解分式方程的特殊方法与技巧.pdf

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1、-分式方程意义及解法 一、内容综述：1解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程，复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程.即分式方程整式方程 2.解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程.但要注意，可能会产生增根。所以,必须验根。产生增根的原因:当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理（方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解.检验根的方法

2、:（1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等。(2）为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于 0，就是原方程的根;如果使公分母等于，就是原方程的增根。必须舍去 注意：增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为 0.-用去分母法解分式方程的一般步骤:(i)去分母,将分式方程转化为整式方程;(i）解所得的整式方程；（ii)验根做答 ()换元法 为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法

3、就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程 用换元法解分式方程的一般步骤:(i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式;(i)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;(ii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值；（iv)检验做答.注意:（1）换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简,把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。（2)分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般,即先考虑能否用换元法解,不能用换元法解的，再用去分母法。）3（无论用什么方法解分式方程,

4、验根都是必不可少的重要步骤。二、例题精析:-例 1.解分式方程:。分析:解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。解:方程两边都乘以 x(x+2),约去分母,得 x+4-x=2(+2）+(x+2)整理后，得 x2+4x=0 解这个方程，得0，2=-4,代入公分母检验:当1=0 时，(x+2)=0(+)=，x=0 是增根；当 x2=-时，(+)-4(-4+2)，x=-4 是原方程的根。故原方程的根是 x-。例 2.解方程:。分析:本题中各个分式的分子与分母是同次多项式，故从中析出一个整数来（用拆分分式的方法）,；考虑方程中有四个分式,可以移项后利用公式把分式拆项,将方程化简。解:即,移项,整理

5、,得,即,亦即 去分母,得(x-6)（-5）=(x-9)(-8),去括号,整理,得 x=7.经检验，x=7是原方程的根。原方程的根是=7。-例 3解方程。解法:方程两边都乘以(+)(x+5)(+)(x+3),去分母,得 （x+3)2(5)(+)-（x4)2(x2)(+3)(x+1)（+)(x+)(x+3)-(x+)(x4)（x5)即140，,经检验知 是原方程的解。解法 2:方程两边分别通分,得 ,即，(5）(+）=(+2)（x+3）解得。解法 3:利用拆分分式的方法将原来的方程变形。原方程可化为 即：，两边分别通分，得，解之,得。例 4.解方程。解：设,则原方程变形为 y2-5+6=0，解得

6、12,y=3，由-=2,解得 x14;由,解得2=3.经检验 x1=4,2=3，都是原方程的根。例 5用换元法解方程 解:设 2x2+3,于是原方程变为，整理,得 y-4y-5 解得y1=5,2=-1 当 y时,即23x=，解得 x=1，当 y-1 时，2x23x=-1,解得3=1，,经检验，都是原方程的根。原方程的根为。例.解方程。分析:利用方程左边结构特点,构造一元二次方程来解。解:设,所以原方程变形为：y+=,整理得：y2-7y+1=0 解得 y12，y2=5，当 y1=2 时,即，x10，2;当 y5 时，即 x2-5x+90(0，此方程无实根)经检验，x1=,2=是原方程的解。-例

7、7解方程.分析:此方程初看起来容易把，而实际上，所以 但是,就是说原方程可变形为,变形后才可用换元法解此方程。解：原方程可化为 即,设,则原方程可化为：2y-y-=0 解得=1,y2,当y=-1 时,去分母整理，得 x2+x+1=0 解这个方程,方程无解。当 y=时,，去分母整理，得x2-5x+=0 解得 x=,经检验，x1=2，都是原方程的根。原方程的根是=2，。注意：切勿把。例.若分式方程有增根=2,求 a 的值。分析:将方程的两边同乘以最简公分母(x2）(x-2),-得 a(x2)+(x+）(x-)，若分式方程有增根 x2,则=一定是整式方程 a（+2)+(x+2)(x-2)=的根，代入

8、之即可求出 a。解：原分式方程去分母,得(x2）+1+2(x+2)(x-2）=0 把 x=2 代入所得方程,得 4a+=0,，当 a=-时,=是原分式方程的增根。测试 选择题 1方程-=-的根的情况是（）A、只有一解 x2 B、任意实数都是解 、无解 、解为x2 .用换元法解方程 ，下列变形正确的是()、设=y，原方程变形为 y+=,去分母得 2y2+5+2 B、设=y，原方程变形为 y+-1,去分母得 2y2-y+2=0 C、设=y，原方程变形为 =,去分母得 y-5y+3=0 、设=y,原方程变形为+=，去分母得 y2-5y+=0 -3 如果设y=，则对于方程（-5）2-130,下面变形正

9、确的是(）A、y22y-=0 B、y22-3=0 、y2+2-=0 、2-2y-30 4若 x=1 是方程的增根,则 m 的值为(c)A、1 、-1 C、-3 D、3 5方程会产生增根,则 a 的值为(c）、1 、2 C、1 或-、以上都不对。6.方程=0 的根是（)A、1 B、1 或 2 D、1 或-7使分式方程产生增根的 k 的值是（)A、0 B、0 或 C、1 D、8.用换元法解方程,设，则方程变形为（)。A、5-30 、y2+-40=0 C、6y2+5y-260 D、6255=0 9.方程的根为(）、x=B、x=3 D、x=5,或 x=3 -0某项工程,甲独做需 a 天，乙独做需 b

10、天,甲、乙合做完成任务需要的天数是()。A、B、C、+b 、答案与解析 答案：1、C 2、D 3、B、C 5、C、7、A 8、D 9、D 10、D 解析:1、答案:选 C。移项,整理得 x2，但当 x2 时,分母 x-2=0,则=2 为增根，原方程无解。2、答案：.选 D。3、答案：选。原方程 整理得：,设 原方程变为：y2+23=0。.答案：选 C。原方程两边乘以(x-）(-2)得：x2-+2+2x3=m 即:2x+-m0 则 x=1 是方程x2+2x-7-m=0 的根,代入 x=1 得：2+2-7-m=0,m-3.5 答案：选。两边乘以 x(x-1）得2x-2-a0,若原方程有增根,则有增

11、根 x=或 x0，而 x=1 或 x=0 是整式方程2+x-2a=0 的两根,将 x或=代入整式方程 得1 或 a=2，选 C。6答案：选 B。由,去分母得（x+1)(x-2)=0 得 x=-1 或 x=2，经检验,x=-1 是增根,则原方程的根为 x=2。答案：选 A。-分式方程 的增根为 x或-2，而 x=2 或=2,一定是去分母得到的整式方程的解。原方程两边乘以(x)(x+2)得 x22x-x2+4k2xk2 整理得：(k2+)x=4-k2,则:，解得：=0.8 答案：选 D。分析:原方程变形为,则原方程变形为 6(y2)+5y38=,整理得：6yy-50=0.9答案：选。方程两边乘以-

12、4 得 1=x+4+x2-4 即:22x-1=0，解得:x1=-或 x2=,经检验,x=-5 或3 都是原方程的根。答案：选。整个工程看成整体 1,则甲,乙的工作效率分别为,则合作工作效率为，则甲,乙合作用的时间为。中考解析 分式方程 考点讲解 1.解分式方程的基本思想方法是:把分式方程通过去分母或换元转化成整式方程,然后用解整式方程的方法去求解,但在转化过程中，可能会使分式方程增根，所以最后一定要验根。去分母法解分式方程的步骤:(1)去分母，即方程两边同乘以各分母的最简公-分母，约去分母,得到一个整式方程;（2)解这个整式方程；(3）验根。3.用换元法解分式方程的步骤：（)根据分式方程中的特

13、点设某一分式为另一未知字母；（）写出符合原方程式的用新字母表示的变形方程；(）解换元所得新方程,求得未知字母的值；(4）把新未知字母值代入第一步所设的分式,求得原方程未知数的值;()验根。分式方程验根的方法：（1）将解得整式方程的根代入原方程,使方程左右两边相等的未知数的值是原方程的根,否则是增根；（2)将解得整式方程的根代入最简公分母中，如果不使最简公分母等于 0，就是原方程的根，反之则为增根。考题评析 1.(甘肃省）一组学生去春游，预计共需费用 12元，后来又有 2 人参加进来,总费用不变，于是每人可少分摊 3 元，原来这组学生的人数是()（A)8 （B)10 （C)(）30 考点:分式方

14、程的应用 评析：该题是一列方程解的应用题，解决应用题的关键是找到等量关系，本题的等量关系有两个:一个是人数变化,前后的总费用不变，二是增加 2 人后，每人少分摊 3 元。根据条件,依据第二个等量关系列方程比较容易解得此题,设原来这组学生的人数 x 人,所以列方程为:，解得 x8,经检验=是原方程的根。答案：说明:所列方程是一个分式方程，求出结果后必须检验。2.(杭州市)（本题 8 分)解方程：考点：分式方程的解法 评析思路：此题可用去分母、化分式方程为整式方程的方法,来解此方程注一定要检验。答案：x=2 -.(重庆市）方程的解是_。考点:分式方程的解法 评析:思路：本题运用等式的性质两边乘以(

15、x-)化分式方程为整式方程,然后求解。说明：右边的 1 必须乘以 x（x)同时要进行验根。答案：x=2 4(吉林省）解方程:。考点:分式方程。评析思路,根据方程的形式可知用换元法解本方程，设，方程变为关于的整式方程,然后求解。说明：分式方程一定要检验。答案：=2 或=5(辽宁省)用换元法解方程.考点：分式方程的解法换元法 评析思路:设，原方程可变为关于 y 的一元二次方程是y2-5y-=.该题用换元法变为整式方程将用代替即可。答案:=或 x=6.(安徽省）解方程 =时，设 y=,则原方程可化为：（)A、52+5-2 B、52y26=0 、52-y-2=D、y2-y+5=0 考点：换元法解分式方

16、程 -评析:原方程是一个分式方程,其中两个分式互为倒数，当设=时，原方程变为 y+=化简得y226y5=，所以正确选项是 D 分式方程（组）的特殊解法 吴行民 王爱灵 同学们已经知道,把分式方程的两边同乘以各分母的最简公分母，化为整式方程,是解分式方程的基本思路。而对于一些特殊的分式方程(组)，我们还可以根据它的特征，采取灵活多变的方法求解。下面以课本习题、中考题和竞赛题为例，介绍解分式方程（组）的若干特殊方法与技巧。一、观察法 例、解关于 x 的方程：精讲与解：由限制条件和方程两边 a，及 x 的“对称”关系不难看出,当 xb 时等式成立。而该方程是一个可化为一元一次方程的分式方程,最多只有

17、一个解,故原方程的解是 x=ab。二、拆项法 例 2、解方程:。精讲与解:先注意，将左边第一个分式“一分为二”，就可以避开“去分母”而另辟新路。-原方程可化为，即 18，这是不可能的,故原方程无解。试一试:解方程:。提示：将拆成。三、添项法 例、解方程:。精讲与解：原方程可化为。即。解之,得 x=。经检验,x=7 是原方程的解。试一试:用拆项法来解此题。四、消去常数法-例 4、解方程组:精讲与解：两个方程左边的分母都是+y 和,右边的常数都是 3，因此,消去常数就能得到 x、之间更为明显的数量关系。，得。去分母、整理，得 x6y。代入,解之得。故 x18。经检验，是原方程组的解。五、整体消元法 例 5、解方程组：精讲与解:常规方法是通过换元化为二元一次方程组求解。如果把“”看成一个整体，代入消元，则更加简捷。将代入，得，解之，得=8。把 x=18 代入,得 y9。经检验,是原方程组的解。-六、倒数法 例 6、解方程组：精讲与解：对每一个方程进行取倒数处理,原方程组可化为 +,整理，得 分别减去、，可得 经检验，它们是原方程组的解。该题应用两个数相等(0除外),这两个数的倒数也相等这一关系,对原方程组进行简化,从而找到了解题的简捷方法。