2014年学大教育北京分公司高三数学理科上学期期末考试试卷(1).pdf

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1、2014 年学大教育北京分公司高三年级上学期期末考试试卷（理科）第一部分（选择题 共 40 分)一、选择题共 8 小题,每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1设集合Ax|2x4，Bx|3x782x,则AB等于（)Ax3x4 Bx|x3 Cx|x2 D x|x2 解析 Bx|3x782xxx3，结合数轴得：ABxx2 答案 D 2 已知复数z1=2+i,z2=1+2i，则复数z=z2z1在复平面内所表示的点位于 A.第一象限 B。第二象限 C.第三象限 D。第四象限 答案：B 解析:），在第二象限。表示的点是（1,1-,1iz 3“1x”是“21x”的

2、 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D。既不充分也不必要条件 答案:A 解析：而不必要条件。所以前者是后者的充分或解得,11,12xxx 4 一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（)A48 B328错误!C488错误!D8 答案C 解析：换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形,高为 4 的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为 2，4,高为 4,故腰长为错误!，所以该几何体的表面积为488错误!.5。若实数yx,满足100 xyx,则1yx的取值范围是（)A、（1，1）B、(,1）(1，）C、(，1）D1，）答案：B 解析：由几何意义可得：1yx的

3、取值范围转化为可行区域的点与点)0,1(的斜率的取值范围，由图可知答案为（，1）(1，)。6。已知Sn是等差数列an的前n项和S100 并且S110，若SnSk对nN*恒成立,则正整数k构成的集合为(）A 5 B 6 C 5，6 D7 答案:C 解析:S100,S110，S10错误!0a1a100a5a60，S11错误!0a1a112a60,故可知，数列an 是递减数列且a60，所以S5S6Sn，即k5 或 6,故答案选 C。7 设为双曲线22112yx 上的一点，12FF，是该双曲线的两个焦点，若12|:|3:2PFPF，则12PF F的面积为(）A6 3 B C。12 3 D 答案:B 解

4、析：双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：1,2 3,13abc。设;12123,2.22,2.PFr PFrPFPFar 于是2221212126,4.52PFPFPFPFFF，xOy01 yx故知PF1F2 是直角三角形，F1P F2=90.1 212116 41222PF FSPFPF.选 B。XYOF1F2P2r 8 已知函数)(xfy，Rx，有下列 4 个命题：若)21()21(xfxf，则)(xf的图象关于直线1x对称；)2(xf与)2(xf的图象关于直线2x对称;若)(xf为偶函数，且)()2(xfxf，则)(xf的图象关于直线2x对称；若)(xf为奇函数，且)2()(xfxf,则)

5、(xf的图象关于直线1x对称。其中正确命题的个数为（）.A.1 个 B.2 个 C。3 个 D。4 个 答案:C 解析：令 t=1+2x，可得 2x=t-1,代入 f(1+2x）=f(1-2x）得 f（t)=f（2-t)由于t1|=2t1，故可知函数 y=f（x)图象关于直线 x=1 对称,即 y=f（x）的图象关于直线 x=1 对称,故是真命题 由题设知 y=f（2-x)=f （x2），由于函数 y=f(x）与 y=f(-x）的图象关于直线 x=0 对称，又 y=f（x-2)与 y=f（2x）的图象可由函数 y=f（x）与 y=f(-x)的图象右移动 2 个单位而得到，y=f（x2)与 y=

6、f（2x）的图象关于直线 x=2对称，故是真命题 f（x）为偶函数，且 f（2+x)=-f（x)，用-x 换 x 得，f（2-x）=f（-x）=-f(x）=f（2+x）f（x）的图象关于直线 x=2 对称，故是真命题 y=f（x）为奇函数，且 f(x）=f(-x-2）,用-x 换 x 得，f（x)=f（x2），y=f（x）的图象关于直线 x=-1 对称，故是假命题故选 C 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分,共 30 分。9圆错误!（cossin）的圆心坐标为_ 答案 错误!解析 可化为直角坐标方程错误!2错误!21 或化为2cos错误!，这是2rcos

7、（0）形式的圆的方程 10 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序，则输出 n 的值为（)答案：4 解析：第一次:S0（1)1112,n112，第二次：S1（1）2212，n213，第三次：S1(1)3322，n314，第四次:S2(1）442，满足 S2,故输出的 n 值为 4。11、如图，在半径为错误!的O 中，弦 AB,CD 相交于点 P，PAPB2，PD1，则圆心 O到弦 CD 的距离为_ 答案：错误!解析：在O 中,PAPBPCPD，22PC1，PC4，CD5 圆心 O 到 CD 的距离为 22572错误!错误!12在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c。若 b

8、2 5,B错误!，sin C错误!，则 c_；a_。答案：c=2 2，a=6 解析：根据正弦定理得bsin B错误!，则 c错误!2错误!，再由余弦定理得 b2a2c22accos B,即 a24a120，(a2）(a6)0，解得 a6 或 a2（舍去)13、2010 年上海世博会某国将展出 5 件艺术作品，其中不同书法作品 2 件、不同绘画作品 2件、标志性建筑设计 1 件，在展台上将这 5 件作品排成一排，要求 2 件书法作品必须相邻，2 件绘画作品不能相邻，则该国展出这 5 件作品不同的方案有_种(用数字作答）答案：24 解析：将 2 件必须相邻的书法作品看作一个整体，同 1 件建筑设计

9、展品全排列,再将 2 件不能相邻的绘画作品插空，故共有 A错误!A错误!A错误!24（种）不同的展出方案 14 下列如图所示是正方体和正四面体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是 、三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15。（本小题满分 13 分）设函数21()3sin coscos,2f xxxxxR(I）求函数()f x的最小值；（II）已知 AABC 内角，A，B，C 的对边分别为 a，bc，满足sin2sin0BA且3,()0cf C，求 a,b 的值,16（本小题共 13 分）某班共有学生 40 人，将一次数学考试成绩（单

10、位：分)绘制成频率分布直方图,如图所示 ()请根据图中所给数据，求出 a 的值；(）从成绩在50,70)内的学生中随机选 3 名学生,求这 3 名学生的成绩都在60,70)内的概率；（)为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在50,70)内的学生中随机选取 3 人的成绩进行分析,用 X 表示所选学生成绩在60,70)内的人数，求 X 的分布列和数学期望 17（本小题满分 14 分）如图,四边形ABCD与BDEF均为菱形,60DBFDAB，且FAFC（）求证：AC 平面BDEF；（）求证:FC平面EAD；（）求二面角BFCA的余弦值 18.（本小题满分 14 分)设函数()lnf xaxx，aR

11、 （）求函数)(xf的单调区间;（）当0a 时，若对任意0 x，不等式()2f xa成立，求的取值范围；（)当0a 时，设10 x，20 x，试比较)2(21xxf与2)()(21xfxf的大小并说明理由 19(本小题共 13 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点0,1,且离心率为32。（）求椭圆的方程；（）12,A A为椭圆的左、右顶点，直线:2 2l x 与轴交于点，点是椭圆上异于12,A A的动点，直线12,A P A P分别交直线于,E F两点.证明：DEDF恒为定值.ECBADF20。（本小题满分 13 分）对于数列123:,(,1,2,3)iA a a aaiN,定义“

12、变换”：将数列变换成数列123:,B b b b,其中1|(1,2)iiibaai，且331|baa。这种“变换”记作()BT A.继续对数列进行“变换，得到数列123:,C c c c，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束（）试问:2,6,4A经过不断的“变换能否结束？若能,请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（）设123:,A a a a,()BT A若:,2,()B ba ab,且的各项之和为2012（）求，；（）若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由 2014 年学大教育北京分公司高三年级上学期期末考试试卷（理科）答案 一、1、D 2

13、、B 3、A 4、C 5、B 6、C 7、B 8、C 二、9、错误!；10、4 11、错误!12、c=2错误!,a=6；13、24；14、；注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分 三、15 16解：（）根据频率分布直方图中的数据，可得 1(0.0050.00750.02250.035)100.1 0.070.0310a，所以0.03a 2 分（）学生成绩在50,60)内的共有 400.05=2 人，在60,70)内的共有 400.225=9 人，成绩在50,70)内的学生共有 11 人4 分 设“从成绩在50,70)的学生中随机选 3 名，且他们的成绩都在60,70)

14、内”为事件 A,5 分 则3931128()55CP AC7 分 所以选取的 3 名学生成绩都在60,70)内的概率为2855（)依题意，X 的可能取值是 1，2，38 分 21293113(1)55C CP XC；122931124(2)55C CP XC;28(3)()55P XP A10 分 所以 X 的分布列为 1 2 3 355 2455 2855 11 分 324282712355555511E 13 分 17。（本小题满分 14 分）（）证明:设AC与BD相交于点，连结FO 因为 四边形ABCD为菱形,所以BDAC，且为AC中点 1 分 又 FCFA,所以 ACFO 3 分 因为

15、 OBDFO,所以 AC平面BDEF4 分（）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以AD/BC，DE/BF，所以 平面FBC/平面EAD7 分 又FC平面FBC，所以FC/平面EAD8 分（）解：因为四边形BDEF为菱形,且60DBF,所以DBF为等边三角形 因为为BD中点，所以BDFO，故FO 平面ABCD 由OFOBOA,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyzO 9分 设2AB因为四边形ABCD为菱形，60DAB，则2BD，所以1OB,3OAOF 所以)3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(FCBAO 所以(3,0,3)CF,(3,1,

16、0)CB 设平面BFC的法向量为=()x,y,zn,则有0,0.CFCBnn 所以 03,033yxzx 取1x，得)1,3,1(n12 分 易知平面AFC的法向量为(0,1,0)v13 分 由二面角BFCA是锐角,得 15cos,5 n vn vn v 所以二面角BFCA的余弦值为515 14 分 18（本小题满分 14 分）解：函数()f x的定义域为(0,)。1 分（）由题意21)(,0 xxaxfx，2 分(1)当0a 时,由0)(xf得012xxa，解得ax1，函数)(xf的单调递减区间是)1,0(a；由0)(xf得012xxa,解得ax1,函数)(xf的单调递增区间是),1(a4

17、分（2）当0a 时，由于0 x，所以21()0afxxx恒成立，函数)(xf的在区间(0)上单调递减 5 分（）因为对于任意正实数，不等式()2f xa成立，即xxaa1ln2恒成立 因为0a,由（）可知 当ax1时，函数()lnf xaxx有最小值aaaaaaafln1ln)1(7 分 所以aaaxfaln)(2min,解得10ea 故所求实数的取值范围是1(0,e9 分（)因为121212()ln22xxxxfaxx，121212()()1(lnln)22f xf xaxaxxx 1212121212121 ln(ln22xxxxax xax xx xx x.10 分 所以12121212

18、121212()()()lnln2222xxf xf xxxxxfaax xxxx x 1212121212()ln2()2xxxxax x xxx x（1）显然，当12xx时,1212()()()22xxf xf xf11 分（2）当12xx时，因为0,021xx且0a，所以221 xx21xx，所以02ln,1221212121xxxxaxxxx12 分 又121212()02()xxx x xx，所以1212121212()ln02()2xxxxax x xxx x 所以02)()()2(2121xfxfxxf,即2)()()2(2121xfxfxxf 综 上 所 述,当12xx时，12

19、12()()()22xxf xf xf；当12xx时，2)()()2(2121xfxfxxf14 分 19（(共 13 分)（）解：由题意可知，1b，32ca,解得2a。4 分 所以椭圆的方程为2214xy。5 分（）证明:由（）可知,1(2,0)A，2(2,0)A.设00(,)P xy，依题意022x，于是直线1A P的方程为00(2)2yyxx，令2 2x，则00(2 22)2yyx.即00(2 22)2yDEx。7 分 又直线2A P的方程为00(2)2yyxx,令2 2x,则00(2 22)2yyx，即00(2 22)2yDFx。9 分 所以22000022000044(2 22)(2

20、 22)2244yyyyDEDFxxxx，11 分 又00(,)P xy在2214xy上，所以220014xy，即220044yx，代入上式，得2020414xDEDFx，所以|DEDF为定值。13 分 20(本小题满分 13 分）（）解：数列:2,6,4A不能结束，各数列依次为4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；以下重复出现,所以不会出现所有项均为的情形3 分（)解：（)因为的各项之和为2012，且ab，所以为的最大项，所以13|aa最大，即123aaa，或321aaa5 分 当123aaa时，可得122313,2,.baaaaaaa 由22012ab，得132()2

21、012aa,即1006a，故1004b 7 分 当321aaa时，同理可得1006a，1004b 8 分（）方法一：由,2,2bb，则经过次“变换”得到的数列分别为：2,2bb；2,2,4bb；4,2,6bb；6,8,2bb；2,10,8bb；12,2,10bb 由此可见，经过次“变换”后得到的数列也是形如“,2,2bb”的数列,与数列“结构完全相同，但最大项减少 12 因为100612 83 10，所以，数列经过6 83498次“变换”后得到的数列为8,2,10 接下来经过“变换”后得到的数列分别为:6,8,2；2,6,4;4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2;2,0,2，从以上分

22、析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小 所以经过4984502次“变换”得到的数列各项和最小，的最小值为502 13 分 方法二：若一个数列有三项,且最小项为,较大两项相差，则称此数列与数列“结构相同”若数列的三项为2,2(2)xxx,则无论其顺序如何，经过“变换”得到的数列的三项为,2,2x x（不考虑顺序)所以与结构相同的数列经过“变换”得到的数列也与结构相同，除外其余各项减少，各项和减少 因此，数列:1004,2,1006B经过502次“变换”一定得到各项为2,0,2（不考虑顺序)的数列 通过列举，不难发现各项为0,2,2的数列,无论顺序如何，经过“变换”得到的数列会重复出现,各项和不再减少 所以,至少通过502次“变换”，得到的数列各项和最小，故的最小值为502 13 分