB 中，由 AA1=AC=CB=2，CACB，所以，所以，得 BE=1所以点 E 为 BB1的中点（11 分）又因为，A1E=3，故，故有 DEA1D 所以（14 分）点评：本题主要考查直线与平面平行、垂直等位置关系，考查线面平行、二面角的概念、求法、三棱锥 CA1DE 的体积等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题 2

28、0.考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题 专题：计算题；证明题；压轴题 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 分析：（1）连 BD，设 AC 交于 BD 于 O，由题意知 SO平面 ABCD以 O 为坐标原点，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系 Oxyz，设底面边长为 a，求出高 SO，从而得到点 S 与点 C和 D 的坐标，求出向量与，计算它们的数量积，从而证明出 OCSD，则 ACSD；（2）根据题意先求出平面 PAC 的一个法向量和平面 DAC 的一个法向量，设所求二面角为，则，从而求出二面角的大小；（3）在棱 SC 上存在

29、一点 E 使 BE平面 PAC，根据（）知是平面 PAC 的一个法向量，设，求出，根据可求出 t 的值，从而即当 SE：EC=2：1 时，而 BE 不在平面 PAC 内，故 BE平面 PAC 解答：证明：（1）连 BD，设 AC 交于 BD 于 O，由题意知 SO平面 ABCD 以 O 为坐标原点，分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系 Oxyz 如图 设底面边长为 a，则高 于是，故 OCSD 从而 ACSD（2）由题设知，平面 PAC 的一个法向量，平面 DAC 的一个法向量 设所求二面角为，则，所求二面角的大小为 30（3）在棱 SC 上存在一点 E 使 BE平面 PAC 由（）知是平面 PAC 的一个法向量，且 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 设，则 而 即当 SE：EC=2：1 时，而 BE 不在平面 PAC 内，故 BE平面 PAC 点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定和二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强