高数一试题及答案教学文稿.pdf

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1、 高数一试题及答案 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高等数学(一)复习资料 一、选择题 1.若23lim53xxxkx，则k（）A.3 B.4 C.5 D.6 2.若21lim21xxkx，则k（）A.1 B.2 C.3 D.4 3.曲线3sin1xyex在点（0，2）处的切线方程为()A.22yx B.22yx C.23yx D.23yx 4.曲线3sin1xyex在点（0，2）处的法线方程为()A.122yx B.122yx C.132yx D.132yx 5.211limsinxxx()A.0 B.3 C.4 D.5 6.设函数0()(1)(2)xf xttdt，则(3)

2、f=（）A 1 B 2 C 3 D 4 7.求函数43242yxx的拐点有（）个。A 1 B 2 C 4 D 0 8.当x 时，下列函数中有极限的是（）。A.sin x B.1xe C.211xx D.arctan x 9.已知(3)=2f，0(3)(3)lim2hfhfh()。精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 A.32 B.32 C.1 D.-1 10.设42()=35f xxx,则(0)f为()f x在区间 2,2上的（）。A.极小值 B.极大值 C.最小值 D.最大值 11.设函数()f x在1,2上可导，且()0,(1)0,(2)0,fxff则()f x在(1,2)内()

3、A.至少有两个零点 B.有且只有一个零点 C.没有零点 D.零点个数不能确定 12.()()f xxfx dx().A.()f xC B.()fxC C.()xf xC D.2()fxC 13.已知22(ln)yfx，则y(C )A.2222(ln)(ln)fxfxxB.24(ln)fxx C.224(ln)(ln)fxfxx D.222(ln)()fxfxx 14.()df x=(B)A.()fxC B.()f x C.()fx D.()f xC 15.2ln xdxx(D )A.2 lnxxC B.ln xCx C.2ln xC D.2ln xC 16.211limlnxxx()A.2 B

4、.3 C.4 D.5 17.设函数0()(1)(2)xf xttdt，则(2)f =（）A 1 B 0 C 2 D 2 18.曲线3yx的拐点坐标是()A.(0,0)B.(1,1)C.(2,2)D.(3,3)19.已知(ln)yfx，则y(A )精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 A.(ln)fxx B.(ln)fx C.(ln)fx D.(ln)fxx 20.()d df x(A)A.()df x B.()f x C.()dfx D.()f xC 21.ln xdx(A )A.lnxxxC B.ln xxC C.ln xx D.ln x 二、求积分（每题 8 分，共 80 分）1

5、求cossinxxdx 2.求343ln xdxx 3.求arctan xdx 4.求3exdx 5.求2356xdxxx 6.求定积分8301dxx 7.计算20cosxxdx 8.求2128dxxx 9.求312dxx 11.求2212xxedx 12.求2333xx dx 13.求21lnexdxx 14.求23xx dx 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 三、解答题 1.若21lim 316xxaxx,求a 2.讨论函数321()2333f xxxx的单调性并求其单调区间 3.求函数22()2xxf xx的间断点并确定其类型 4.设2sin,.xyxyxey求 5.求35

6、(1)2(3)xxyx的导数 6.求由方程cossinxatybt 确定的导数xy.7.函数1,0()1,0tan,0 xexf xxx x在0 x 处是否连续？8.函数1,0()1,0tan,0 xexf xxx x在0 x 处是否可导？9.求抛物线2yx与直线yx所围成图形D的面积A.10.计算由抛物线22yx与直线4yx围成的图形D的面积A.11.设y是由方程sinyyyxe确定的函数，求y 12.求证：ln1,1xxx 13.设y是由方程1yyxe 确定的函数，求y 14.讨论函数32()29123f xxxx的单调性并求其单调区间 15.求证：21,xex 16.求函数3(1)()x

7、xf xxx的间断点并确定其类型 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 五、解方程 1.求方程0)(22dyxyxdxy的通解.2.求方程20yyy的通解.3.求方程22yyyx的一个特解.4.求方程3595xyyyxe的通解.高数一复习资料参考答案 一、选择题 1-5：DABAA 6-10：DBCDD 11-15：BCCBD 16-21：ABAAAA 二、求积分 1求cossinxxdx 解：33222cossinsin(sin)sinsin33xxdxxdxxCxC 2.求343ln xdxx 解：13343ln(43ln)(ln)xdxxdxx131(43ln)(43ln)3x

8、dx 431(43ln)4xC 3.求arctan xdx 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 解：设arctanux，dvdx，即vx，则 arctanarctan(arctan)xdxxxxdx 2arctan1xxxdxx 21arctanln(1)2xxxC 4.求3exdx 解：332222ee 33e3 e3 e 23 e6exttttttxtdxt dttdtttdttt dt 223 e6 e6 e3 e6 e6ettttttttdtttC 33233e(22)xxxC 5.求2356xdxxx 解：由上述可知23565623xxxxx，所以 2356()5623x

9、dxdxxxxx115623dxdxxx 5ln26ln3xxC 6.求定积分8301dxx 解：令3xt，即3xt，则23dxt dt，且当0 x 时，0t；当8x 时，2t，于是 282223000313ln(1)3ln3121dxt dtttttx 7.计算20cosxxdx 解：令2ux，cosdvxdx，则2duxdx，sinvx，于是 22200000cossin(sin)2 sin2sinxxdxx dxxxxxdxxxdx 再用分部积分公式，得 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 20000cos2cos2(cos)cosxxdxxdxxxxdx 002(cos)s

10、in2xxx 8.求2128dxxx 解：221113(1)(1)ln28(1)963(1)xdxd xCxxxx 12ln64xCx 9.求312dxx 解：令32ux，则32xu，23dxu du，从而有 22331 131112dxuududuuux 213(1)3(ln 1)12uuduuuCu 11.求2212xxedx 解：2222222411112xxxxedxedxeee 12.求2333xx dx 解：32333322333(3)(3)3xx dxx dxxC 13.求21lnexdxx 解：22111ln111ln(ln)lnln333eeexdxxdxxex 精品文档 收

11、集于网络，如有侵权请联系管理员删除 14.求23xx dx 解：33222222211 2133(3)(3)(3)22 33xx dxx dxxCxC 三、解答题 1.若21lim 316xxaxx,求a 解：因为2222913131xaxxxaxxxaxx，所以9a 否则极限不存在。2.讨论函数321()2333f xxxx的单调性并求其单调区间 解：2()43fxxx 由2()430fxxx得121,3xx 所以()f x在区间(,1)上单调增，在区间(1,3)上单调减，在区间(3,)上单调增。3.求函数22()2xxf xx的间断点并确定其类型 解：函数无定义的点为2x，是唯一的间断点。

12、因2lim()3xf x知2x 是可去间断点。4.设2sin,.xyxyxey求 解：22cos()xyyxy yxeyy,故 ()cos(2)xyxyy eyxyxye 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 5.求35(1)2(3)xxyx的导数 解：对原式两边取对数得：1ln3ln(1)ln(2)5ln(3),2yxxx 于是 3115,1223yyxxx 故 35(1)23115.1223(3)xxyxxxx 6.求由方程cossinxatybt 确定的导数xy.解:22()cos.()sinxy tbtbxyx tatay 7.函数1,0()1,0tan,0 xexf xxx

13、 x在0 x 处是否连续？解：100lim()lim0 xxxf xe 00lim()lim tan0 xxf xx 故在0 x 处不连续。8.函数1,0()1,0tan,0 xexf xxx x在0 x 处是否可导？解：因为100()(0)1limlimxxxf xfexx 所以在0 x 处不可导。9.求抛物线2yx与直线yx所围成图形D的面积A.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 解:求解方程组2yxyx得直线与抛物线的交点为00 xy，11xy，见图 6-9，所以该图形在直线0 x 与 x=1 之间，2yx为图形的下边界，yx为图形的上边界，故11312200011236xA

14、xx dxx.10.计算由抛物线22yx与直线4yx围成的图形D的面积A.解：求解方程组224yxyx得抛物线与直线的交点(2,2)和(8,4)，见图 6-10，下面分两种方法求解.方法 1 图形D夹在水平线2y 与4y 之间，其左边界22yx，右边界4xy，故 42234224418226yyyAydyy.方法 2 图形D夹在直线0 x 与8x 之间，上边界为2yx，而下边界是由两条曲线2yx 与4yx分段构成的，所以需要将图形D分成两个小区域1D，2D，故28022(2)24Axxdxxxdx 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 232022 23x832222241832xx

15、x.11.设y是由方程sinyyyxe确定的函数，求y 解：两边对x求导得 cosyyyyyexe y 整理得1 cosyyeyyxe 12.求证：ln1,1xxx 证明：令()(1)lnf xxx 因为11()10 xfxxx 所以()0f x，1x。13.设y是由方程1yyxe 确定的函数，求y 解：两边对x求导得 yyyexe y 整理得1yyeyxe 14.讨论函数32()29123f xxxx的单调性并求其单调区间 解：2()61812fxxx 由2()618120fxxx得121,2xx 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 所以()f x在区间(,1)上单调增，在区间(

16、1,2)上单调减，在区间(2,)上单调增。15.求证：21xex 证：令()21xf xex 因为()20 xfxe得ln2x，又因为(ln 2)22ln 210f 所以()0f x。16.求函数3(1)()xxf xxx的间断点并确定其类型 解：由分母30 xx得间断点0,1xx。因0lim()1xf x知0 x 是可去间断点；因21111lim()lim12xxxf xx知1x 也是可去间断点 因21111lim()lim12xxxf xx知1x 也是可去间断点 四、解方程 1.求方程0)(22dyxyxdxy的通解.解 原方程可化为 22xxyydxdy，上式右边分子分母同除2x得 精品

17、文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 1)(2xyxydxdy，此为齐次方程，因而令xyu，则dxduxudxdy代入上式得 12uudxduxu，分离变量得 duuuxdx1，两边积分得 Cuuxlnlnln，从而有 uexcu，用xyu 回代即得原方程的通解 xyCey.2.20yyy 解：原方程可化为：()0dyydx 积分得：1yyc4 分 即21dycdx 积分得212yc xc8 分 3.求方程22yyyx的一个特解.解 由于方程中10q 且22()P xx，故可设特解为 2yAxBxC,则 2,2yAxB yA.代入原方程有 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

18、22(4)(22)AxAB xABCx.比较两边同次幂的系数得140220AABABC，解得 1,4,6ABC,所以，所求的特解为 246yxx.4.求方程3595xyyyxe的通解.解 分两步求解.（1）求对应齐次方程的通解.对应齐次方程 590yyy,特征方程为 2690rr,解得 123rr.于是得到齐次方程590yyy的通解为 312()xYCC x e.（2）求原方程的一个特解 因为3 是特征方程的重根,()5nP xx是一次式，所以可设 23(),xyxAxB e 求导得 3323(33)2,xyeAxAB xBx 3329(189)(612)2,xyeAxAB xAB xB 代入原方程并约去3xe得 625AxBx,比较等式两边的系数得 65,20AB 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 解得 560AB.从而得原方程的一个特解 3356xyx e.于是原方程的通解为 33215()6xyyYxC xC e.