梯形中的动点问题(8页).pdf

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1、初中数学 初中数学 3中考压轴题中的动点问题：动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量 X、Y 的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。这类题目难度较大从数学知识点来看，一般考察几何图像的判定和性质（如梯形，相似三角形，直角三角形等）以及函数和方程的知识等综合性很强.从数学思想方法看有：数形结

2、合的思想方法，转化的思想方法，分类讨论的思想方法，方程的数学，函数的思想方法等关键:动点中的分类讨论：抓住运动中的关键点，动中求静.1、如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=AD=DC=4，A=120动点 P、E、M 分别从 B、A、D 三点同时出发，其中点 P沿 BA 向终点 A 运动，点 E 沿 AD 向终点 D 运动，点 M 沿 DC 向终点 C 运动，且它们的速度都为每秒 2 个单位连接 PE、PM、EM，设动点 P、E、M 运动时间为 t（单位：秒），PEM 的面积为 S（1）判断PAE 与EDM 是否全等，说明理由；（2）连接 BD，求证：EPMABD；（3）求 S 与 t

3、的函数关系式，并求出PEM 的面积的最小值 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定；勾股定理；梯形。解答：解：（1）PAEEDM，理由如下：根据题意，得 BP=AE=DM=2t，AB=AD=DC=4，AP=DE=42t（1 分）在梯形 ABCD 中，AB=DC，PAE=EDM；（2 分）又 AP=DE，AE=DM，PAEEDM（3 分）（2）证明：PAEEDM，PE=EM，1=2（4 分）3+2=1+BAD，3=BAD；（5 分）AB=AD，；（6 分）EPMABD（7 分）（3）过 B 点作 BFAD，交 DA 的延长线于 F，过 P 点作 PGAD 交于 G；在 R

4、tAFB 中，4=180BAD=180120=60，BF=ABsin4=4sin60=SABD=（8 分）在 RtAPG 中，PG=APsin4=（42t）sin60=（2t）AG=APcos4=（42t）cos60=2t，GE=AG+AE=2t+2t=2+t PE2=PG2+GE2 （2t）2+（2+t）2=4t28t+16 EPMABD，=（9 分）SEPM=4 =；S 与 t 的函数关系式为 S=（0t2）（10 分）即 S=当 t=1，S 有最小值，最小值为 （12 分）另一解法（略解）在 RtAPG 中，PG=APsin4=（42t）sin60=（2t）AG=APcos4=（42t）

5、cos60=2t 在 RtMFD 中，FM=DMsinMDF=2tsin60=，DF=DMcosMDF=2tcos60=t GF=AG+AD+DF=2t+4+t=6，GE=AG+AE=2t+2t=2+t，EF=ED+DF=42t+t=4t；SEPM=S梯形 PGFMSPEGSEFM=（0t2）2 32()EPMABDsPEsBA2224t-8t+16t-2t+4=4414 2 3=4 32 3 t-2（1）333初中数学 初中数学 2、（2010湘潭）如图，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，D=90，ACBC，AB=10cm，BC=6cm，F 点以 2cm/秒的速度在线段 AB 上由 A 向

6、 B 匀速运动，E 点同时以 1cm/秒的速度在线段 BC 上由 B 向 C 匀速运动，设运动时间为 t 秒（0t5）（1）求证：ACDBAC；（2）求 DC 的长；（3）设四边形 AFEC 的面积为 y，求 y 关于 t 的函数关系式，并求出 y 的最小值 考点：二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质。解答：解：（1）CDAB，BAC=DCA（1 分）又 ACBC，ACB=90，D=ACB=90，（2 分）ACDBAC（3 分）（2）822BCAB，ACABCRt中 4 分 ACDBAC ABACACDC 5 分 即1088DC 解得：4.6DC 6 分（3）过点E作AB的垂线，垂

7、足为G，OACBEGB90,B 公共 ACBEGB 7 分 EGBEACAB 即108tEG 故tEG54 8 分 BEFABCSSy=24454542102186212tttt=19)25(542t 故当 t=时，y 的最小值为 19 3、（2007河北）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC=50，AD=75，BC=135点 P 从点 B 出发沿折线段 BAADDC 以每秒 5 个单位长的速度向点 C 匀速运动；点 Q 从点 C 出发沿线段 CB 方向以每秒 3 个单位长的速度匀速运动，过点 Q 向上作射线 QKBC，交折线段 CDDAAB 于点 E点 P、Q 同时开始运动，

8、当点 P 与点 C 重合时停止运动，点Q 也随之停止设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t0）（1）当点 P 到达终点 C 时，求 t 的值，并指出此时 BQ 的长；（2）当点 P 运动到 AD 上时，t 为何值能使 PQDC；（3）设射线 QK 扫过梯形 ABCD 的面积为 S，分别求出点 E 运动到 CD、DA 上时，S 与 t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）（4）PQE 能否成为直角三角形？若能，写出 t 的取值范围；若不能，请说明理由 考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质；平行四边形的判定。解：（1）t=（507550）5=35（秒）时，点P到达终

9、点C（1 分）此时，QC=353=105，BQ的长为 135105=30（2 分）（2）如图 8，若PQDC，又ADBC，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t 得 50755t=3t，解得t=1258经检验，当t=1258时，有PQDC（4 分）（3）当点E在CD上运动时，如图 9分别过点A、D 作AFBC于点F，DHBC于点H，则四边形ADHF为矩形，且ABFDCH，从而FH=AD=75，于是BF=CH=30DH=AF=40 又QC=3t，从而QE=QCtanC=3tCHDH=4t（注：用相似三角形求解亦可）S=SQCE=12QEQC=6t2；（6

10、分）当点E在DA上运动时，如图 8过点D作DHBC于点H，由知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QCCH=3t30 S=S梯形QCDE=12(EDQC)DH=120t600（8 分）初中数学 初中数学（4）PQE能成为直角三角形（9 分）当PQE为直角三角形时，t的取值范围是 0t25 且t1558或t=35（12 分）（注：（4）问中没有答出t1558或t=35 者各扣 1 分，其余写法酌情给分）下面是第（4）问的解法，仅供教师参考：当点P在BA（包括点A）上，即 0t10 时，如图 9过点P作PGBC于点G，则PG=PBsinB=4t，又有QE=4t=PG，易得四边形P

11、GQE为矩形，此时PQE总能成为直角三角形 当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即 10t25 时，如图 8 由QKBC和ADBC可知，此时，PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，即 5t503t3075，解得t1558 当点P在DC上（不包括点D但包括点C），即 25t35 时，如图 10由ED25330=45，可知，点P在以QE=40 为直径的圆的外部，故EPQ不会是直角 由PEQDEQ，可知PEQ一定是锐角对于PQE，PQECQE，只有当点P与C重合，即t=35 时，如图 11，PQE=90，PQE为直角三角形 综上所述，当PQE为直角三角形时，t的取值范围是 0t25 且t

12、1558或t=35 4、（2009青岛）如图，在梯形ABCD中，ADBC，6cmAD，4cmCD，10cmBCBD，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为 1cm/s，交BD于Q，连接PE若设运动时间为t（s）（05t）解答下列问题：（1）当t为何值时，PEAB？（2）设PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使225PEQBCDSS？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由 考点：平行线的判定；根据实际问题列二

13、次函数关系式；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质。解：（1）PEAB DEDPDADB 而10DEtDPt，10610tt，154t 当15(s)4tPEAB，2 分（2）EF平行且等于CD，四边形CDEF是平行四边形 DEQCDQEBDC ，10BCBD，DEQCDQEBDC DEQBCD DEEQBCCD 104tEQ 25EQt 过B作BMCD，交CD于M，过P作PNEF，交EF于N 221021004964 6BM EDDQBPt，102PQt 又PNQBMD，PQPNBDBM，102104 6tPN，4 6 15tPN 21124 64 64 6 12255255PEQt

14、SEQ PNttt 6 分 初中数学 初中数学（3）114 4 68 622BCDSCD BM 若225PEQBCDSS，则有24 64 628 625525tt，解得1214tt，（4）在PDE和FBP中，PDEPFCDEPFCDSSS五边形四边形 FBPPFCDSS四边形 8 6BCDS 在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变 12 分 5、如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，D=90，AD=9cm，CD=12cm，BC=15cm点 P 由点 C 出发沿 CA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，线段 EF 由 AB 出发沿 AD 方向匀速运动，速度为 1cm/s，且与 A

15、C 交于 Q 点，连接 PE，PF当点 P 与点 Q 相遇时，所有运动停止若设运动时间为 t（s）（1）求 AB 的长度；（2）当 PECD 时，求出 t 的值；（3）设PEF 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式；如图 2，当PEF 的外接圆圆心 O 恰在 EF 的中点时，则 t 的值是多少？（直接写出答案）考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；等腰三角形的判定；勾股定理；直角梯形；三角形的外接圆与外心。解：（1）过 A 作 AMBC 于 M，则四边形 AMCD 是矩形；AD=MC=9cm，AM=CD=12cm；RtABM 中，AM=12cm，BM=BCMC=6cm；由勾股定理

16、，得：AB=6cm（只写答案给 1 分）（3 分）（2）D=90，AD=9cm，CD=12cm，AC=15cm AP=15t 当 PECD 时AEPADC=即 解得 （符合题意）当 PECD 时，t=45/8（3）过点 E，F 作 EGAC 于 G，FHAC 于 H因为 AC=BC；EFAB 易证 AQ=AE=t（1 分）在 RTADC 中，sinDAC=DC/AC=12/15 EG=AEsinDAC=12/15t；ADBC ACB =DAC FH=CFsinACB=CFsinDAC=12/15(15-t)=12-12/15t PQ=15-2t EG+FH=12 SPEF=SPQE+SPQF=

17、+=12t+90；易知：AE=CP=t，AP=CF=CQ=15t，EAP=FCP，AEPCPF，EP=PF；EF 是O 的直径 EPF=90；EPF 是等腰直角三角形；易知 EF=AB=6cm；S=1/263=45cm2；代入的函数关系式，得：12t+90=45，解得 t=（3 分）点评：此题考查了直角梯形的性质、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形和相似三角形的判定和性质等知识的综合应用能力 t15-t=91545t=810DEBPtPDBFtPDEFBPPDEFBP，PQEG+FH2（）初中数学 初中数学 6、如图，在直角梯形中 OABC，已知 B、C 两点的坐标分别为 B（8，6）、C（10

18、，0），动点 M 由原点 O 出发沿 OB 方向匀速运动，速度为 1 单位/秒；同时，线段 DE 由 CB 出发沿 BA 方向匀速运动，速度为 1 单位/秒，交 OB 于点 N，连接 DM 若设运动时间为 t（s）（0t8）（1）当 t 为何值时，以 B、D、M 为顶点的三角形OAB 与相似？（2）设DMN 的面积为 y，求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）连接 ME，在上述运动过程中，五边形 MECBD 的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；直角梯形。专题：综合题；动点型；分类讨论。解：（1）分类讨论。若BAOBDM，则

19、，（1 分）在直角梯形中 OABC 由 B（8，6）、C（10，0）可知 AB=8，OA=6：OB=OC=10 8/t=10/10-t 解得 t=40/9 （2 分）若BAOBMD，（3 分）即 8/10-t=，解得 t=；（4 分）所以当 t=40/9 t=50/9，以 B，D，M 为顶点的三角形与OAB 相似（2）过点 M 作 MFAB 于 F，则BFMBAO；从而 MF/6=(10-t)/10，所以 MF=65/3t，（5 分）SBDM=1/2BDMF=1/2t（65/3t），（6 分）容易证BDNOBC SOBC=1/2106=30，SBDM/SOBC=（）2，所以 SBDN=t2（7

20、 分）当 0t5 时，y=SDMN=SBDMSBDN=t（6t）t2=t2+3t；当 5t8 时，y=SDMN=SBDNSBDM=t2t（6t）=（8 分）（3）在BDM 与OME 中，BD=OM=t，MBD=EOM，BM=EO=10t，所以BDMOME；（9 分）从而五边形 MECBD 的面积等于三角形 OBC 的面积，因此它是一个定值，SMECBD=30（10 分）点评：此题考查的知识点有：直角梯形的性质、相似三角形及全等三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，（2）题中一定要根据 M、N 的不同位置分类讨论，以免漏解 初中数学 初中数学 7、如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AB=D

21、C=AD=4，BDCD，E 是 BC 的中点（1）求DBC 的度数；（2）求 BC 的长；（3）点 P 从点 B 出发沿 BC 以每秒 3 个单位的速度向点 C 匀速运动，同时点 Q 从点 E 出发沿 ED 以每秒 1 个单位的速度向点 D 匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动 设运动时间为 t（s），连接 PQ 当 t 为何值时PEQ为等腰三角形 考点：梯形；等腰三角形的判定。解：（1）设DBC=x，因为 ADBC，AB=AD，所以ABD=ADB=x，四边形 ABCD 为等腰梯形，BCD=2x，又 BDCD，所以 x+2x=90，即 x=30即DBC=30（2）在 RtBCD 中

22、，E 是 BC 的中点，所以 DE=BE=CE 又C=60，所以CDE 为等边三角形所以 DE=DC=4，即 BC=2DE=8（3）若点 P 在 BE 上，因为PEQ=120，所以 PE=QE；即 43t=t，解之 t=1s；若 P 在 EC 上，因为PEQ=60，所以 PE=QE，即 3t4=t，解之 t=2s所以当 t=1s 或 t=2s 时，PEQ 是等腰三角形 8、（2009乐山）如图在梯形 ABCD 中，DCAB，A=90，AD=6 厘米，DC=4 厘米，BC 的坡度 i=3：4，动点 P 从 A 出发以 2 厘米/秒的速度沿 AB 方向向点 B 运动，动点 Q 从点 B 出发以 3

23、 厘米/秒的速度沿 BCD 方向向点 D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为 t 秒（1）求边 BC 的长；（2）当 t 为何值时，PC 与 BQ 相互平分；（3）连接 PQ，设PBQ 的面积为 y，探求 y 与 t 的函数关系式，求 t 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？考点：梯形；二次函数的最值。专题：分类讨论。解：（1）作 CEAB 于 E，则四边形 ADCE 是矩形46AECDCEDA，又33 44CEiEB ，812EBAB，.2 分 在RtCEB中，由勾股定理得：2210BCCEEB3 分（2）要使 PC 与 BQ 相互平分

24、由DCAB，只需保证四边形 CPBQ 是平行四边形，此时Q在CD上）由（1），得AB=4+8=12，则PB=12 2t 即310122CQBPtt，解得225t，即225t 秒时，PC与BQ相互平分（3）当Q在BC上，即1003t 时，作QFAB于F，则CEQF QFBQCEBC，即396105QFttQF 8 分 119(122)225PBQtSPB QFt=2981(3)55t 9 分 当3t 秒时，PBQS有最大值为2815厘米 10 分 当Q在CD上，即101433t 时，11(122)622PBQSPB CEt=366t易知S随t的增大而减小故当103t 秒时，PBQS有最大值为21

25、0366163厘米 综上，当3t 时，PBQS有最大值为2815厘米 12 分 29541055381165101463633tttytt，0，初中数学 初中数学 9、如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC，AD=6，BC=12，梯形 ABCD 的面积为 36，动点 P 从 D 点出发沿 DC 以每秒 1个单位的速度向终点 C 运动，动点 Q 从 C 点出发沿 CB 以每秒 2 个单位的速度向点 B 运动，两点同时出发，点 P 到达点C 时，Q 点随之停止运动（1）线段 CD 的长为 5；（2）设 P、Q 运动时间为 t（0t5）秒，PQ 与梯形 ABCD 的边 DC、BC 所围成的

26、三角形的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使以 P、Q、C 三点为顶点的三角形是直角三角形，若有，请求出相应时间；若没有，请说明理由 考点：梯形；一次函数综合题；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质。专题：代数几何综合题；存在型；分类讨论。分析：（1）作 AEBC，DFBC，则四边形 ADFE 是矩形，ABEDCF，由勾股定理可求得 CD 的值；（2）过点 P 作 PGBC 于点 G，则 PG 是PCQ 的高，由平行线的性质可求得高 PG 用 t 表示的代数式，而 CQ=2t，故可求得 S 与 t 的关系式；（3）分两种情况讨论：当 PQBC 时，作

27、DEBC 于 E，由平行线分线段成比例可求解；当 QPCD 时，可由相似三角形的性质求解 解答：解：（1）作 AEBC，DFBC，垂足分为点 E、F，则四边形 ADFE 是矩形，EF=AD=6，AE=DF，由题意四边形 ABCD 是等腰梯形，AB=CD，AEB=DFC，ABEDCF，CF=BE=（BCEF）2=3 梯形的面积为 36，DF=362（AD+BC）=362（6+12）=4 在 RtCDF 中，由勾股定理得 CD=5；（2）过点 P 作 PGBC 于点 G，则 PG 是PCQ 的高，有 PGDF，PG：DF=CP：CD，DP=t，CD=5，DF=4，PC=CDDP PG=，CQ=2t

28、，SPCQ=CQPG=2t=（3）当 P、Q、C 三点构成的三角形是直角三角形时，有两种情况：当 PQBC 时，作 DEBC 于 E，PQDE，=，t=（7 分）当 QPCD 时，QPC=DEC=90，C=C，QPCDEC，=，=，t=（9 分）由、知：当 t=或时，P、Q、C 三点构成的三角形是直角三角形 点评：本题考查了等腰梯形的性质，利用了平行线分线段成比价的性质、相似三角形的知识注意处级（3）小题要分两种情况讨论 初中数学 初中数学 10、菱形 ABCD 的边长为 24 厘米，A=60，质点 P 从点 A 出发沿着 ABBDDA 作匀速运动，质点 Q 从点 D 同时出发沿着线路 DCC

29、BBD 作匀速运动（1）求 BD 的长；（2）已知质点 P、Q 运动的速度分别为 4cm/秒、5cm/秒，经过 12 秒后，P、Q 分别到达 M、N 两点，若按角的大小进行分类，请问AMN 是哪一类三角形，并说明理由 考点：菱形的性质。专题：计算题；动点型。分析：（1）根据菱形各边长相等和A=60即可求证ABD 为等边三角形；（2）根据菱形的边长和 P、Q 的移动速度可以求得 M、N 的位置，即可求得AMN 的形状 解答：解：（1）菱形各边长相等，边长为 24cm，A=60，ABD 为等边三角形，BD=24 厘米，（2）P 点的移动速度为 4cm/秒、Q 的移动速度为 5cm/秒，故 12 秒

30、后 P 与 D 重合、Q 点为线段 BD 的中点，AMN 为直角三角形 点评：本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了等边三角形的判定，考查了等腰三角形的腰长相等的性质，本题中正确求得 M、N 的位置是解题的关键 11、如图矩形 ABCD 中，AB=10cm，AD=6cm，在 BC 边上取一点 E，将ABE 沿 AE 翻折，使点 B 落在 DC 边上的点 F 处（1）求 CF 和 EF 的长；（2）如图 2，一动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度沿 AF 向终点 F 作匀速运动，过点 P 作 PMEF 交 AE 于点 M，过点 M 作 MNAF 交 EF 于点 N设点 P 运动的时间

31、为 t（0t10），四边形 PMNF 的面积为 S，试探究 S 的最大值？（3）以 A 为坐标原点，AB 所在直线为横轴，建立平面直角坐标系，如图 3，在（2）的条件下，连接 FM，若AMF 为等腰三角形，求点 M 的坐标 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质。专题：代数几何综合题；动点型；分类讨论。分析：（1）根据翻折对称性 EF=BE，AF=AB，利用勾股定理求出 DF 的长，CF=ABDF，在CEF 中，设 EF 为 x，则 CE=6x，利用勾股定理列式求解即可求出 EF；（2）根据相似三角形对应边成比例求出 PM 的长，矩形的面积等于 PM

32、PF，再根据二次函数最值问题求解；（3）因为三角形的腰不明确，分 AM=MF 和 AM=AF 两种情况讨论，当 AM=MF 时，根据等腰三角形三线合一的性质点 M是 AE 的中点，根据三角形中位线定理即可求出点 M 的坐标；当 AM=AF 时，根据相似三角形对应边成比例求解点 M 的坐标 解：（1）由题意，得 AB=AF=10，AD=6，DF=8，CF=2（2 分）设 EF=x，则 BF=EF=x，CE=6x 在 RtCEF 中，22+（6x）2=x2解得，；（4 分）（2）PMEF，APMAFE，即，PMNF 是矩形，S=PMPF=（6 分），当时，；（8 分）（3）若 AM=FM，则，过点 M 作 MGAB 于 G，则AMGAEB，M（5，）；（11 分）若 AM=AF=10，过点 M 作 MHAB 于 H，由AMHAEB，得 AH=3，MH=，M（3，）故点 M 的坐标为（5，）或（3，）点评：本题综合性较强，主要利用勾股定理，等腰三角形的性质，二次函数最值问题求解，相似三角形对应边成比例的性质，熟练掌握各定理和性质并灵活运用是解