计算方法简明教程数值积分与数值微分习题解析.pdf

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1、-第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：10121012112120(1)()()(0)();(2)()()(0)();(3)()(1)2()3()/3;(4)()(0)()/2(0)();hhhhhf x dxA fhA fA f hf x dxA fhA fA f hf x dxff xf xf x dxh ff hahffh 解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过 m 的多项式均能准确地成立，但对于 m+1 次多项式就不准确成立，进行验证性求解。（1）若101(1)

2、()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h 令()1f x，则 1012hAAA 令()f xx，则 110A hAh 令2()f xx，则 3221123hh Ah A 从而解得 011431313AhAhAh 令3()f xx，则 3()0hhhhf x dxx dx 101()(0)()0A fhA fA f h 故101()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h成立。令4()f xx，则-4551012()52()(0)()3hhhhf x dxx dxhA fhA fA f hh 故此时，101()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h

3、 故101()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h 具有 3 次代数精度。（2）若21012()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h 令()1f x，则 1014hAAA 令()f xx，则 110A hAh 令2()f xx，则 32211163hh Ah A 从而解得 011438383AhAhAh 令3()f xx，则 22322()0hhhhf x dxx dx 101()(0)()0A fhA fA f h 故21012()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h成立。令4()f xx，则-22452264()5hhhhf x dxx

4、 dxh 510116()(0)()3A fhA fA f hh 故此时，21012()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h 因此，21012()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h 具有 3 次代数精度。（3）若1121()(1)2()3()/3f x dxff xf x 令()1f x，则 1121()2(1)2()3()/3f x dxff xf x 令()f xx，则 120123xx 令2()f xx，则 221221 23xx 从而解得 120.28990.5266xx 或120.68990.1266xx 令3()f xx，则 11311()0f

5、 x dxx dx 12(1)2()3()/30ff xf x 故1121()(1)2()3()/3f x dxff xf x不成立。因此，原求积公式具有 2 次代数精度。（4）若20()(0)()/2(0)()hf x dxh ff hahff h 令()1f x，则 0(),hf x dxh-2(0)()/2(0)()h ff hahff hh 令()f xx，则 200221()21(0)()/2(0)()2hhf x dxxdxhh ff hahffhh 令2()f xx，则 23002321()31(0)()/2(0)()22hhf x dxx dxhh ff hahffhhah 故

6、有 33211232112hhaha 令3()f xx，则 340024441()41111(0)()/2(0)()12244hhf x dxx dxhh ff hhffhhhh 令4()f xx，则 450025551()51111(0)()/2(0)()12236hhf x dxx dxhh ff hhffhhhh 故此时，201()(0)()/2(0)(),12hf x dxh ff hhffh 因此，201()(0)()/2(0)()12hf x dxh ff hhffh 具有 3 次代数精度。2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：-120121091260(1),8;4(1)(

7、2),10;(3),4;(4)4sin,6;xxdx nxedx nxxdx ndn 解：21(1)8,0,1,()84xnabhf xx 复化梯形公式为 781()2()()0.111402kkhTf af xf b 复化辛普森公式为 7781012()4()2()()0.111576kkkkhSf af xf xf b 121(1)(2)10,0,1,()10 xenabhf xx 复化梯形公式为 9101()2()()1.391482kkhTf af xf b 复化辛普森公式为 99101012()4()2()()1.454716kkkkhSf af xf xf b(3)4,1,9,2,

8、(),nabhf xx 复化梯形公式为 341()2()()17.227742kkhTf af xf b 复化辛普森公式为 33410122()4()2()()17.322226(4)6,0,()4sin636kkkkhSf af xf xf bnabhf x 复化梯形公式为-561()2()()1.035622kkhTf af xf b 复化辛普森公式为 5561012()4()2()()1.035776kkkkhSf af xf xf b 3。直接验证柯特斯教材公式（2。4）具有 5 交代数精度。证明：柯特斯公式为 01234()7()32()12()32()7()90babaf x dx

9、f xf xf xf xf x 令()1f x，则 01234()907()32()12()32()7()90babaf x dxbaf xf xf xf xf xba 令()f xx，则 2222012341()()217()32()12()32()7()()902bbaaf x dxxdxbabaf xf xf xf xf xba 令2()f xx，则 23333012341()()317()32()12()32()7()()903bbaaf x dxx dxbabaf xf xf xf xf xba 令3()f xx，则 34444012341()()417()32()12()32()7

10、()()904bbaaf x dxx dxbabaf xf xf xf xf xba 令4()f xx，则-45555012341()()517()32()12()32()7()()905bbaaf x dxx dxbabaf xf xf xf xf xba 令5()f xx，则 56666012341()()617()32()12()32()7()()906bbaaf x dxx dxbabaf xf xf xf xf xba 令6()f xx，则 012340()7()32()12()32()7()90hbaf x dxf xf xf xf xf x 因此，该柯特斯公式具有 5 次代数精度

11、。4。用辛普森公式求积分10 xe dx并估计误差。解：辛普森公式为 ()4()()62baabSf aff b 此时，0,1,(),xabf xe 从而有 1121(14)0.632336See 误差为 4(4)04()()()1802110.00035,(0,1)1802ba baR ffe 5。推导下列三种矩形求积公式：223()()()()();2()()()()();2()()()()();224bababaff x dxba f abaff x dxba f bbaabff x dxba fba-证明：(1)()()()(),(,)f xf afxaa b 两边同时在,a b上积分

12、，得()()()()()bbaaf x dxba f afxa dx 即 2()()()()()2(2)()()()(),(,)baff x dxba f abaf xf bfbxa b 两边同时在,a b上积分，得()()()()()bbaaf x dxba f afbx dx 即 22()()()()()2()(3)()()()()(),(,)22222baff x dxba f bbaabababfabf xffxxa b 两连边同时在,a b上积分，得 2()()()()()()()22222bbbaaaabababfabf x dxba ffxdxxdx 即 3()()()()();

13、224baabff x dxba fba 6。若用复化梯形公式计算积分10 xIe dx，问区间0,1应人多少等分才能使截断误差不超过51102？若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间0,1应分多少等分？解：采用复化梯形公式时，余项为 2()(),(,)12nbaRfh fa b 又10 xIe dx 故(),(),0,1.xxf xefxe ab 221()()1212neRfhfh-若51()102nRf，则 25610he 当对区间0,1进行等分时，1,hn 故有 510212.856en 因此，将区间 213 等分时可以满足误差要求 采用复化辛普森公式时，余项为 4(4)()()()

14、,(,)1802nba hRffa b 又(),xf xe(4)4(4)4(),1()|()|28802880 xnfxeeRfhfh 若51()102nRf，则 45144010he 当对区间0,1进行等分时 1nh 故有 1541440(10)3.71ne 因此，将区间 8 等分时可以满足误差要求。7。如果()0fx，证明用梯形公式计算积分()baIf x dx所得结果比准确值I大，并说明其几何意义。解：采用梯形公式计算积分时，余项为 3()(),12TfRbaa b 又()0fx且ba 0TR-又1TRT IT 即计算值比准确值大。其几何意义为，()0fx为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形

15、面积。8。用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过510.10203202(1)(2)sin(3)1.xe dxxxdxxx dx 解：102(1)xIe dx k()0kT()1kT()2kT()3kT 0 0.7717433 1 0.7280699 0.7135121 2 0.7169828 0.7132870 0.7132720 3 0.7142002 0.7132726 0.7132717 0.7132717 因此0.713727I 20(2)sinIxxdx k()0kT()1kT 0 3.451313610 1 8.628283710-4.4469232110 因此0I 320(

16、3)1Ixx dx k()0kT()1kT()2kT()3kT()4kT()5kT 0 14.2302495 1 11.1713699 10.1517434 2 10.4437969 10.2012725 10.2045744 3 10.2663672 10.2072240 10.2076207 10.2076691 4 10.2222702 10.2075712 10.2075943 10.2075939 10.2075936 5 10.2112607 10.2075909 10.2075922 10.2075922 10.2075922 10.2075922-因此10.2075922I 9

17、。用2,3n 的高斯-勒让德公式计算积分 31sin.xexdx 解：31sin.xIexdx 1,3,x令2tx，则 1,1t 用2n 的高斯勒让德公式计算积分 0.5555556(0.7745967)(0.7745967)0.8888889(0)10.9484Ifff 用3n 的高斯勒让德公式计算积分 0.3478548 (0.8611363)(0.8611363)0.6521452 (0.3399810)(0.3399810)10.95014Iffff 10 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是 22201()sin,cSada 这是a是椭圆的半径轴，c 是地球中心与轨道中心（椭

18、圆中心）的距离，记 h 为近地点距离，H 为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则(2)/2,()/2.aRHhcHh 我国第一颗地球卫星近地点距离 h=439(km)，远地点距离 H=2384(km）。试求卫星轨道的周长。解：6371,439,2384RhH 从而有。2220(2)/27782.5()/2972.541()sinaRHhcHhcSada k()0kT()1kT()2kT 0 1.564640 1 1.564646 1.564648 2 1.564646 1.564646 1.564646 -1.56464648708()ISkm 即人造卫星轨道的周长为 48708km

19、 11。证明等式 3524sin3!5!nnnn 试依据sin()(3,6,12)nnn的值，用外推算法求的近似值。解 若()sin,f nnn 又3511sin3!5!xxxx 此函数的泰勒展式为 353524()sin11()()3!5!3!5!f nnnnnnnnn()knT 当3n 时,sin2.598076nn 当6n 时,sin3nn 当12n 时,sin3.105829nn 由外推法可得 n()0nT()1nT()2nT 3 2.598076 6 3.000000 3.133975 9 3.105829 3.141105 3.141580 故3.14158 12。用下列方法计算积

20、分31dyy，并比较结果。(1)龙贝格方法；(2)三点及五点高斯公式；-(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。解 31dyIy(1)采用龙贝格方法可得 k()0kT()1kT()2kT()3kT()4kT 0 1.333333 1 1.166667 1.099259 2 1.116667 1.100000 1.099259 3 1.103211 1.098726 1.098641 1.098613 4 1.099768 1.098620 1.098613 1.098613 1.098613 故有1.098613I (2)采用高斯公式时 31dyIy 此时1,3,y 令,xyz则 1,

21、1,x 111,21(),2Idxxf xx 利用三点高斯公式，则 0.5555556(0.7745967)(0.7745967)0.8888889(0)1.098039Ifff 利用五点高斯公式，则 0.2369239 (0.9061798)(0.9061798)0.4786287 (0.5384693)(0.5384693)0.5688889(0)1.098609Ifffff(3)采用复化两点高斯公式 将区间1,3四等分，得 12341.522.5311.522.5IIIIIdydydydyyyyy-作变换54xy，则 11111,51(),5(0.5773503)(0.5773503)0

22、.4054054Idxxf xxIff 作变换74xy，则 12121,71(),7(0.5773503)(0.5773503)0.2876712Idxxf xxIff 作变换94xy，则 13131,91(),9(0.5773503)(0.5773503)0.2231405Idxxf xxIff 作变换114xy，则 14141,111(),11(0.5773503)(0.5773503)0.1823204Idxxf xxIff 因此，有 1.098538I 13.用三点公式和积分公式求21()(1)f xx在1.0,1.1x，和 1.2 处的导数值，并估计误差。()f x的值由下表给出：x

23、 1.0 1.1 1.2 F(x)0.2500 0.2268 0.2066 解：21()(1)f xx-由带余项的三点求导公式可知 200122102220121()3()4()()()231()()()()261()()4()3()()23hfxf xf xf xfhhfxf xf xfhhfxf xf xf xfh 又012()0.2500,()0.2268,()0.2066,f xf xf x 001210220121()3()4()()0.24721()()()0.21721()()4()3()0.1872fxf xf xf xhfxf xf xhfxf xf xf xh 又21()(

24、1)f xx 524()(1)fxx 又1.0,1.2x()0.75f 故误差分别为 230231232()()2.5 103()()1.25 106()()2.5 103hR xfhR xfhR xf 利用数值积分求导，设()()xfx 11()()()kkxkkxf xf xx dx 由梯形求积公式得 11()()()2kkxkkxhx dxxx-从而有 11()()()()2kkkkhf xf xxx 故 011012212()()()()2()()()()xxf xf xhxxf xf xh 又1111()()()kkxkkxf xf xx dx 且1111()()()kkxkkxx dxhxx 从而有 1111()()()()kkkkf xf xhxx 故02201()()()()xxf xf xh 即 011202()()0.464()()0.404()()0.434xxxxxx 解方程组可得 012()0.247()0.217()0.187xxx