高中数学函数的单调性与最值.pdf

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1、专题 函数的单调性与最值 1函数的单调性(1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量 x1，x2 当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间D上是增函数 当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义 若函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做函数 yf(x)的单调区间 2函数的最

2、值 前提 设函数 f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 条件(1)对于任意 xI，都有 f(x)M；(2)存在 x0I，使得 f(x0)M(1)对于任意 xI，都有 f(x)M；(2)存在 x0I，使得 f(x0)M 结论 M 为最大值 M 为最小值 3.判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数 y1x的单调递减区间是(，0)(0，)()(2)相同单调性函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性()(3)函数 yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数()(5)对

3、于函数 f(x)，xD，若 x1，x2D，且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数 f(x)在 D 上是增函数()(6)函数 f(x)log5(2x1)的单调增区间是(0，)()考点一 求函数的单调性(区间)命题点 1.求具体解析式的函数的单调性(区间)2.求解析式含参数的函数的单调性(区间)例 1(1)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ay x1 By(x1)2 Cy2x Dylog0.5(x1)答案：A(2)函数 f(x)lg x2的单调递减区间是_ 答案：(，0)(3)判断并证明函数 f(x)axx21(其中 a0)在 x(1,1)上的单调性（二次除以一次的处理；拓展一次除

4、以一次）方法引航 判断函数单调性的方法 1定义法：取值，作差，变形，定号，下结论.2利用复合函数关系：简称“同增异减”.3图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调增；图象逐渐下降，单调减.4性质法：增函数与减函数的加减问题。1下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是()Ayex Byx Cyln x Dy|x|选 B.2函数 y|x|(1x)在区间 A 上是增函数，那么区间 A 是()A(，0)B.0，12 C0，)D.12，选 B.3已知 a0，函数 f(x)xax(x0)，证明：函数 f(x)在(0，a上是减函数，在 a，)上是增函数（掌握对勾函数；明确对勾函数的特征）考点二 利用函数的单调

5、性求最值 命题点 1.求单调函数的最值 2.求函数的值域 例 2(1)函数 f(x)2xx1在1,2上的最大值和最小值分别是_ 答案：43，1(2)已知函数 f(x)1a1x(a0，x0)，若 f(x)在12，2 上的值域为12，2，则 a_.答案：25 1定义新运算：当 ab 时，aba；当 ab 时，abb2，则函数 f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1 B1 C6 D12 f(x)的最大值为 f(2)2326.考点三 函数单调性的应用 命题点 1.比较函数值的大小 2.求字母参数 3.解不等式 例 3 （1）已知11122xy，则下列不等关系一定成立的是（）A22xy

6、 B22loglogxy C33xy Dcoscosxy(2)已知 f(x)2ax1，x1，ax，x1，满足对任意 x1x2，都有fx1fx2x1x20 成立，那么 a 的取值范围是 _ 答案：32，2 方法引航 1利用单调性比较大小，首先把不在同一个单调区间上的变量转化为同一个单调区间，再结合单调性进行比较.2已知函数的单调性确定参数的值域范围要注意以下两点：任意子区间上也是单调的；注意衔接点的取值.1.在本例(2)中，若 f(x)不变且 a32，2.解不等式 f(4a22a5)f(a2)f(4a22a5)f(a2)的解集为32，74.2.定义在 R 上的函数()f x 25,1,1.xax

7、xaxx 对任意12xx都有，1212()()()0 xxf xf x成立，则实数 a 的取值范围是（）A.3,2 B.3,0)C.(,2 D.(,0)易错警示 定义域的请求求函数单调区间先求我 1 函数的单调区间是定义域的子集，求函数的单调区间必须做到“定义域优先”的原则 典例 1 函数 f(x)x2x6的单调增区间为_ 答案 2，)警示 求函数的单调区间，应该先求定义域，在定义域内寻找减区间、增区间；若增区间或减区间是间断的，要分开写，不能用“并集符号”合并联结 2利用函数单调性解不等式时也要先求定义域 典例 2 已知，定义在2,3上的函数 f(x)是减函数，则满足 f(x)f(2x3)的

8、 x的取值范围是_ 答案 12，3 警示 这类不等式应等价于：单调性和定义域构成的不等式组 高考真题体验 1下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是()Ay11x Bycos x Cyln(x1)Dy2x 选项 D 符合题意 2设函数 f(x)ln(1x)ln(1x)，则 f(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数 B奇函数，且在(0,1)上是减函数 C偶函数，且在(0,1)上是增函数 D偶函数，且在(0,1)上是减函数 故选 A.3下列函数中，既是偶函数又在区间(，0)上单调递增的是()Af(x)1x2 Bf(x)x21 Cf(x)x3 Df(x)2x 故选 A.4函数 f(x)xx

9、1(x2)的最大值为_ 答案：2 5已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若实数 a满足 f(2|a1|)f(2)，则 a 的取值范围是_ 答案：12，32 课时规范训练 A 组 基础演练 1函数 yx26x10 在区间(2,4)上是()A递减函数 B递增函数 C先递减再递增 D先递增再递减 解析：选 C.2已知 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f1xf(1)的实数 x 的取值范围是()A(，1)B(1，)C(，0)(0,1)D(，0)(1，)x 的取值范围是 x1 或 x0.3函数 f(x)中，满足“对任意 x1，x2(0，)，当 x1x2时，都有 f(x1)

10、f(x2)”的是()Af(x)1x Bf(x)(x1)2 Cf(x)ex Df(x)ln(x1)4如果函数 f(x)ax22x3 在区间(，4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是()Aa14 Ba14 C14a0 D14a0 综上所述得14a0.5函数 yx5xa2在(1，)上单调递增，则 a 的取值范围是()Aa3 Ba3 Ca3 Da3 选 C.6 已知f(x)为R上的减函数，则满足f1xf(1)的实数x的取值范围是_ 答案：(1,0)(0,1)7yx22|x|3 的单调增区间为_ 答案：(，1，0,1 8 已知函数 f(x)|xa|在(，1)上是单调函数，则 a 的取值范围是_ 答

11、案：(，1 9函数 f(x)x24x4 在闭区间t，t1(tR)上的最小值记为 g(t)(1)试写出 g(t)的函数表达式；(2)求 g(t)的最小值 g(t)t22t7 t1，8 1t2，t24t4 t2.(2)画出 g(t)的图象如图所示，由图象易知 g(t)的最小值为8.10已知 f(x)xxa(xa)(1)若 a2，试证（判断）f(x)在(，2)上单调递增；(2)若 a0 且 f(x)在(1，)上单调递减，求 a 的取值范围 B 组 能力突破 1 设函数f(x)loga|x|在(，0)上单调递增，则f(a1)与f(2)的大小关系是()Af(a1)f(2)Bf(a1)f(2)Cf(a1)

12、f(2)D不能确定 选 A.2已知 f(x)x24x3，x0 x22x3，x0，不等式 f(xa)f(2ax)在a，a1上恒成立，则实数 a 的取值范围是()A(，2)B(，0)C(0,2)D(2,0)选 A.3函数 f(x)log5(2x1)的单调递增区间是_ 答案：12，4 已知定义在区间(0，)上的函数 f(x)满足 fx1x2f(x1)f(x2)，且当 x1 时，f(x)0.（函数背景是什么？）(1)求 f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；(3)若 f(3)1，求 f(x)在2,9上的最小值 解：(1)令 x1x20，代入得 f(1)f(x1)f(x1)0，故 f(1)0

13、.(2)证明：任取 x1，x2(0，)，且 x1x2，则x1x21，由于当 x1 时，f(x)0，所以 fx1x20，即 f(x1)f(x2)0，因此 f(x1)f(x2)，所以 f(x)在(0，)上是单调递减函数(3)2,9(0，)，f(x)在2,9上为减函数 f(x)minf(9)由题意可知 f(x1)fx1x2f(x2)，f(9)f93f(3)2f(3)2.f(x)在2,9上的最小值为2.专题 函数的奇偶性与周期性 1函数的奇偶性 奇函数 偶函数 定义 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x 都有 f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 都有 f(x)f(x)，那么

14、函数 f(x)就叫做偶函数 图象特征 关于原点对称 关于 y 轴对称 2.函数的周期性(1)周期函数 对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期 (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(x)f(x)0.()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如果函数 f(x)，g(

15、x)为定义域相同的偶函数，则 F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)若 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ，n0)也是函数的周期()(5)函数 f(x)在定义域上满足 f(xa)f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数()(6)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)关于直线 xa 对称()(7)若函数 yf(xb)是奇函数，则函数 yf(x)关于点(b,0)中心对称()(8)若某函数的图象关于 y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数()考点一 判断函数的奇偶性 命题点 用函数奇偶性定义判断 例 1(1)下列函数为奇函数的是

16、()Ay x Byex Cycos x Dyexex 答案：D(2)下列函数中为偶函数的是()Ay1x Bylg|x|Cy(x1)2 Dy2x 答案：B(3)函数 f(x)3x2 x23，则()A不具有奇偶性 B只是奇函数 C只是偶函数 D既是奇函数又是偶函数 答案：D 方法引航 判断函数的奇偶性的三种重要方法(1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y 轴)对称(3)性质法：“奇奇”是奇，“奇奇”是奇，“奇奇”是偶，“奇奇”是偶；“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶；“奇偶”是奇，“奇偶”是奇 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)(x1)1x

17、1x；(2)f(x)lg1x1x.（其它底数）（其它变形形式）原函数是奇函数 考点二 函数的周期性及应用 命题点 1.周期性的简单判断 2.利用周期性求函数值 例 2(1)下列函数不是周期函数的是()Aysin x By|sin x|Cysin|x|Dysin(x1)答案：C(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，若对于 x0，都有 f(x2)1fx，且当 x0,2)时，f(x)log2(x1)，则求 f(2 017)f(2 019)的值为_ 答案：0 方法引航(1)利用周期 f(xT)f(x)将不在解析式范围之内的 x 通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值(2)判

18、断函数周期性的几个常用结论 f(xa)f(x)，则 f(x)为周期函数，周期 T2|a|.f(xa)1fx(a0)，则函数 f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；f(xa)1fx，则函数 f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期 1若将本例(2)中“f(x2)1fx”变为“f(x2)f(x)”，则 f(2 017)f(2 019)_.答案：0 2若本例(2)条件变为 f(x)对于 xR，都有 f(x2)f(x)且当 x0,2)时，f(x)log2(x1)，求 f(2 017)f(2 019)的值 f(2 017)f(2 019)2.拓展延伸：已知函数 f(x)(xR)满足 f(x)

19、2f(x)，若函数 yx1x与 yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则i1m(xiyi)()A0 Bm C2m D4m 解析：选 B.考点三 函数奇偶性的综合应用 命题点 1.已知奇偶性求参数 2.利用奇偶性、单调性求解不等式 3.利用奇偶性求解析式或函数值 例3(1)若函数f(x)2x12xa是奇函数，则使f(x)3成立的x的取值范围为()A(，1)B(1,0)C(0,1)D(1，)答案：C （注重多种解法）(2)函数 f(x)axb1x2是定义在(1,1)上的奇函数，且 f1225.确定函数 f(x)的解析式；用定义证明 f(x)在(1,1)上是增函数；解

20、不等式 f(t1)f(t)0.解：a1.f(x)x1x2，经检验适合题意 证明：（略）f(x)在(1,1)上为增函数 0t12.3.设奇函数()f x在(0，)上为增函数，且)1(f0，则不等式()()0f xfxx的解集为()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(，1)(1，)D(1,0)(0,1)(4)已知 f(x)是 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x3ln(1x)，则当 x0 时，f(x)()Ax3ln(1x)Bx3ln(1x)Cx3ln(1x)Dx3ln(1x)答案：C 方法引航 1根据奇偶性求解析式中的参数，是利用 fxfx或 fxfx在定义域内恒成立，建立参数关系.2

21、根据奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进行转化.1 已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是_ 答案：13 2定义在 R 上的偶函数 yf(x)在0，)上递减，且 f120，则满足 f(x)0 的 x 的集合为()A.，12(2，)B.12，1(1,2)C.0，12(2，)D.12，1(2，)满足不等式 f0 的 x 的集合为0，12(2，)3已知函数 f(x)xlog21x1x1，则 f12f12的值为()A2 B2 C0 D2log213 f12f122.方法探究“多法并举”解决抽象函数性质问题 典例 定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)

22、，f(x2)f(x)且f(x)在1,0上是增函数，给出下列四个命题：f(x)是周期函数；f(x)的图象关于 x1对称；f(x)在1,2上是减函数；f(2)f(0)，其中正确命题的序号是_(请把正确命题的序号全部写出来)分析关系 f(xy)f(x)f(y)隐含了用什么结论？什么方法探究？f(x2)f(x)，隐含了什么结论？用什么方法探究 若 f(x)的图象关于 x1 对称，其解析式具备什么等式关系？从何处理探究？f(x)在1,0上的图象与1,2上的图象有什么关系？依据什么指导？f(2)，f(0)从何处计算 解析 第一步：f(xy)f(x)f(y)对任意 x，yR 恒成立(赋值法)：令 xy0，f

23、(0)0.令 xy0，yx，f(0)f(x)f(x)f(x)f(x)，f(x)为奇函数 第二步：f(x)在 x1,0上为增函数，又 f(x)为奇函数，f(x)在0,1上为增函数 第三步：由 f(x2)f(x)f(x4)f(x2)f(x4)f(x)，(代换法)周期 T4，即 f(x)为周期函数 第四步：f(x2)f(x)f(x2)f(x)(代换法)又f(x)为奇函数，f(2x)f(x)，关于 x1 对称 第五步：由 f(x)在0,1上为增函数，又关于 x1 对称，1,2上为减函数(对称法)第六步：由 f(x2)f(x)，令 x0 得 f(2)f(0)f(0)(赋值法)答案 回顾反思 此题用图象法

24、更直观 高考真题体验 1(2014高考课标全国卷)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数 Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数 选 C.2已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x0 时，f(x)x31；当1x1 时，f(x)f(x)；当 x12时，fx12fx12.则 f(6)()A2 B1 C0 D2 解析：选 D 3已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f(x)4x，则 f52f(1)_.答案：2 4

25、(2015高考课标全国卷)若函数 f(x)xln(xax2)为偶函数，则 a_.答案：1 5设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1,1)时，f(x)4x22，1x0，x，0 x1，则 f32_.答案：1 课时规范训练 A 组 基础演练 1下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin x Byx2cos x Cy|ln x|Dy2x 解析：选 B.2下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()Ay2|x|Bylg(xx21)Cy2x2x Dylg1x1 解析：选 D.3若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)1，f(2)2，则 f(3)f(4)等于()A1 B1

26、 C2 D2 解析：选 A.4已知函数 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)x21x，则 f(1)()A2 B0 C1 D2 解析：选 A.5设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数，当 x2,1)时，f(x)4x22，2x0 x，0 x1，则 f52()A0 B1 C.12 D1 解析：选 D.6函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x2)1fx，若 f(1)5，则 f(f(5)_.答案：15 7已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(2)1，且对任意的 xR，都有 f(x3)f(x)，则 f(2 017)_.答案：1 8函数 f(x)exx(xR)可表示为奇函数

27、h(x)与偶函数 g(x)的和，则 g(0)_.答案：1 9已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当x(，0)时，f(x)xlg(2x)，求 f(x)的解析式 f(x)xlg2x x0，xlg2x x，0 B 组 能力突破 1 已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2(a0，且 a1)若 g(2)a，则 f(2)等于()A2 B.154 C.174 Da2 解析：选 B.3 已知定义在R上的奇函数 f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df

28、(25)f(80)f(11)解析：选 D.4 定义在R上的函数f(x)，对任意x均有f(x)f(x2)f(x2)且f(2 016)2 016，则 f(2 028)_.解析：xR，f(x)f(x2)f(x2)，f(x4)f(x2)f(x)f(x2)，f(x6)f(x)，f(x12)f(x)，则函数 f(x)是以 12 为周期的函数 又f(2 016)2 016，f(2 028)f(2 02812)f(2 016)2 016.答案：2 016 5 函数 f(x)的定义域为 Dx|x0，且满足对于任意 x1，x2D，有 f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的

29、奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f(4)1，f(x1)2，且 f(x)在(0，)上是增函数，求 x 的取值范围 解：(1)对于任意 x1，x2D，有 f(x1x2)f(x1)f(x2)，令 x1x21，得 f(1)2f(1)，f(1)0.(2)令 x1x21，有 f(1)f(1)f(1)，f(1)12f(1)0.令 x11，x2x，有 f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)依题设有 f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2f(|x1|)f(16)又 f(x)在(0，)上是增函数 0|x1|16，解得15x17 且 x1.x 的取值范

30、围是x|15x17 且 x1 专题 二次函数与幂函数 1幂函数(1)幂函数的定义 形如 yx(R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，为常数(2)五种幂函数的图象 (3)五种幂函数的性质 yx yx2 yx3 y yx1 定义域 R R R 0，)(，0)(0，)值域 R 0，)R 0，)(，0)(0，)奇偶性 奇 偶 奇 非奇 非偶 奇 单调性 增 x0，)时，增 x(，0 时，减 增 增 x(0，)时，减 x(，0)时，减 2.二次函数(1)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象 定义域 R 值域 4acb24a，4acb24a 单调性

31、 在，b2a上单调递减，在b2a，上单调递增 在，b2a上单调递增，在b2a，上单调递减 奇偶性 b0 时为偶函数，b0 时为非奇非偶函数 图象特点 对称轴：xb2a；顶点：b2a，4acb24a(2)二次函数表达式的三种形式 一般式：yax2bxc(a0)顶点式：ya(xh)2k(其中 a0，顶点坐标为(h，k)两根式：ya(xx1)(xx2)(其中 a0，x1、x2是二次函数的图象与 x 轴的两个交点的横坐标)3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当 0 时，幂函数 yx是定义域上的减函数()(2)二次函数 yax2bxc，xa，b的最值一定是4acb24a.()(3)二

32、次函数 yax2bxc，xR，不可能是偶函数()(4)当 n0 时，幂函数 yxn是定义域上的增函数()(5)若函数 f(x)(k21)x22x3 在(，2)上单调递增，则 k22.()考点一 二次函数解析式 命题点 1.一般式：yax2bxc(a0)2.顶点式：ya(xm)2n(a0)3.零点式：ya(xx1)(xx2)(a0)例 1(1)已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和2，且它有最小值1，则 f(x)_.答案：x22x 方法引航 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：1若函数 f(x)(xa)(bx2a)(常数 a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数

33、的解析式 f(x)_.答案：2x24 考点二 二次函数图象和性质 命题点 1.二次函数的最值 2.二次函数的单调性 3.二次方程及函数、不等式恒成立问题 例 2 已知函数 f(x)x22ax3，x4,6(1)当 a2 时，求 f(x)的最值；(2)求实数 a 的取值范围，使 yf(x)在区间4,6上是单调函数；解：(1)f(x)的最小值是 f(2)1，又 f(4)35，f(6)15，故 f(x)的最大值是 35.(2)由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 xa，所以要使 f(x)在4,6上是单调函数，应有a4 或a6，即 a6 或 a4.方法引航 1二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型

34、：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；2二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解；3对于二次函数的综合应用，要综合应用二次函数与二次方程和二次不等式之间的关系进行转化.1若本例已知条件不变，求 f(x)的最小值 当 a4 时，f(x)min198a.当6a4 时，f(x)min3a2.当 a6 时，f(x)min3912a.2若本例已知条件不变，f(x)0 在4,6上有两个不相等实根，求 a 的取值范围 解：要使 f(x)0，在4,6上有两个不等实根，需 fa04a6

35、f40f60即 3a20，6a4，198a0，3612a0.解得，134a 3或 3a198.3若本例中 f(x)0 在 x(0,6上恒成立，求 a 的取值范围 解：x22ax30，在 x(0,6上恒成立，即 2ax3x在 x(0,6上恒成立，只需求 ux3x，x(0,6的最大值 x3x2 3，当且仅当 x 3时，取等号 umax2 3，2a2 3，a 3.综合运用：已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3 的零点的集合为()注重巧解 A1,3 B3，1,1,3 C2 7，1,3 D2 7，1,3 解析：选 D.考点三 幂函数图象与性质

36、 命题点 1.幂函数图象 2.幂函数性质 例 3(1)幂函数 yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数 yf(x)的图象是()答案：C(2)已知函数 f(x)(m2m1)xm2m3 是幂函数，且 x(0，)时，f(x)是增函数，则 m 的值为()A1 B2 C1 或 2 D3 答案：B(3)已知 f(x)，若 0ab1，则下列各式正确的是()Af(a)f(b)f1af1b Bf1af1bf(b)f(a)Cf(a)f(b)f1bf1a Df1af(a)f1bf(b)答案：C 方法引航 1若幂函数 yxR是偶函数，则 必为偶数.当 是分数时，一般将其先化为根式，再判断.2若幂函数 yx在0，上单调

37、递增，则 0，若在0，上单调递减，则 0.,3在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.1若四个幂函数 yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图 象如图所示，则 a，b，c，d 的大小关系是()Adcba Babcd Cdcab Dabdc 解析：选 B.2若，则实数 a 的取值范围是_（陷阱）解析：不等式等价于 a132a0 或 32aa10 或 a1032a.解得 a1 或23a32.答案：(，1)23，32 规范答题“三个二次”间的转化 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数是“三个二次”的核

38、心，通过二次函数的图象将其贯穿为一体因此，有关二次函数的问题，常利用数形结合法、分类讨论法转化为方程与不等式来解决 典例(本题满分 12 分)已知 f(x)ax22x(0 x1)(1)求 f(x)的最小值；(2)若 f(x)1 恒成立，求 a 的范围；(3)若 f(x)0 的两根都在0,1内，求 a 的范围 规范解答(1)当 a0 时，f(x)2x 在0,1上递减，f(x)minf(1)2.当 a0 时，f(x)ax22x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x1a.2 分.当 01，即 0a1 时，f(x)ax22x 的图象的对称轴在0,1的右侧，f(x)在0,1上递减 f(x)minf(1)a

39、2.6 分 当 a0 时，f(x)ax22x 的图象的开口方向向下，且对称轴 x1a0，在 y 轴的左侧，f(x)ax22x 在0,1上递减 f(x)minf(1)a2.综上所述，f(x)min a2，a1，1a，a1.8 分(2)只需 f(x)min1，即可 由(1)知，当 a1 时，a21，a1(舍去)；当 a1 时，1a1 恒成立，a1.10 分(3)由题意知 f(x)0 时，x0，x2a(a0)，00,1，00 和 a0.第三层：对称轴 x1a与区间0,1的位置关系，左、内、右(2)讨论后要有总结答案 高考真题体验 1(2016高考全国丙卷)已知则()Abac Babc Cbca Dc

40、ab 解析：选 A.2(2015高考山东卷)设 a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是()Aabc Bacb Cbac Dbca 解析：选 C.3下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的是()Ay1x Byex Cyx21 Dylg|x|解析：选 C.4设函数则使得 f(x)2 成立的 x 的取值范围是_ 答案：(，8 5已知 a0，b0，ab8，则当 a 的值为_ 时，log2alog2(2b)取得最大值 答案：4 课时规范训练 A 组 基础演练 1若函数 f(x)是幂函数，且满足 f(4)3f(2)，则 f12的值为()A.13 B.12 C

41、.23 D.43 解析：选 A.2一次函数 yaxb 与二次函数 yax2bxc 在同一坐标系中的图象大致是()解析：选 C.4如果函数 f(x)x2bxc 对任意的实数 x，都有 f(1x)f(x)，那么()Af(2)f(0)f(2)Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2)Df(0)f(2)f(2)解析：选 D.5若 f(x)x2ax1 有负值，则实数 a 的取值范围是()Aa2 B2a2 Ca2 或 a2 D1a3 解析：选 C.6 若方程x211x30a0的两根均大于 5，则实数 a的取值范围是_ 解析：令 f(x)x211x30a.结合图象有 0f50，0a14.答案：0a

42、14 7 若二次函数 f(x)ax24xc 的值域为0，)，则 a，c 满足的条件是_ 解析：由已知得 a0，4ac164a0，a0，ac40.答案：a0，ac4 8已知 f(x)4x2mx5 在2，)上是增函数，则实数 m 的取值范围是_ 解析：因为函数f(x)4x2mx5 的单调递增区间为m8，所以m82，即m16.答案：(，16 9已知函数 f(x)x22ax1a 在 x0,1时有最大值 2，求 a 的值 解：函数 f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，对称轴方程为 xa.(1)当 a0 时，f(x)maxf(0)1a，1a2，a1.(2)当 0a1 时，f(x)maxa2a1，a2

43、a12，a2a10，a1 52(舍)(3)当 a1 时，f(x)maxf(1)a，a2.综上可知，a1 或 a2.10已知函数 f(x)ax2bx1(a，b 为实数，a0，xR)(1)若函数 f(x)的图象过点(2,1)，且方程 f(x)0 有且只有一个根，求 f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当 x1,2时，g(x)f(x)kx 是单调函数，求实数 k 的取值范围 解：(1)因为 f(2)1，即 4a2b11，所以 b2a.因为方程 f(x)0 有且只有一个根，所以 b24a0.所以 4a24a0，所以 a1，所以 b2.所以 f(x)(x1)2.(2)g(x)f(x)kxx22x1

44、kxx2(k2)x1xk2221k224.由 g(x)的图象知：要满足题意，则k222 或k221，即 k6 或 k0，所求实数 k 的取值范围为(，06，)B 组 能力突破 1若幂函数 y(m23m3)xm2m2的图象不过原点，则m 的取值是()A1m2 Bm1 或 m2 Cm2 Dm1 解析：选 B.由幂函数性质可知 m23m31，m2 或 m1.又幂函数图象不过原点，m2m20，即1m2，m2 或 m1.2如图是二次函数 yax2bxc 图象的一部分，图象过点 A(3,0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的是()A B C D 解析：选

45、B.由函数图象知，a0，与 x 轴有两个交点，b24ac0，即 b24ac.对称轴 xb2a1，2ab0.当 x1 时，对应最大值，f(1)abc0.b2a，a0，5a2a，即 5ab.3 已知幂函数 f(x)，若 f(a1)f(102a)，则 a 的取值范围是_ 解析：f(x)1x(x0)，易知 x(0，)时为减函数，又 f(a1)f(102a)，a10，102a0，a1102a，解得 a1，a5，a3，3a5.答案：(3,5)5已知函数 f(x)ax2bxc(a0，bR，cR)(1)若函数 f(x)的最小值是 f(1)0，且 c1，F(x)fx，x0，fx，x0，求 F(2)F(2)的值；

46、(2)若 a1，c0，且|f(x)|1 在区间(0,1上恒成立，试求 b 的取值范围 解：(1)由已知 c1，abc0，且b2a1，解得 a1，b2.f(x)(x1)2.F(x)x12，x0，x12，x0.F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)f(x)x2bx，原命题等价于1x2bx1 在(0,1上恒成立，即 b1xx 且 b1xx 在(0,1上恒成立 又1xx 的最小值为 0，1xx 的最大值为2.2b0.故 b 的取值范围是2,0 指数与指数函数 1根式(1)根式的概念 若 xna，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1 且 nN*，式子na叫做根式，这里 n 叫做根指数，a

47、 叫做被开方数(2)a 的 n 次方根的表示 xna xna当n为奇数且nN*时，xna当n为偶数且nN*时.2有理数指数幂(1)幂的有关概念 正分数指数幂：nam(a0，m，nN*，且 n1)；负分数指数幂：(a0，m，nN*，且 n1)；0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的性质 arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象与性质 yax a1 0a1 图象 定义域 R 值域(0，)性质 过定点(0,1)当 x0 时，y1；x0时，0y1 当 x0 时，0y1；x0 时，y1

48、在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 4.判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)nan与(na)n都等于 a(nN*)()(2)函数 yax是 R 上的增函数()(3)函数 yax21(a1)的值域是(0，)()(4)当 x0 时，yax1.()(5)函数 y2x11，过定点(0,1)()考点一 指数幂的运算 命题点 1.具体实数的根式与指数幂的运算 2.含字母的根式与指数幂的运算 解：方法引航 指数幂的化简方法 1有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算.2先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.3底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假

49、分数.4若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.1化简(1)0的结果为()（易错）A9 B7 C10 D9 解析：选 B.(1)01817.考点二 指数函数图象及应用 命题点 1.指数函数图象的变换 2.指数函数图象的应用 例 2(1)函数 f(x)axb的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b0 Ba1，b0 C0a1，b0 D0a1，b0 答案：D(2)k 为何值时，方程|3x1|k 无解？有一解？有两解？方法引航 1与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.2一些指数方程

50、、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.1函数 f(x)2|x1|的图象是()解析：选 B.f(x)2|x1|的图象是由 y2|x|的图象向右平移一个单位得到，故选 B.2(2017河北衡水模拟)若曲线|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 的取值范围是_ 解析：曲线|y|2x1 与直线 yb 的图象如图所示，由图象可知：如果|y|2x1与直线 yb 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b1,1 答案：1,1 考点三 指数函数的性质 命题点 1.比较指数式的大小 2.解指数方程或指数不等式 3.与指数函数复合的函数性质 例 3(1)(2017天津模拟)设 y140