2017年高考全国1卷理科数学和答案详解.pdf

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1、 绝密启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案

2、；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合A=x|x1000 的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入 AA1 000 和n=n+1 BA1 000 和n=n+2 CA1 000 和n=n+1 DA1 000 和n=n+2 9已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin(2x+23)，则下面结论正确的是 A把C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，

3、得到曲线C2 B把C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2 C把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C2 D把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2 10已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A16 B14 C12 D10 11设xyz为正数，且235xyz，则 A2x3y5z B5z2x3y

4、C3y5z2x D3y2x100 且该数列的前N项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是 A440 B330 C220 D110 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量a，b的夹角为 60，|a|=2，|b|=1，则|a+2 b|=.14设x，y满足约束条件21210 xyxyxy，则32zxy的最小值为 .15已知双曲线C：22221xyab（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若MAN=60，则C的离心率为_。16如图，圆形纸片的圆心为O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O

5、。D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为23sinaA （1）求 sinBsinC;（2）若 6cosBcos

6、C=1，a=3，求ABC的周长.18.（12 分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且90BAPCDP.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APD，求二面角A-PB-C的余弦值.19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求(1)P X 及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(

7、3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 （）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得16119.9716iixx，161622221111()(16)0.2121616iiiisxxxx，其中ix为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,16i 用样本平均数x作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判

8、断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3,3)之外的学科网数据，用剩下的数据估计和（精确到 0.01）附：若随机变量Z服从正态分布2(,)N，则(33)0.997 4PZ，160.997 40.959 2，0.0080.09 20.（12 分）已知椭圆C：2222=1xyab（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.21.（12 分）已知函数)f x（ae2x+(a2)exx.（1）讨论()f x的单调性；（

9、2）若()f x有两个零点，求a的取值范围.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos,sin,xy（为参数），直线l的参数方程为 4,1,xattyt（为参数）.（1）若a=1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求 a.23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数f（x）=x2+ax+4，g(x)=x+1+x1.（1）当a=1 时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求

10、a的取值范围.2017 高考全国卷数学答案及解析 1 正确答案及相关解析 正确答案 A 解析 由 ，所以，即，则可得由0|0|1|0|033130 xxxxxxBAxxBxxx 1|0|1|xxxxxxBA 故选 A.考查方向（1）集合的运算（2）指数运算性质.解题思路 应先把集合化简再计算，再直接进行交、并集的定义运算.易错点 集合的交、并集运算灵活运用 2 正确答案及相关解析 正确答案 B 解析 设正方形边长为 a，则圆的半径为2a，正方形的面积为2a，圆的面积为42a.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是8

11、42122aa，选 B.考查方向 几何概型 解题思路 正方形边长为 a，则圆的半径为2a，正方形的面积为2a，圆的面积为42a.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，再由几何概型概率的计算公式得出结果 易错点 几何概型中事件 A 区域的几何度量 3 正确答案及相关解析 正确答案 B 解析 令),(Rbabiaz，则由01122bRbabiabiaz得，所以Rz，1P正确；由RiRi,12知，2P不正确；由不正确；知321211,PRzzizz 4P显然正确，故选 B.考查方向（1）命题及其关系；（2）复数的概念及几何意义.解题思路 根据复数的分类，复数运算性质依次对每一个进行验证命题的

12、真假，可得答案 易错点 真假命题的判断 4 正确答案及相关解析 正确答案 C 解析 设公差为,247243,11154dadadaaad 481562566116dadaS，联立,48156a2472a11dd解得d=4，故选 C.考查方向 等差数列的基本量求解 解题思路 设公差为d，由题意列出两个方程，联立,48156a2472a11dd求解得出答案 易错点 数列的基本量方程组的求解 5 正确答案及相关解析 正确答案 D 解析 成立，单调递减，要使为奇函数且在因为1)(1),()(xfxf12111xxx，从而由满足则 311)2(131，取值范围为成立的，即满足得xxfx，选 D.考查方向

13、（1）函数的奇偶性；（2）函数的单调性 解题思路 由函数为奇函数且在)(，单调递减，单调递减若1)(1xf，满足11x，从而由121x得出结果 易错点 函数的奇偶性与单调性的综合应用 6 正确答案及相关解析 正确答案 C 解析 因为626621111111xxxxx，则61x展开式中含2x的项为2226151xxC，6211xx展开式中含2x的项为24462151xxCx，故2x的系数为 15+15=30，选 C.考查方向 二项式定理 解题思路 将第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，再分析好2x的项的系数，两项进行加和即可求出答案 易错点 准确分析清楚构成2x这一项的不同情况 7 正确

14、答案及相关解析 正确答案 B 解析 由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12212422，故选 B.考查方向 简单几何体的三视图 解题思路 由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，由边的关系计算出梯形的面积之和 易错点 根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量 8 正确答案及相关解析 正确答案 D 解析 由题意，因为100023nn，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入1000A，故填1000A，又要求n为偶数且初始值为 0，所以矩形框内填2 nn，故选

15、D.考查方向 程序框图的应用。解题思路 通过程序框图的要求，写出每次循环的结果得到输出的值 易错点 循环结构的条件判断 9 正确答案及相关解析 正确答案 D 解析 因为2,1CC函数名不同，所以先将2C利用诱导公式转化成与1C相同的函数名，则62cos2322cos322sin:2xxxyC，则由1C上各点的横坐标缩短到原来的21倍变为xy2cos，再将曲线向左平移12个单位长度得到2C，故选D.考查方向（1）诱导公式；（2）三角函数图像变换.解题思路 首先利用诱导公式将不同名函数转换成同名函数，62cos2322cos322sin:2xxxyC；再进行图象的变换 易错点 对变量x而言进行三角

16、函数图像变换 10 正确答案及相关解析 正确答案 A 解析 设直线1l方程为11xky，取方程1412xkyxy 得212121212121212214242,042kkkkxxkxxkxk 同理直线2l与抛物线的交点满足22224342kkxx 由抛物线定义可知1681628444424222221222122222114321kkkkkkkkpxxxxDEAB 当且仅当121kk（或1）时，取得等号.考查方向（1）抛物线的简单性质；（2）均值不等式 解题思路 设直线1l方程为11xky，联立1412xkyxy，则21212121214242kkkkxx，同理算出22224342kkxx，再

17、由得pxxxxDEAB24321，利用均值不等式求出最小值 易错点 抛物线焦点弦公式 11 正确答案及相关解析 正确答案 D 解析 令)1(532kkzyx，则kzkykx532log,log,log，18lg9lglg33lg2lglg232kkyx，则yx32，132lg25lglg55lg2lglg252kkzx，则zx52，故选 D.考查方向 指、对数运算性质 解题思路 令)1(532kkzyx，则kzkykx532log,log,log，分别比较yx32，zx52得出结果 易错点 比较数的大小 12 正确答案及相关解析 正确答案 A 解析 由题意得，数列如下：1，1，2 1，2，4

18、1，2，4，12k 则该数列的前2)1(21kkk项和为 22)221()21(12)1(11kkkSkk，要使1002)1(kk，有14k，此时122kk，所以2k是第1k组等比数列k2,2,1的部分和，设1222121ttk，所以1432tk，则5t，此时29325k，所以对应满足条件的最小整数440523029N，故选 A.考查方向 等差数列、等比数列的求和.解题思路 由题意列出数列，即为 1，1，2 1，2，4 1，2，4，12k，得出一个新的数列，其22)221()21(12)1(11kkkSkk，再由题1002)1(kk，有14k，再设1222121ttk，所以1432tk，则5t

19、，此时29325k，进而求出最小的整数 N 易错点 观察所给定数列的特征，进而求数列的通项和求和 13 正确答案及相关解析 正确答案 32 解析 12460cos1244442222bbaaba，所以32122 ba.考查方向 平面向量的运算.解题思路 将ba2平方得12460cos1244442222bbaaba，很容易得出结果 易错点 平面向量中求模长的通常是见模平方 14 正确答案及相关解析 正确答案-5 解析 不等式组表示的可行域如图所示，易求得)31,31(),31,31(,1,1CBA，由yxz23 得223zxy在y轴上的截距越大，z就越小，所以，当直线yxz23 过点A时，Z取

20、得最小值，所以Z的最小值为512)1(3.考查方向 线性规划的应用 解题思路 作出不等式组对应的平面区域，根据 z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论 易错点 z 的几何意义 15 正确答案及相关解析 正确答案 332 解析 如图所示，作MNAP，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则MN为双曲线的渐近线xaby 上的点，且)0,(aA，bANAM，而MNAP，所以30PAN，点)0,(aA到直线xaby 的距离221abbAP，在PANRt中，NAPAPAN cos，代入计算得223ba，即ba3，由222bac得bc2，所以33232bbace.考查方向 双曲线的简单性质.解题

21、思路 MN为双曲线的渐近线xaby 上的点，且)0,(aA，bANAM，又由题知221abbAPcab，在在PANRt中由边的关系，由边角关系求出ba3，进而求出离心率 易错点 双曲线渐近线性质的灵活应用 16 正确答案及相关解析 正确答案 154 解析 如下图，设正三角形的边长为 x，则xxOG632331.xSGFG635，3355636352222xxGOSGhSO 三棱锥的体积5433512153355433131xxxhSVABC.令54335)(xxxn，则4333520)(xxxn，令34,034,0)(43xxxxn，15445481275maxV.考查方向 简单几何体的体积

22、解题思路 设正三角形的边长为 x，则xxOG632331.xSGFG635，SO 量代入三棱锥的体积5433512153355433131xxxhSVABC，令54335)(xxxn，求导求出体积的最大值 易错点 利用导函数求体积的最大值 17 正确答案及相关解析 正确答案（1）32；（2）333 解析（1）由题设得AaBacsin3sin212，即AaBcsin3sin21.由正弦定理得AABCsin3sinsinsin21.故32sinsinCB.（2）由题设及（1）得21sinsincoscosCBCB，即21)cos(CB.所以32CB，故3A.由题设得AaAbcsin3sin212，

23、即8bc.由余弦定理得922bccb，即932bccb，得33cb.故ABC的周长为333.考查方向（1）正弦定理；（2）余弦定理；（3）三角函数及其变换.解题思路（1）由三角形面积公式建立等式AaBacsin3sin212，再利用正弦定理将边化成角，从而得出CBsinsin的值；（2）由61coscosCB和32sinsinCB计算出21)cos(CB，从而求出角A，根据题设和余弦定理可以求出bc和cb的值，从而求出ABC的周长为333.易错点 解三角形 18 正确答案及相关解析 正确答案（1）见解析；（2）33 解析（1）由已知90CDPBAP，得ABAP，CDPD.由于AB/CD，故AB

24、PD，从而AB平面PAD.又AB 平面PAB，所以平面PAB平面PAD.（2）在平面PAD内作ADPF，垂足为F，由（1）可知，PADAB平面，故PFAB，可得ABCDPF平面平面.以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系xyzF.由（1）及已知可得)0,1,22(),0,1,22(),22,0,0(),0,0,22(CBPA.所以)0,1,0(),22,0,22(),0,0,2(),22,1,22(ABPACBPC.设),(zyxn 是平面PCB的法向量，则 00CBnPCn即02,02222-xzyx 可取)2,1,0(n.设),(zyxm 是平面

25、PAB的法向量，则 00ABmPAm即.0,02222yzx 可取)1,0,1(m.则33,cosmnmnmn，所以二面角CPBA的余弦值为33.考查方向 （1）面面垂直的证明；（2）二面角平面角的求解 解题思路 根据题设可以得出 ABAP，CDPD，而 AB/CD，就可证明出 AB平面 PAD，进而证明平面 PAB平面 PAD；（2）先找出 AD 中点，找出相互垂直的线，建立空间直角坐标系，列出所需要的点坐标，求出平面 PCB，平面 PAB的法向量，利用数量积求出二面角的平面角的余弦值 易错点 坐标法求两个半平面的法向量 19 正确答案及相关解析 正确答案 解析 考查方向（1）正态分布；（2

26、）随机变量的期望和方差.解题思路 易错点 随机变量的期望和方差的求解 20 正确答案及相关解析 正确答案（1）C 的方程为1422 yx；（2）见解析 解析（1）由于43,PP，两点关于y轴对称，故由题设知C经过43,PP，两点.又由222243111baba知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此,ba,b143111222解得1422ba 故C的方程为1422 yx.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知0t，且2t，可得A，B的坐标分别为（t，2-42t），（t，242t）.则12242242221ttttkk，得2t，不符合题设

27、.从而可设l：)1(mmkxy.将mkxy代入1422 yx得 0448)14(222mkmxxk.由题设可知0)14(1622mk.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=1482kkm，x1x2=144422km.而2121212211221121)(1(21111xxxxmxkxxmkxxmkxxyxykk.由题设121kk，故0)(1()12(2121xxmxxk.即0148)1(1444)12(222kkmmkmk.解得21mk.当且仅当1m时，0，于是l：mxmy21，即)2(211xmy，所以l过定点（2，-1）.考查方向（1）椭圆的标准方程；（2）直线与圆锥曲线的位

28、置关系.解题思路（1）由于43,PP，两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过43,PP，两点，又由222243111baba知，C 不经过点P1，所以点 P2 在 C 上.直接代入方程，进而求出椭圆的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，l与x轴垂直，通过计算不符合题设；再设l：)1(mmkxy.将mkxy代入1422 yx，写出判别式，韦达定理，表示出，由121kk列等式表示出 k 和 m 的关系，判断出直线恒过定点 易错点 用根与系数的关系研究直线与圆锥曲线和关系 21 正确答案及相关解析 正确答案（1）见解析；（2）)1,0(解析（1）)(xf的定义域为),(

29、，)12)(1(1)2(2)(2xxxxeaeeaaexf，（）若0a，则0)(xf，所以)(xf在),(单调递减.（）若0a，则由0)(xf得axln.当)ln,(ax时，0)(xf；当),ln(ax时，0)(xf，所以)(xf在)ln,(a单调递减，在),ln(a单调递增.（2）（）若0a，由（1）知，)(xf至多有一个零点.（）若0a，由（1）知，当axln时，)(xf取得最小值，最小值为aaafln11)ln(.当1a时，由于0)ln(af，故)(xf只有一个零点；当),1(a时，由于0ln11aa，即0)ln(af，故)(xf没有零点；当)1,0(a时，0ln11aa，即0)ln(a

30、f.又0222)2()2(224eeaaef，故)(xf在)ln,(a有一个零点.设正整数0n满足)13ln(0an，则02)2()(00000000nnenaaeenfnnnn.由于aaaln)13(ln，因此)(xf在),ln(a有一个零点.综上，a的取值范围为)1,0(.考查方向（1）含参函数的单调性；（2）利用函数零点求参数取值范围.解题思路（1）讨论)(xf单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对a按0,0aa，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若)(,0 xfa，至多有一个零点.若0a，当axln时，)(xf取得最 小值，求出最小值aaafln11)

31、ln(，根据1a，)1,0(),1(aa，进行讨论，可知当)1,0(a有 2个零点，设正整数0n满足)13ln(0an，则 02)2()(00000000nnenaaeenfnnnn.由aaaln)13(ln于，因此)(xf在),ln(a有一个零点.所以a的取值范围为)1,0(.易错点 含参函数进行分类讨论其单调性 22 正确答案及相关解析 正确答案（1）（0,3或)2524,2521(.（2）8a或16a.解析（1）曲线C的普通方程为1922 yx.当1a时，直线l的普通方程为034yx.由1903422yxyx解得03yx或25242521yx.从而C与l的交点坐标为)2524,2521(

32、),0,3(.（2）直线l的普通方程为044ayx，故C上的点)sin,cos3(到l的距离为 174sin4cos3ad.当4a时，d的最大值为179a.由题设得17179a，所以8a；当4a时，d的最大值为171a.由题设得17171a，所以16a.综上，8a或16a.考查方向（1）参数方程；（2）点到直线距离 解题思路（1）曲线C的普通方程为1922 yx，当1a时，直线l的普通方程为034yx，联立求解即可得到交点坐标；（2）利用曲线 C 的求得曲线上点到直线的最大距离，根据条件求出a的值 易错点 用参数方程求曲线上点到直线最大距离 23 正确答案及相关解析 正确答案（1）21711|

33、xx；（2）1,1 解析（1）当1a时，不等式)()(xgxf等价于04112xxxx.当1x时，式化为0432 xx，无解；当11x时，式化为022 xx，从而11x；当1x时，式化为042 xx，从而21711 x.所以)()(xgxf的解集为21711|xx.（2）当1,1x时，2)(xg.所以)()(xgxf的解集包含1,1，等价于当1,1x时2)(xf.又)(xf在1,1-的最小值必为)1(f与)1(f之一，所以2)1(f且2)1(f，得11a.所以a的取值范围为1,1.考查方向 求解绝对值不等式 解题思路（1）分区间去绝对值，然后分别解不等式，最后取并集即为原不等式的解集；（2）当1,1x时，2)(xg.转化为2)(xf在1,1-恒成立的问题 易错点 绝对值不等式的分段讨论