高考数学：平面向量(复习学案).pdf

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1、 专题 10 平面向量 一、平面向量知识框架 二、平面向量的线性运算及其坐标表示 【一】向量的概念 1.例题【例 1】给出下列结论：1.向量有关概念：（1）向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模（2）零向量：长度等于 0 的向量，其方向是任意的（3）单位向量：长度等于 1 个单位的向量（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量 2.有关平面向量概念易错点：（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性（2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关（3）向量

2、可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混淆 （4）非零向量a与aa的关系：aa是与a同方向的单位向量，aa-是与a反方向的单位向量（5）两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小（6）两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件 数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；数轴上向量AB的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；数轴上起点和终点重合的向量是零向量

3、，它的方向不确定，它的坐标是 0.其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【例 2】下列命题中，正确的个数是（）单位向量都相等；模相等的两个平行向量是相等向量；若a，b满足ba 且a与b同向，则ab；若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；若ab bc，则a c A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 2.巩固提升综合练习【练习 1】给出下列命题：若cbba,则ca；若A，B，C，D是不共线的四点，则DCAB 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；ba 的充要条件是ba 且ba/；若cbba/,/，则ca/；其中正确命题的序号是 .【二】平面向量的线性表示 1.例题【例 1

4、】在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB（）A.ACAB4143 B.ACAB4341 C.ACAB4143 D.ACAB4341【例 2】在梯形 ABCD 中，AB3DC，则BC等于()A13AB23AD B23AB43AD C.23ABAD D23ABAD 2.巩固提升综合练习【练习 1】在正方形ABCD中，E为DC的中点，若AEABAC，则的值为（）A12 B12 C1 D1【练习 2】已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，O 是ABC 的重心，动点 P 满足：OP13OCOBOA22121，则 P 一定为ABC 的()A重心 BAB 边中线的三等分点(非重心)1.平

5、面向量的线性运算技巧：（1）不含图形的情况：可直接运用平行四边形法则和三角形法则求解；（2）含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解 2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路：（1）没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置；（2）利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式；（3）比较、观察可知所求.3.两个重要结论：（1）P位线段AB的中点)(21OBOAOP;（2）G为ABC的重心0GCGBGA.4.关于平面向量的线性运算的考查，命题角度主要有两个：一是平面向量的线性运算，二是利用向

6、量线性运算求参数.解题过程中应注意：CAB 边中线的中点 DAB 边的中点【练习 3】如图，在平面四边形ABCD中，,120,1,ABBC ADCDBADABAD若点E为边CD上的动点，则AE BE的最小值为（）A.2116 B.32 C.2516 D.3 【三】向量共线的应用 1.例题【例 1】设两个非零向量a与b不共线 1.共线向量定理：向量a(0a)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得ab 2.平面向量共线定理的三个应用：3.求解向量共线问题的注意事项：（1）向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用；（2）证明三点

7、共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线；（3）直线的向量式参数方程：BPA,三点共线OBtOAtOP)1(O为平面内任一点，Rt)(1)若baAB，baBC82，)(3baCD，求证：DBA,三点共线；(2)试确定实数k，使bak和bka共线【例 2】已知点3,1A，1,4B，则与向量AB的方向相反的单位向量是（）A.43,55 B.4 3,5 5 C.34,55 D.3 4,5 5 2.巩固提升综合练习【练习 1】设 P 是ABC 所在平面内的一点，且CP2PA，则PAB 与PBC 的面积的比值是()A.13 B.12

8、 C.23 D.34【练习 2】设向量a，b不平行，向量ab与2ab平行，则实数_ 【四】平面向量基本定理及应用 1.例题【例 1】如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若(,)DEABADR，则等于（）A12 B12 C1 D1 1.平面向量基本定理:如果21ee，是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量a，有且只有一对实数，使2211eea.其中，不共线的向量21ee，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2.平面向量基本定理的实质及解题思路：（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；（2）用向量基

9、本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 12，【例 2】在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则 的 取值范围为_ 2.巩固提升综合练习【练习 1】如图，在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别在边 CD 和 BC 上，且DC3 DE，BC3 BF，若ACmAEnAF，其中 m，nR，则 mn_.【练习 2】如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，EABE2，AD与CE交于点O.若 6AB ACAO EC，则ABAC的值是_.【五】平面向量的坐标运算 1.例题【例 1】已知向量)3,2(a，)2,3(b，

10、则ba（）A2 B2 C52 D50 ABCD34BDBCEADAAEABAC2211.平面向量的坐标运算:（1）若，则；（2）若，则；（3）设，则，.2.平面向量坐标运算的技巧：（1）向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解 1122()()axybxy，1212()abxxyy，()axy，()axy，1122()()A xyB xy，2121()AxxyyB

11、，221221|()AxxyBy(|)【例 2】在平面直角坐标系中，向量 n(2,0)，将向量 n 绕点 O 按逆时针方向旋转3后得向量 m，若向量 a 满足|amn|1，则|a|的最大值是()A231 B231 C3 D.6 21【例 3】在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1,0)，B(0，3)，C(3,0)，动点 D 满足|CD|1，则|OAOBOD|的取值范围是()A 4,6 B 191，191 C 2 3，2 7 D 71，71 2.巩固提升综合练习【练习 1】在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上 若APABAD，则 的最大值为()

12、A3 B2 2 C.5 D2 【练习 2】如图，正方形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，CD 的中点，若ACAMBN，则()A2 B.83 C.65 D.85 【六】向量共线（平行）的坐标表示 1.例题【例 1】已知向量(1,)am，(,2)bm，若/ab，则实数m等于（）A.2 B.2 C.2或2 D.0【例 2】若3,4a ，则与a同方向的单位向量0a _ 2.巩固提升综合练习【练习 1】如图，在平面四边形ABCD中，90CBACAD，30ACD，ABBC，点E为线段BC的中点若ACADAE(,R)，则的值为_ 【练习 2】已知向量 a(3,1)，b(1,3)，c(k，2)，若(ac)

13、b，则向量 a 与向量 c 的夹角的余弦值是()A.55 B.15 C55 D15 1.平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：（1）利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为）（Ra，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(2)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若，),(),(2211yxbyxa则ba/1221x yx y”解题比较方便 2.主要命题角度：（1）利用向量共线求向量或点的坐标；（2）利用向量共线求参数，总体难度不大.三、平面向量的数量积 【一】平面向量数量积的概念

14、1.例题 1.两个向量的夹角：（1）定义：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角 （2）范围：向量夹角的范围是0；a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角180.（3）向量垂直：如果向量a与b的夹角是 90，则a与b垂直，记作ba.2.平面向量的数量积的概念：（1）已知两个非零向量a与b，则数量cosba叫做a与b的数量积，记作ba，即：ba=cosba，其中是a与b的夹角规定：00a；（2）ba的几何意义：数量积ba等于a的长度a与b在a的方向上的投影cosb的乘积 3.数量积的运算律：（1）交换律：abba；（2）分配律：cbcacba；（3）对R，)(bababa

15、 4.计算向量数量积的三种常用方法：（1）定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即ba=cosba，其中是a与b的夹角（2）基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解（3）坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解 OAOB【例 1】在如图的平面图形中，已知0120,2,1MONONOM,NACNMABM2,2则OMBC 的值为（）A B C D0 【例 2】已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，|BC=1，则AB BC=（）A-3 B-2 C2 D3 2.巩固提升综合练习【练习 1】如图，AB

16、是半圆O的直径，C、D是弧AB的三等分点，M，N是线段AB的三等分点若6OA，则MD NC的值是（）A.12 B.12 2 C.26 D.36【练习 2】已知,a b为单位向量，且a b=0，若25cab，则cos,a c_.【练习 3】已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60，cta(1t)b.若 bc0，则 t_.【二】平面向量数量积的性质 1.例题【例 1】已知平面向量,a b不共线，且1a，1a b，记b与2ab 的夹角是，则最大时，ab（）A1 B2 C3 D2【例 2】已知,a b为单位向量，且a b=0，若25cab，则cos,a c_.【例 3】设向量a=（1,0），b=（1,

17、m）,若amab，则m=_.2.巩固提升综合练习【练习 1】若两个非零向量a，b满足2ababa，则向量ab与ab的夹角是（）A.6 B.2 C.23 D.56【练习 2】已知非零向量a与b满足ba2，且bba）（，则a与b的夹角为（）A6 B3 C23 D56【练习 3】已知向量 a，b 夹角为 45，且|a|1，|2ab|10，则|b|_.1.向量数量积的性质：（1）如果e是单位向量，则aeea；（2）0baba；（3）aaaaaa,2；（4）babacos.(为a与b的夹角)；（5）baba；2.数量积的坐标运算：设),(),(2121bbbaaa则：（1）2211bababa；（2）0

18、2211bababa；（3）2221aaa；（4）222122212211cosbbaababababa.(为a与b的夹角).3.求向量夹角问题的方法：（1）当ba、是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出ba及a，b或得出它们之间的关系；（2）若已知),(),(2211yxbyxa，则222221212121cosyxyxyyxxbaba.(为a与b的夹角)；,0ba，.4.平面向量模问题的类型及求解方法（1）求向量模的常用方法 2121yxa【三】平面向量的综合应用 1.例题【例 1】已知eba，是平面向量，e是单位向量 若非零向量a与e的夹角为3，向量b满足0342beb，则ba-的最小值

19、是（）A1-3 B13 C2 D3-2【例 2】在ABC，若0ABACBCABAC，且12ABACABAC，则ABC的形状为（）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.无法判断【例 3】如图所示，直线 x2 与双曲线 C：x24y21 的渐近线交于 E1，E2两点记OE1e1，OE2e2，任取双曲线 C 上的点 P，若OPae1be2(a，bR)，则 ab 的值为()1.向量与平面几何综合问题的解法：（1）坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决（2）基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系

20、，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解 2.向量在解析几何中的作用（解析几何专题中详讲）：（1）载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题（2）工具作用：利用0baba；)0(/bbaba，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到 3.向量与三角的综合应用（三角函数专题中详讲）：解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解 A.14 B1 C.12 D.1

21、8 2.巩固提升综合练习【练习 1】在平面四边形ABCD中，o90BAD，1,2ADAB，若CBCABCBAACAB34，则CDCB21的最小值为_【练习 2】已知向量(cos,sin),(3,3),0,.xxxab（1）若 ab,求 x 的值；（2）记()f x a b,求()f x的最大值和最小值以及对应的x的值.四、课后自我检测 1.已知 O,A,B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C，且20ACCB，则OC（）A.2OAOB B.2OAOB C.2133OAOB D.1233OAOB 2.已知G是ABC的重心，D是AB的中点 则GAGBGC_ 3.在平面直角坐标系中，已知点1

22、0A ，、2 0B，E、F是y轴上的两个动点，且2EF，则的AE BF最小值为_ 4.在四边形ABCD中，ADBC，2 3AB ，5AD ，30A ，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BD AE_.5.已知数列 na为等差数列，且满足12107OAa OBaOC，若ABAC（R），点O为直线BC外一点，则1009a（）A 3 B 2 C 1 D 12 6.设向量 a，b 满足|+|10a b，|6ab，则 ab()A1 B2 C3 D5 7.已知 a(3,2)，b(2，1)，若 ab 与 ab 平行，则 _.8.在平行四边形 ABCD 中，|AD|3，|AB|5，AE23AD，BF13B

23、C，cos A35，则|EF|()A.14 B 2 5 C 4 2 D 2 11 9.已知锐角ABC 的外接圆的半径为 1，B6，则BABC的取值范围为_ 10.已知点 O，N，P 在ABC 所在的平面内，且|OA|OB|OC|，NANBNC0，PAPBPBPCPCPA，则点 O，N，P 依次是ABC 的()A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心 C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心 11.设向量 a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积：ab(a1，a2)(b1，b2)(a1b1，a2b2)已知向量 m4,21，n0,6，点 P 在 ycos x 的图象上运动，点 Q 在 yf(x)的图象上运动，且满足OQmOPn(其中 O 为坐标原点)，则 yf(x)在区间3,6上的最大值是()A4 B2 C2 2 D2 3 12.已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则PA(PBPC)的最小是()A2 B32 C43 D1 13.已知O是正ABC的中心 若COABAC，其中，R，则的值为（）A 14 B 13 C 12 D 2