(三角函数)常用结论总结.pdf

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1、精品 三角函数常用结论总结 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。3.终边相同的角的表示：（1）终 边 与终 边 相 同(的 终 边 在终 边 所 在 射 线上)2()kkZ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一

2、定相等.如与角1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是，合弧度。（答：25；536）（2）终 边 与终 边 共 线(的 终 边 在终 边 所 在 直 线 上)()kkZ.（3）终边与终边关于x轴对称2()kk Z.（4）终边与终边关于y轴对称2()kkZ.（5）终边与终边关于原点对称2()kkZ.（6）终边在x轴上的角可表示为：,kkZ；终边在y轴上的角可表示为：,2kkZ；终边在坐标轴上的角可表示为：,2kkZ.如的终边与6的终边关于直线xy 对称，则_。（答：Zkk,32）4、与2的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若是第二象限角，则2是第_象限角（答：一、三）5.弧长公式

3、：|lR，扇形面积公式：211|22SlRR，1 弧度(1rad)57.3.如已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。（答：22cm）6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P(,)x y是的终边上的任 意 一 点（异 于 原 点），它 与 原 点 的 距 离 是220rxy，那 么sin,cosyxrr，tan,0yxx，cotxy(0)y，secrx0 x，csc0ryy。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 P 的位置无关。如（1）已知角的终边经过点 P(5，12)，则cossin的值为。（答：713）；精品（2）设是第三、四象限角，mm4

4、32sin，则m的取值范围是_（答：（1，)23）；（3）若0|cos|cossin|sin|，试判断)tan(cos)cot(sin的符号（答：负）7.三角函数线的特征是：正弦线 MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线 OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线 AT“站在点(1,0)A处(起点是A)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如（1）若08，则sin,cos,tan的大小关系为_(答：tansincos)；（2）若为锐角，则,sin,tan的大小关系为_（答：sintan）；（3）函数)3sin2lg(cos21xxy的定义域是_（答：2(2,2()33

5、kkkZ）8.特殊角的三角函数值：30 45 60 0 90 180 270 15 75 sin 21 22 23 0 1 0 1 624 624 cos 23 22 21 1 0 1 0 624 624 tan 33 1 3 0 0 2-3 2+3 cot 3 1 33 0 0 2+3 2-3 9.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sincos1,1tansec,1cotcsc（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商数关系：sincostan,cotcossin 同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其

6、它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如（1）函数sintancoscoty的值的符号为_（答：大于 0）；（2）若220 x，则使xx2cos2sin12成立的x的取值范围是_（答：0,4 y T A x B S O M P 精品,43）；（3）已知53sinmm，)2(524cosmm，则tan_（答：125）；（4）已知11tantan，则cossincos3sin_；2coss

7、insin2_（答：35；513）；（5）已知a200sin，则160tan等于 A、21aa B、21aa C、aa21 D、aa21（答：B）；（6）已知xxf3cos)(cos，则)30(sinf的值为_（答：1）。10.三角函数诱导公式（2k）的本质是：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,02；(2)转化为锐角三角函数。如（1）97costan()sin2146的 值 为 _（答：2323）；（2）已 知54)540sin(，则)270cos(_，若为第二

8、象限角，则)180tan()360cos()180sin(2_。（答：54；1003）11、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sinyx和余弦函数cosyx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为 0，3,222的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。12、正弦函数sin()yx xR、余弦函数cos()yx xR的性质：（1）定义域：都是 R。（2）值域：都是1,1，对sinyx，当22xkkZ时，y取最大值1；当322xkkZ时，y取最小值 1；对cosyx，当2xkkZ时，y取最大值 1，当2xkkZ时，y取最小值1。如（1）若函数sin(3)

9、6yabx的最大值为23，最小值为21，则a_，b（答：1,12ab或1b ）；（2）函数xxxfcos3sin)(（2,2x）的值域是_（答：1,2）；（3）若2，则6ycossin的最大值和最小值分别是_、_（答：7；5）；（4）函数2()2cos sin()3sin3f xxxxsincosxx的最小值是_，此时x_（答：2；()12kkZ）；（5）己知精品 21cossin，求cossint的 变 化 范 围（答：10,2）；（6）若cos2sin2sin22，求22sinsiny的最大、最小值（答：1maxy，222miny）。特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函

10、数的有界性了吗？（3）周 期 性：sinyx、cosyx的 最 小 正 周 期 都 是 2；()sin()f xAx和()cos()f xAx的最小正周期都是2|T。如(1)若3sin)(xxf，则(1)(2)(3)(2003)ffff_（答：0）；(2)函数4()cosf xx2sincosxx 4sin x的最小正周期为_（答：）；(3)设函数)52sin(2)(xxf，若对任意Rx都有)()()(21xfxfxf成立，则|21xx 的最小值为_（答：2）（4）奇偶性与对称性：正弦函数sin()yx xR是奇函数，对称中心是,0kkZ，对称轴是直线2xkkZ；余弦函数cos()yx xR是

11、偶函数，对称中心是,02kkZ，对称轴是直线xkkZ（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点）。如（1）函数522ysinx的奇偶性是_（答：偶函数）；（2）已知函数31f(x)axbsin x(a,b为常数），且57f()，则5f()_（答：5）；（3）函数)cos(sincos2xxxy的图象的对称中心和对称轴分别是_、_（答：128k(,)(kZ)、28kx(kZ)）；（4）已 知3f(x)sin(x)cos(x)为 偶 函 数，求的 值。（答：6k(kZ)）（5）单 调 性：sin2,222yxkkkZ在上 单 调 递 增，在32,22

12、2kkkZ单调递减；cosyx在2,2kkkZ上单调递减，在2,22kkkZ上单调递增。特别提醒，别忘了kZ！13、形如sin()yAx的函数：（1）几个物理量：A振幅；1fT频率（周期的倒数）；x相位；初相；（2）函数sin()yAx表达式的确定：A 由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如精品()sin()(0,0f xAxA，|)2的图象如图所示，则()f x_（答：15()2sin()23f xx）；（3）函数sin()yAx图象的画法：“五点法”设Xx，令X0，3,222求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。（4）函数sin(

13、)yAxk的图象与sinyx图象间的关系：函数sinyx的图象纵坐标不变，横坐标向左（0）或向右（0）平移|个单位得sinyx的图象；函数sinyx图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到函数sinyx的图象；函数sinyx图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到函数sin()yAx的图象；函数sin()yAx图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k）或向下（0k），得到sinyAxk的 图 象。要 特 别 注 意，若 由sinyx得 到sinyx的图象，则向左或向右平移应平移|个单位，如（1）函数2sin(2)14yx的图象经过怎样的变换才能得到sinyx的图象？（答：2sin(2)14

14、yx向上平移 1 个单位得2sin(2)4yx的图象，再向左平移8个单位得2sin 2yx的图象，横坐标扩大到原来的 2 倍得2sinyx的图象，最后将纵坐标缩小到原来的12即得sinyx的图象）；(2)要得到函数cos()24xy的图象，只需把函数sin2xy 的图象向_平移_个单位（答：左；2）；（3）将函数72sin(2)13yx图像，按向量a平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出a；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在 但 不 唯 一，模 最 小 的 向 量(,1)6a）；（4）若 函 数 cossin0,2f xxx x的图象与直线yk有且仅有四个不同的交

15、点，则k的取值范围是 （答：1,2)）（5）研究函数sin()yAx性质的方法：类比于研究sinyx的性质，只需将sin()yAx中的x看成sinyx中的x，但在求sin()yAx的单调区间时，要特别注意 A 和的符号，通过诱导公式先将化正。如（1）函数23ysin(x)的递减区间是_（答：51212k,k(kZ)）；（2）1234xylog cos()的递减区间是_（答：精品 336644 k,k(kZ)）；（3）设函数)22,0,0)(sin()(AxAxf的图象关于直线32x对称，它的周期是，则 A、)21,0()(的图象过点xf B、()f x在区间52,123上是减函数 C、)0,1

16、25()(是的图象的一个对称中心xf D、()f x的最大值是 A（答：C）；（4）对于函数 2sin 23fxx给出下列结论：图象关于原点成中心对称；图象关于直线12x成轴对称；图象可由函数2sin 2yx的图像向左平移3个单位得到；图像向左平移12个单位，即得到函数2cos2yx的图像。其中正确结论是_（答：）；（5）已知函数()2sin()f xx图象与直线1y 的交点中，距离最近两点间的距离为3，那么此函数的周期是_（答：）14、正切函数tanyx的图象和性质：（1）定义域：|,2x xkkZ。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？（2）值域是 R，在上面定义域上无最大

17、值也无最小值；（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线ya的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。如xyxysin,sin2的周期都是,但sinyx cos x的周期为2，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626yxyx，|tan|yx的周期不变；（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02kkZ，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与

18、正弦、余弦函数的不同之处。（5）单调性：正切函数在开区间,22kkkZ内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。如下图：精品 15、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsincoscossinsin22sincos令 2222222coscoscossinsincos2cossin2cos11 2sintantan1+cos2tancos1tantan21 cos2sin22tantan21tan令 如（1）下列各式中，值为12的是 A、1515sincos B、221212cossin C、222 5122 5tan.tan.D、1302cos（答：C）；（2）命题 P

19、：0tan(AB)，命题 Q：0tan A tanB，则 P 是 Q 的 A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件（答：C）；（3）已知35sin()coscos()sin，那么2cos的值为_（答：725）；（4）131080sinsin的值是_（答：4）；(5)已知0tan110a，求0tan50的值（用 a 表示）甲求得的结果是313aa，乙求得的结果是212aa，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是_（答：甲、乙都对）16.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是

20、三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如()()，2()()，2()()，22，222等），如（1）已知2tan()5，1tan()44，那么tan()4的值是_（答：322）；（2）已知02，且精品 129cos()，223sin()，求cos()的值（答：490729）；（3）已知,为锐角，sin,cosxy，3cos()5，则y与x的函数关系为_（答：23431(1)555yxxx）(2)三角函数名互化(切割化弦)，如（1）求值

21、sin50(13 tan10)（答：1）；（2）已知sincos21,tan()1 cos23，求tan(2)的值（答：18）(3)公式变形使用（tantantan1tantan。如（1）已知 A、B 为锐角，且满足tantantantan1ABAB，则cos()AB_（答：22）；(2)设ABC中，33tan Atan Btan Atan B，34sin Acos A，则此三角形是_三角形（答：等边）(4)三角函数次数的降升(降幂公式：21 cos2cos2，21 cos2sin2与升幂公式：21cos22cos，21 cos22sin)。如(1)若32(,)，化简111122222cos为

22、_（答：sin2）；（2）函数255 3f(x)sin xcos xcos x 532(xR)的单调递增区间为_（答：51212k,k(kZ)）(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如（1）tan(cossin)sintancotcsc（答：sin）；（2）求证：21tan1 sin21 2sin1tan22；（3）化简：42212cos2cos22tan()sin()44xxxx（答：1cos22x）(6)常值变换主要指“1”的变换（221sincosxx22sectantancotxxxx tansin42等），如已知tan2，求22sinsincos3cos（答：35）.(

23、7)正余弦“三兄妹sincos sin cosxxxx、”的内存联系“知一求二”，如（1）若 sincosxxt，则sincosxx _（答：212t)，特别提醒：这里2,2t；（2）若1(0,),sincos2，求tan的值。（答：473）；（3）已知2sin 22sin1tank()42，试用k表示sincos的值（答：精品 1k）。17、辅助角公式中辅助角的确定：22sincossinaxbxabx(其中角所在的象限由a,b的符号确定，角的值由tanba确定)在求最值、化简时起着重要作用。如（1）若方程sin3cosxxc有实数解，则c的取值范围是_.（答：2,2）；（2）当函数23ycos xsin x取得最大值时，tanx的值是_(答：32)；（3）如果 sin2cos()f xxx是奇函数，则tan=(答：2)；（4）求值：20sin6420cos120sin3222_(答：32)