第四章线性方程组.pdf

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1、第四章 线性方程组 2008 年考试内容 线性方程组的克莱姆（Cramer）法则 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 解空间 非齐次线性方程组的通解 2008 年考试要求 1.会用克莱姆法则。2.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。3.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。一、三基与拓展 1 n元齐次方程组 0Ax

2、 (n为未知数的个数)的解系统 1）一定有解。2）解的结构 r An 有唯一零解；r An 有 nr A个线性无关的解向量，称为基础解系（它不是唯一的，一般取最简单的整数形式），它构成解的线性空间S（称为解空间），解得空间维度为 R Snr A，它是一个极大无关组，0Ax 的任何一个解都可以由他们线性表出，即 11220 inRAnRAA xxkkkk为不全为零的任意常数 3）解的性质 若12,是0Ax 的解，则1212,kk也是0Ax 的解。陈氏第 26 技 RREF法全面解决0Ax 和Axb的解。4）求解0Ax 的方法定势-RREF法 将A化为简化行阶梯形（RREF），如有r个非零行，则基

3、础解系中有nr个解 向量；选非主元所在的列的对应的变量为自由未知量，共有nr自由未知量；将自由未知量表示为主元的线性叠加的，表示式中的系数为对应非主元列向量的负值，缺少的主元分别取nr个线性无关的单位向量10000100,01 之一，依次补满到n维向量，并把每一未知量的解向量全部元素化为互质整数，这样求得的nr线性无关的解就是基础解系。基础解系中nr个向量的线性组合就是所求的通解。【例 1】求下列齐次方程组的一个基础解系 123451234512345123454302355032035670 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解：111431114311143102121355011

4、3101131011311321022620000000003156702262000000000RREFA主元为12,xx对应的列，选非主元345,xxx为自由未知量，它们所在的行对应乘以主元12,xx的系数（恒等于 1）的负值，即为三个解向量122,的12,xx坐标的值，由于原方程有 5 个未知数，故需要用单位向量3E的三列分别补上345,xxx的位置，则基础解系为：112345212345312345211001301021001TTTTTTxxxxxxxxxxxxxxx 评 注 如果A化成一般阶梯形时，求解很方便，就没必要继续化为简化行阶梯形，而利用等价方程组直接求出基础解系。上述方法

5、还是求矩阵特征向量（对应某一特征值）的基本步骤，望读者务必掌握，【例 2】再次让你掌握其精髓。【例 2】求下列齐次方程组的通解：1234123412342453036420481 71 10 xxxxxxxxxxxx 解：R R E F21201211724535536420010017748171100000000A 只能行变换只能行变换 在上述的 RREF 中，有两个主元13xx 和，主元的个数就是秩 2R A，解向量有 422nR A个基础解，又由于有4 个未知数，故使用2E的两列1001 和分别补上24xx 和 的位置，最后所求的基础解系如下：11221233441 122121222

6、27100,05570712210 ,0507xxxxxxxxkkkkkk 化为互质的整数通解为不全为零 5）n元齐次方程组0Ax 与矩阵秩的联系 将矩阵看成是列向量构成的这个观点十分重要，正是因为这个视角，结合分块矩阵的运算方法，就可以把矩阵的乘积0AB 和齐次方程组联系起来，从而可以利用方程组的解系统理论来解决有关矩阵秩的题型。【例 3】设,A B都是n阶方阵，齐次方程组0AX，0BX 有相同的基础解系123,，则123,必是（）的基础解系。0 0 0 AAB XBABXACXDB以上都不对 解：齐次方程组的解具有三个要素：一是方程组的解；二是线性无关；三是所有的解都能由 nR A个解向量

7、线性表出（注意：n是方程组未知数的个数）。依题意，3R AR Bn，显然123,是 A B C的解，而且是线性无关的，故 D不对。下面关键是判断 A B C中，哪个方程组的系数矩阵的秩是3n或哪个方程组得任意一个解能由123,线性表出。A 由于 R ABR A，故不对；B 由于 R ABR A，故也不对；C 使用排除法，当然对。我们将分析如下：由于00,0AXAXBXB，同时成立。设是 0AXB的任意一个解，则有0,0AB同时成立，就能由0,0AXBX的基础解系123,线性表出，故 C正确。【例 4】设B是三阶非零矩阵，B的每一列向量都是下列方程组得解 1231231232202030 xxx

8、xxtxxxx 求t 和 R B。解：12221311At B是三阶非零矩阵，则方程组有非零解 122120212115101311310Atttt 依题意，0AB，则 3R AR B 1221201211210231131032101tAR AR BR BR B 2 n元非齐次方程组Axb的解系统 1）无解充要条件 rArA b 2）有解充要条件 r Ar A b r Ar A bn 有唯一解0DA，其解由克莱姆法则得出 iiDxD（1,2,in）求得。r Ar A bn 有无穷多个解 3）Axb与0Ax 解的关系 0Ax 称为Axb的导出组。0Ax 的解无条件存在，但由此不能推出Axb是否

9、有解；反过来，如果Axb有唯一解，则0Ax 只有零解，如果Axb有无穷多个解，则0Ax 有非零解。Axb的一般解为Axb的一个特解和其导出租一般解的和，设 0 Axb是一个特解，12,0n rAx 是的基础解系，则Axb有无穷解时，可表示为 01 122n R An R AXkkk 评 注 所谓特解是指不含待定系数的解，通解就是含待定系数的解，当待定系数被 确定时，通解就变成了特解。4）无解和有解的本质-同维解空间 关系 r Ar A b究竟有什么内涵：首先如果 1r Ar，就意味0AX 有1r个独立方程和1r个独立的自由变量，其余的1nr个变量可以由这r个向量组成的极大无关组表示出来，也就是

10、说0AX 的解空间为1nr维；2r A br表示有2r个独立的合理方程，即2r个方程不仅相互独立，而且相互没有矛盾，也就是AXb的解空间为2nr维，如果 1212r Ar A brrnrnr，意味两个解空间不同维，不同维度的向量是不能相互叠加的，犹如三维和二维坐标空间不能相互运算一样，原方程必无解。同理 r Ar A b必有解。在同维解空间内，即 r Ar A b时，如果AXb独立方程的个数 r A或r A b等于未知数的个数n，则有唯一解，否则，有无穷多个解。5）Axb的求解方法-RREF法 把增广矩阵A b化成简化行阶梯形（RREF），最右边的一列就是Axb的特解。去掉最右边的一列，剩下的

11、矩阵就是系数矩阵A的简化行阶梯形，据此可求出基础解系。例如，假如 102101110000A b，则 101 122110,21 111021 1TTTTn R An R Axkkkxk 6）Axb解的三大性质 12,是Axb的两个解 122也是Axb的一个解，而12是导出组0Ax 的一个解；但12不是导出组0Ax 的解；是Axb的一个解，是导出组0Ax 的一个解 是Axb的一个解。123,是Axb的三个线性无关的解，则导出组0Ax 至少有两个线性无关的解 112213,2nR A，依次类推。【例 5】设方程组 1231231232123020 2140 xxxxxaxxxxaxxa x 与方

12、程 有公共解，求a的值和所有公共解。解：联立两个方程得非齐次方程组得 123123212312323 2020402111101110120011014000210121100111211100100 100000000 xxxxxaxxxa xxxxaaaAbaaaaaaR AR AbaaAb 基础解系为-=依题意此方程必须有解 或 13,110011111010000011001012100000011-100110000R AR AbxkaaAbxaa 个解向量有唯一解(特解)【例 6】设矩阵4 5A的行向量线性无关，则下列错误的是（）0 0,TTTAA XBA AXCbA XbDbAX

13、b只有零解必有无穷多解有唯一解总有无穷多解 解：选 C。A T 44R AR A行满秩列满秩，则0TA X 只有零解正确。B TA A是 5 阶方阵，40TTR A AR AA A，故0TA AX 必有无穷多解正确。C 5 4,4TTTAAR AR A，则TA Xb中b必为 5 维列向量，且完全可以取这样的b，使 5TTR AbR A，从而使TA Xb无解。故,TbA Xb 有唯一解不正确。D AXb中b必为 4 维列向量，A有 4 个线性无关的列向量，任意b和 4 个线性无关的列向量就构成 5 个 4 维列向量，故必线性相关，也就是b可由A的 4 个线性无关的列向量线性表出，而导出组0AX

14、是个 5 元齐次方程组，4R A 0AX 有非零解，45R AbR An，故,bAXb 总有无穷多解正确。陈氏第 25 技 312413理论。3、三元线性方程组的几何意义与向量组秩的联系及其形象化（重点）设三元线性方程组为 1 111 221 332 112 222 3323 113 223 333axaxaxdaxaxaxdaxaxaxd 设增广矩阵的列向量依次为 12341234,Ab 系数矩阵的行向量依次为 112323,A 增广矩阵的行向量依次为 112323,A 便于对照，我们把矩阵作如下向量表示 1111213111121312212223221222323313233331323

15、331231234 aaaaaadaaaaaadaaaaaad 方程组中每一个方程代表一个平面，依次极记为123,，每个平面能否存在，等价于每个方程能否成立，也等价于1,2,3id i 能否由123,xxx线性表出，只要有一个1,2,3id i 不能由123,xxx线性表出，其中有个平面就不存在，即存在一个矛盾方程，方程组就无解，对应 R AR Ad；由空间解析几何知，123,分别是平面123,的法向向量，决定平面的取向，如123123,3,R 线性无关，则说明三个平面（法线）既不能平行又不能重合，如123123,3,R线性相关，则说明三个平面（法线）既可能同时平行又可能全部重合，或既可能部分

16、平行又可能部分重合；123,3R表示三个方程独立，123,3R表示三个方程有多余方程存在，比如12,线性相关，则方程一与方程二是同一个方程等等。显然，根据矩阵秩 的 性 质，有 系 数 矩 阵123123,RR，增 广 矩 阵1234123,RR 下面分八种具体情形（简称 312413 理论）详细讨论，希望读者反复体味。情形 1 1231234,3RR，三个平面法线成三维分布。因为当1231234,3RR方程有唯一解。几何意义：三个平面交于一点。情形2 123123,2,2RR，三个平面法线共面。2.1 1234123123,2RRR方程有无穷解，但导出组 基础解系只有一个解向量（321nR

17、A），相当于一条直线只有一个方向。几何意义：三个平面交于一条直线。2.1.1 123,中有两个向量线性相关。几何意义：二个平面重合，第三个平面与它们相交于一条直线。2.1.2 123,任意两个向量线性无关。几何意义：三个平面交于一条直线。2.2 1234123123,3,2RRR方程无解。几何意义：三个平面既无共同交点又无共同交线更无交面（不能重合）。2.2.1 123,中有两个向量线性相关。几何意义：二个平面平行，第三个平面与它们相交两条直线。2.2.2 123,中任意两个向量线性无关。几何意义：三个平面两两相交，中间围成一个三棱柱。情形 3 123123,1,1RR，三个平面法线共线（平行

18、或重合）。3.1 1234123123,1RRR 方程有无穷解，但导出组基础解系有二个解向量（3 12nR A ），相当于需要两条直线才能决定一个平面。几何意义：三个平面重合。3.2 1234123123,2,1RRR 方程无解。3.2.1 123,中有两个向量线性相关。几何意义：二个平面重合，第三个平面与它们平行。3.2.2 123,中任意两个向量线性无关。几何意义：三个平面互不重合但相互平行。【例 7】设1123212331234123111122223333,TTTTa aab bbc ccddda b cabcabc，则三个平面01,2,3iiiia xb yc zdi，两两相交成三条

19、平行直线的充要条件是（）A1231234,2,3RR B123,任意两个都线性无关且4不能由123,线性表出 C123,线性相关且4不能由123,线性表出 D123,任意两个都线性无关，但123,线性相关，且4不能由123,线性表出 解：选 D。根据 312413 理论，在几何上应该是三个平面两两相交，中间围成一个三棱柱。首先就必须要求123123,2.RR 然后要求123,两两线性无关。（A）有两种情况，故不对；（B）123,任意两个都线性无关，就是123,2,R 如果123,2,R 则由4不能由123,线性表出，推知1234,3,R 所以（B）是（A）的另一种等价说法而已，也不对；（C）1

20、23,3,R 只有123,2R 才有可能，又1234,3,R 所以（C）是（A）的又一种等价说法而已，也不对；D正确。类似的题在2002年数学一的选择题中考到过。现在我们一眼就能看得出答案。二、典型题型 【例 8】已知列向量123124115,0132411是方程组112334421223442122344324335a xxa xa xdxb xxb xdxc xxc xd 的三个解，求通解。解：211212，313639 是0Ax 的两个线性无关解 2nr A 22r An 又134242424335aaaAbbcc中至少有4335二阶子式不为 0 故 2r A 故基础解系正好只有两个 【

21、例 9】k为何值时1232123123424xxkxxkxxkxxx 有唯一解、无解和无穷多解。解：410Akk 当 04,1Ak时方程组有唯一解 212232124121iikkxkDkkxxDkkxk 1k 时 111411141111000511240238A 2r A1121231xkk 2,3rArArA无解 4k 时 1144103014116011411240000A 23r Ar An有多个解 基础解系只有一个3310 x，特解即040 034101xc 【例 10】121201,0101AttAxt为二维解空间，求0Ax 通解 解 22101 222010011ttAtttt

22、 2r A ；1t 1210101011011110000001Axkk【例 11】123211101,1,1,111 问入为何值时：（1）可由123,线性表示，且唯一 （2）可由123,线性表示，且不唯一 （3）不能由123,线性表示 解：设112233xxx则 123123212322221011111011111101110031 2xxxxx xxxxxA 可见：（1）解唯一时可满足0且3 （2）0（3）3 【例 12】已知 1234,iA 为四维列向量，其中234,线性无关，12312342,；求AX的通解。解：令 1234xxXxx AX11223344123xxxx 把1232代

23、入上式得：122133442310 xxxxx 121342301xxxxx 00000101001010010100210032100321003210031010010100000000001100011000110001100000A 431nr A，为一维解空间；101321100Xx 【例 13】112224336A，求 秩 2的三阶矩阵B，使0AB。解 1120000000A xA，基础解系为：121,001 由于秩 2，所求矩阵第三列取 0 向量120100010B【例 14】已知线性方程组 123123222123000 xxxaxbxcxa xb xc x问：1,a b c满

24、足何种关系时，方程组仅有零解？2,a b c满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解。解：系数行列式显然为范德蒙型，故 222111Dabcbacacbabc 1当,0ba ca cbD，方程有唯一零解：1230 xxx 2分四种情形讨论：1 当abc时，原方程变为 123300 xxxx，由于方程简单明了，故直接求解（此时使用 RREF 反倒麻烦）：11,1,0k 2 当acb时，原方程变为 123200 xxxx，由于方程简单明了，故直接求解（此时使用 RREF 反倒麻烦）：20,1,1k 3 当bca时，原方程变为 123100 xxxx，由于方程简单明了，故直接求解（

25、此时使用 RREF 反倒麻烦）：30,1,1k 4 当abc时，原方程变为 1230 xxx，使用 RREF 求解：451,1,01,0,1kk。【例 15】已知齐次方程组 123123123212312323001 2350 2 2100 xxxxbxcxxxxxb xcxxxax与同解，求,a b c。解：设 1 2的系数矩阵分别为A，B。由于方程组 2的方程个数大于未知数个数，故有无穷多解，1 2同解，解空间同维度，必有 3R A，因此：1232350211Aaa 123123123101235011011011 *112011000000RREFA 故 1的基础解系为：11,1,1T。

26、21101,1,1 21Tbbcc 代入方程或。当11121011012213011011RREFbBc显然与*式同解。当01011011202000RREFbBc显然与*式不同解。所以，终上所述：2,1,2abc。【例 16】确定常数a，使向量1231,1,1,1,1,1TTTaaa可由向量组1231,1,2,4,2,TTTaaa a 线性表示，123,不能由123,线性表示。解：根据第三章定理 6：向量组A能由向量组B线性表示AB，若B不能由A线性表示，则0A。则 11112101 211aAaaaaa 或 当1a 时，111 1 1122122111 1 1,1111111 1 1414

27、11 1 1 122111122111122|1 1 1 1110000330000331 1 1 14100006300006aAaBaaaaaA B 3111122111122 0000110000110000210000011;|3A122111|0110003;|3001000 1 R AR A BR AAXBBB AR BR B AR BBXAABa无解，不能由 线性表示；有解，能由线性表示；故满足全部条件。当2a 时，1111212212211121,1122112114242112122112122|121122033000211242033006112122 0330000aA

28、aBaaaaaA B 112122000110000060000012;|2 A 2R AR A BR AAXBBa 有解，能由 线性表示，与条件矛盾。故不合题意。综上所述：1a。评 注本题告诉我们：向量组之间的 线性表示、方程组AXB有解无解 及秩三者通过 公共知识点“初等变换”的过度关系，是常年考点定势。请读者反复揣摩，下例 让你再度领会这种方法。【例 17】设向量组 123 1,0,2,1,1,3,1,1,2TTTAa和向量组 123 1,2,3,2,1,6,2,1,4TTTBaaa。试问：当a为何值时，,AB等价？当a为何值时，,AB不等价？解：利用过度技术：“初等变换”。123123

29、111122102111|011211011211232364001111aaaaaaaa 当1a 时 12312312312312312313|=aRRAXBBA 有唯一解，可以由线性表示。123123123123123123123123111102|21101111100103|=aaaaRRBXAAB 有唯一解，可以由线性表示。所以，当1a 时，,AB等价。当1a 时 123123123123123102111102111|0112110112110011110002022,|3aaaaRRAXBBA 无解不能由 线性表示。所以，当1a 时，,AB不等价。【例 18】设A，B是n阶非零矩

30、阵，满足0AB，*0A，若12,k为0BX 的一个基础解系，是任意n维列向量，证明：B可由12,k 线性表示，并说明这个表示是否唯一。解：由0AB 和0B 推知A不可逆（否则0B），即 R Bn，又*0A，根据 *,1,1 110,1nR AnR AR AnR AR AnR An 则有 又 0111ABR AR BnR BnnR B 推得0BX 的解空间为 1R SnR Bn维，设为121,n。故，若与121,n线性相关，则是0BX 的解，即0B，显然B可由12,1kkn 线性表示但表示法不唯一；若与121,n线性无关，则不是0BX 的解，即0B，显然B也可由12,1kkn 线性表示但表示法唯

31、一。第四章 线性方程组模拟题 一.填空题 1.在齐次线性方程组m nAx=0 中，若秩（A）=k，且12r,是它的一个基础解系，则 r=_；当 k=_时，此方程组只有零解。2.齐次线性方程组12312323020,30 xkxxxxxkxx只有零解，则k应满足的条件是_.3.设 A 为 4 阶方阵，且秩（A）=2，则齐次线性方程组A*0(A*x 是 A 的伴随矩阵）的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为_.4.设123s,是非齐次线性方程组 AX=b 的解，若1122ssccc也是 AX=b 的一个解，则12sccc_.5.设 A，B 为三阶方阵，其中 A=11 21 2 101 1，B=4

32、1 32 k021 1，且已知存在三阶方阵 X，使得 AX=B，则 k=_.二.选择题 1.设123,是 AX=0 的基础解系，则该方程组得基础解系还可以表示成（A）123,的一个等价向量组.（B）123,的一个等秩向量组.（C）112123,.，（D）122331.，【】2.n 阶矩阵 A 可逆的充要条件是 （A）任一行向量都是非零向量.（B）任一列向量都是非零向量.（C）AX=b 有解.（D）当T12nx0AX0 xx,x,x)时，其中=(?，.【】3.设矩阵*(),m nmAr Amn E的秩为 为 m 阶单位矩阵，下列结论中正确的是 （A）A 的任意 m 个列向量必线性无关.（B）A

33、的任意一个 m 阶子式不等于零。（C）若矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0.（D）A 通过初等行变换，必可以化为（mE,0）的形式。【】4.设 A,B为 n 阶方阵，且秩（A）=秩（B），则 （A）秩（A-B）=0.（B）秩（A+B）=2 秩（A）.（C）秩（AB）=2 秩（A）.（D）秩（AB）秩（A）+秩（B）【】三解答题 1.求方程组1234123412452311,3425,9417xxxxxxxxxxx 的通解，并求满足方程组12345361xxxx 的全部解。2.设有线性方程组12312312330,3231,4,xxxxxxxxmxk 问 m，k 为何值时，方程组有唯一解？有无

34、穷多解？在有无穷多组解时，求出一般解。3.问a为何值时，线性方程组12345134512345145,2323,453232,21xxxxxaxxxxxxxxxxxx有解？并求出解的一般形式。4.已知123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2)(1,3,3)aabab 及。（1）,a b为何值时，不能表示成123,的线性组合？（2）,a b为何值时，有123,的唯一的线性表示？并写出该表示式。5.已知方程组1234123412341,()24,2231xaxxxIxxbxxxxxcx 与1234234341,()22,21xxxxIIxxxxx 同解，试确定,a b c之值。6.设 A

35、 是mn矩阵，R 为mn矩阵，12(,)Tnxx xx，B 为mm矩阵。求证：若 B 可逆且BA 的行向量都是方程组 Rx0 的解，则 A 的每个行向量也都是该方程组的解。7.矩阵m nA，证明：若 Axb 有解的充要条件是0TA z，则0Tb z。8.设 A 是 n 阶矩阵，且0A，证明：存在一个 n 阶非零矩阵 B，使 AB0 的充分必要条件是|A|0。9设12 1 1 2010 1 3 1,1,10111Aba c ，如果是方程组 Axb 的一个解，试求 Axb 的通解。10.设1 11411,12,1 122aAaBa如果矩阵方程 AxB 有解，但解不唯一，试确定参数 a。11.设12

36、,是非齐次线性方程组 Axb 的两个不同解（A 是mn矩阵），是对应的齐次线性方程组 Ax0 的一个非零解，证明：（1）向量112,线性无关；（2）若 r（A）n1，则向量组，12,线性相关。12.设三阶矩阵 A 满足2AE（E 为单位矩阵），但AE。证明：（秩（AE）1）（秩（A+E）1）0。13.设 A 为 n 阶方阵，且2AA。证明：若 A 的秩为 r，则 AE 的秩为 nr，其中 E 是 n 阶单位矩阵。14.设 A 为 n 阶方阵，证明：如果2AE，则秩（A+E）+秩（AE）n。15.设0 1 00102Aacb。（1）,a b c满足什么条件时，矩阵 A 的秩为 3？（2）,a b

37、 c取何值时，A是对称矩阵？（3）取一组,a b c，使得 A 为正交矩阵。16.已知矩阵1 0 22 1 51 03Aa不可逆，又矩阵223348123Bbc使 AX=B 有解。（1）求,a b c的值；（2）求 X。第四章 线性方程组模拟题答案 a)填空题 1.方程组m nAx=0 的未知量个数为 n，故 rn秩（A）nk。方程组只有零解，也即 r0，故当 kn 时，方程组只有零解。2.方程组只有零解，说明系数矩阵满秩，即112 1 1350,03kkk得35k。3.秩（A）2，则秩（*A）0，即*A0。故任意 4 维向量都是*Ax0 的解，即它的基础解系所包含的线性无关的解向量的个数为

38、4。4.12sccc1。5.即只需求出 k 为何值时，方程组11Axk有解，于是秩（A）秩（A），即 1 1211 1211 1211211033101 1101 1101 110002Akk，秩（A）2，故秩（A）2，得 k+20，即 k2.二、选择题 1.（C）2.（D）3.（C）4.（D）三解答题 1.15 23 111523 111523 11314 25014 27 28014 27 2819 04 17014 27 28000 00A 取34,x x为自由未知量，并令340 xx，得特解(1,2,0,0)T，另可得对应齐次线性方程组的基础解系为 12(9,1,7,0),(1,1,0

39、,2)TT 故原方程组的解即为1 122xkk，12,k k任取。又增广矩阵 15 23 111523 111523 11014 27 28014 27 28014 27 28000 00000 00000 00536110 284 1456000 00 这表示适合原方程组的解也全部是方程12345361xxxx 的解。2.k1，m 任取时方程组有唯一解。一般解为(),xkk任取3 1(,0),7 7T 其中 (1,0,1)T 3.a1，一般解为1 12212,xkkk kT任取，其中=(1,-1,1,0,0)12 1,1,1,1,0,2,1,0,0,1TT 。4.（1）当 ab 但0)()2

40、,aA时，秩(A 秩方程组有解；当 a0 时，若 b0，则()1()2,0()2()3AAbAA秩秩若，则秩秩，即当 a0，b 任取时，不能被123,线性表示。（2）当211100,1,aabkkaa 3且，可得唯一解，k 123111)0aa 即=(5a1，b4，c4。6.BA 的行向量都是方程组 Rx0 的解，即有()0,TR BA0TTRA B 得，TBB可逆，也可逆，11()0()0TTTRRBBBTT故有 AA，这表示 A 的行向量也都是该方程组的解。7.必要性，Axb 有解，设其中一个解为，即 Ab。同时取转置得TTTAb。00TTTTTA zA zb z又，左乘，即得，必要性得证

41、。充分性，0,0,00,TTTTA zb zz Az b则都取转置,即由A取 的列向量组 12,n，则有1212,0,TTTTTnnz Azzzz 1110(1,2,),0,()0,TTTiiiinnnzinkz kzkkkk即于是对也有即其中为任意实数。1110,0,TTnnnz Az bbbkk而由可以推出这说明 可以由线性表示，不妨就设为 1,nkkAbAxb取于是就有。故有解，充分性得证。8.必要性：存在非零矩阵 B 使 AB=0。说明 Ax0 有非零解，故|A|0。充分性：|A|0，Ax0必有非零解。构造 B，令为 B 的一个列向量，B 的其余列向量全为 0，则有 AB=0，充分性得

42、证。9.121211231,1001xkkk k任取。10.a2，此时秩（A）秩（A）2，方程组有解，且解不唯一。11.（1）假设11212()0kk 12，显然12是 Ax0 的一个非零解，故对式左乘 A，得11212111()0k Ak Ak Ak b 又 Axb 为非齐次线性方程组，即1120,0,()0,bk2故于是k 120,0,2又得k 1,故 12线性无关。（2）r（A）n1，故0Ax即为的一个基础解系,20Ax1又也为的一个解,222,0,kkk 111故存在使得即+故,线性相关。12.22,0()()0.AE AEAEAE()+()3,()+()(2)3.()+()3,(),

43、()1()()1,2.()1)()1)0AEAEAEAEEAEAEAEAEAEAEAEAEAE 故秩秩又秩秩秩得 秩秩 但故秩秩都大于等于，于是秩和秩中必定一个为 一个为得 秩秩 13.2()0,()()AAA AEAAEn得秩秩 ()()()()()(),()().AAEAAEEnAAEnAEnAnr又秩秩秩秩得秩秩故秩秩 14.2()()0AEAEAE()()()()()()(2)()()AEAEnAEAEAEAEEnAEAEn于是秩秩又秩秩秩秩秩故得秩秩。15.（1）即0 1 010,0()0122102a cAacbcabb 即 2.abc故当时,A的秩为3 （2）直接可得 a=1,b=0,c=0.（3）A 为正交矩阵，即 2222221000 1 0001 0 00211100022241,1,230,22131,42Ta bcAAEacacabcbcabbaaccabbbc 得得一组解为即为所求。16.（1）a=1,b=-3,c=0；（2）1231231232 2 12221 0 10 0 1kkkXkkkkkk。