初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析).pdf

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1、-初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题 知识点:.基本运算:同底数幂的乘法：mnm naaa 幂的乘方:nmmnaa 积的乘方:nnnaba b.整式的乘法：单项式单项式:系数系数，同字母同字母,不同字母为积的因式.单项式多项式:用单项式乘以多项式的每个项后相加.多项式多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式:平方差公式：22ababab 完全平方公式：2222abaabb；2222abaabb 4.整式的除法:同底数幂的除法：mnm naaa 单项式单项式：系数系数,同字母同字母,不同字母作为商的因式.多项式单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.多项式

2、多项式：用竖式.5.因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解.6.因式分解方法:提公因式法:找出最大公因式 公式法：平方差公式：22ababab 完全平方公式:2222aabbab 立方和:3322()()abab aabb 立方差：3322()()abab aabb 十字相乘法：2xpq xpqxpxq 拆项法 添项法 常考题:一选择题（共 12 小题)1.下列运算中,结果正确的是（)-xx3=x6 B.3+2x2=5x4 （2）3x5 D(x+y)2=x2y2 2计算(ab2)的结果是(）Aab5 ab6 Ca3b5 a3b6 3.计算 2x(33）的

3、结果是()A6 B6x5 C2x6 D2x6 4下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为()Aa(x+y)=x+.x24x+4=x(x4）+4.10 x25x5x（x1)D26+x=(x4）（x+4）+3 5.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（).a2(b）2 B.5m220mn Cx2y2 D.x2+9 6.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（)A.x2x+1 B.x+x1 C.1 x26x9.下列因式分解错误的是（）A=（x+y）(x）B.x+6+=(x3)C.x2+xy=x(y）x2y2（x+y）8.把代数式 aax+4a 分解因式,下列结果中正确的是()Aa(2)2

4、Ba(x+）Ca（x4)2 D.a(+）（2）9.如（xm）与(x)的乘积中不含 x 的一次项,则 m 的值为()A3 B3 C0 D.1 0.在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形(a)（如图甲）,把余下的部分拼成一个矩形(如图乙),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证(）(+)2+abb B（a)2=a2abb2 C.a2b2=(a+b）(ab)D（2b)（a）=a2+ab22 1.图(1)是一个长为 2a,宽为 2b(ab）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A

5、ab B(+b）C（a）2 a2 12.如图，从边长为(a+）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)m 的正方形（0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙），则矩形的面积-为()A.(a2+5a）m2 B.（6a+15）c2 C.（a+)c2 D（a+15）cm2 二.填空题（共 13 小题)13分解因式:3x22=.14分解因式:a21 .因式分解:x292=.16分解因式:x34=17.因式分解:a3ab2=18分解因式:x+x+9=9.分解因式：2a4a2=.20.分解因式:3x2+9x=21分解因式：ab22a+a=22.分解因式：2a38+a .23.分解因式：321

6、2ab+12b2=.24若 m2n2，且 m=2,则 m+n 25如图，边长为、b 的矩形，它的周长为,面积为 10，则2bab2的值为 三解答题(共 15 小题)26.计算：()2(y+2x)(y2)27.若 2x+3=0,求 4y的值 28.已知:a+b3，b=2，求下列各式的值:（）a2ba2（）+b2 29若 x+y=3,且（x+2)(y+2)=2.(1）求 xy 的值;（2）求 x2+3xyy的值 30.先化简，再求值a（2+3）22（3a+4)，其中 a2 3.若22+1=0求代数式的值 32.分解因式：(1)2x2x；（2)1621;（3)6xy9x2yy3；-（）4+(x）+9

7、(xy)2.3.(b+1）（2a+b）34分解因式：22yxy.3.分解因式：(1)a416;(）x22x+y2.36.分解因式2(y）+(yx).3.分解因式(1）a2(y)+16（yx）；（2）(x2y)4x2y.38因式分解(1）ax+16xyy；（2）（a2+1)22 9因式分解:(）3x3（2）6xy2+9x3.0若 x2+xyy2a(xy)+是完全平方式，求 a 的值 -初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析 一选择题（共 12 小题）1(2015甘南州)下列运算中,结果正确的是(）A.x33=x B.x222x C(x2)

8、3x D.(x+y）2=2+y2【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可做出判断;、合并同类项得到结果,即可做出判断;C、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断;D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断.【解答】解：A、3x3=x6,本选项正确；B、3x2x2=5x2,本选项错误;、(x2)3=x6，本选项错误；D、（x+y）=x+xy+y2,本选项错误，故选 A【点评】此题考查了完全平方公式,合并同类项,同底数幂的乘法,以及幂的乘方,熟练掌握公式及法则是解本题的关键 .（20南京）计算（a2）3的结果是(）A.b Ba C.3b D.3b6【分析】根据积的乘方的性质

9、进行计算，然后直接选取答案即可.【解答】解:（ab)3a3(b)3a3b6 故选【点评】本题考查积的乘方,把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 .(2011呼和浩特）计算 22（3x)的结果是(）.6x B6x5 C.2x6 x【分析】根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案.【解答】解：2（3x3）,=2（）（x2x），=6x5.故选：A.【点评】本题主要考查单项式相乘的法则和同底数幂的乘法的性质 4.（205茂名)下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为(）A(x+y）=y B2+4x(x4）4 0 x25=x(2x1）x26+3=（）（x+4)

10、+3x【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式,利用排除法求解-【解答】解：、是多项式乘法，故 A 选项错误;B、右边不是积的形式,x4+4=(2）2，故 B 选项错误；C、提公因式法,故 C 选项正确;D、右边不是积的形式,故选项错误;故选:【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断.5(2017 春薛城区期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A.a2+(b）B5m2n Cx2y2 Dx+【分析】能用平方差公式分解因式的式子特点是：两项平方项，符号相反【解答】解:A、2+（）2符号相同,不能用平方差公式分解因式,故 A 选项错误；B、5m220两项

11、不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故 B 选项错误；C、x2y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故 C 选项错误;D、2+9=x32,两项符号相反,能用平方差公式分解因式,故 D 选项正确 故选：D【点评】本题考查用平方差公式分解因式的式子特点,两平方项的符号相反 6（213张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是()Ax+x1 Bx+2x1 C.x21 Dxx+【分析】根据完全平方公式的特点:两项平方项的符号相同,另一项是两底数积的倍，对各选项分析判断后利用排除法求解.【解答】解：A、x2x+1 不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故 A 错误;B、2+x不符合完全平

12、方公式法分解因式的式子特点，故错误;C、x不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故 C 错误;D、x26x+9=（x3）,故 D 正确 故选:.【点评】本题考查了用公式法进行因式分解,能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记 .（200眉山)下列因式分解错误的是()A.xy2=（x）(xy)B.x2+x+9（x+)2 C.x2+xy=x(x+y）x+y2=(x+）2【分析】根据公式特点判断,然后利用排除法求解【解答】解:、是平方差公式,故选项正确；B、是完全平方公式，故 B 选项正确;、是提公因式法，故 C 选项正确；D、（x+y)22+2xy+y，故 D 选项错误;故选:D.【点评】本题主

13、要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握 -8（2015菏泽)把代数式 ax24x+4a 分解因式,下列结果中正确的是（)Aa(2)2 B.a(x+）2(x4）2 D.（x+2)（2)【分析】先提取公因式 a,再利用完全平方公式分解即可【解答】解：a24x+a，=a（x24x4),=a(2）.故选：A.【点评】本题先提取公因式,再利用完全平方公式分解,分解因式时一定要分解彻底.9(216 秋南漳县期末)如（x)与(x+3）的乘积中不含的一次项,则的值为（)A3 B3 C.0.【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积,并且把 m 看作常数合并关于的同类项,令 x

14、 的系数为，得出关于 m 的方程,求出 m 的值.【解答】解:(x+m）（x+3）x+x+mx+3mx+（3+m）x+m,又乘积中不含 x 的一次项，3+m0,解得 m=3.故选:.【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算,根据乘积中不含哪一项,则哪一项的系数等于列式是解题的关键 0.（209内江）在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形(ab）(如图甲）,把余下的部分拼成一个矩形(如图乙),根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证(）.(a+b)2=2+2ab+b B.(a）=2ab+2 a2b(+b)（a）(a+2b)(ab)=2+abb2【分析】第一个图形中阴影部分的面

15、积计算方法是边长是 a 的正方形的面积减去边长是 b 的小正方形的面积,等于 a22；第二个图形阴影部分是一个长是(a+b）,宽是（a）的长方形,面积是（a+)（b）；这两个图形的阴影部分的面积相等.【解答】解：图甲中阴影部分的面积=a2b2,图乙中阴影部分的面积=(a+b)(a）,而两个图形中阴影部分的面积相等,阴影部分的面积=ab（b）(b)故选：C.-【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式.即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式 1.（2013枣庄）图（1）是一个长为 2，宽为b(b）的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴）剪开,把它分成四块形状和大小都

16、一样的小长方形,然后按图（)那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是(）A.ab B(ab）2 C.(b）.a2b2【分析】中间部分的四边形是正方形,表示出边长，则面积可以求得.【解答】解：中间部分的四边形是正方形,边长是 a+b2bab,则面积是(b)2 故选:C.【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键.12（0枣庄)如图，从边长为（a)c的正方形纸片中剪去一个边长为(+1)cm 的正方形(a0）,剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙)，则矩形的面积为（).（2a2+5)cm2 B(6a5）cm2 C(6+9)c2.(3a5)c2【分析】大正方形与小正方形的面积

17、的差就是矩形的面积,据此即可求解【解答】解:矩形的面积是:(a+4)（a+1）=(4a）（a+4a1）=3(2a5)=6+1(cm2）.故选 B【点评】本题考查了平方差公式的几何背景,理解大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积是关键.二填空题（共 13 小题）13(2015黄石）分解因式:3x227=3(x+3）（x3).【分析】观察原式 3x2,找到公因式 3，提出公因式后发现 x2符合平方差公式,利用平方差公式继续分解【解答】解:3x227，=3(x29)，=（x+）（x3）-故答案为：3（x+3)(x3).【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式,熟记公式是解题

18、的关键，难点在于要进行二次分解因式 14(203上海)分解因式：1=（a+1)（a1）.【分析】符合平方差公式的特征,直接运用平方差公式分解因式.平方差公式:a22=(a+b)（ab）【解答】解：a21（a+）（a1)故答案为:（+1)(a）.【点评】本题主要考查平方差公式分解因式,熟记公式是解题的关键 15（2013邵阳)因式分解:x29y=(+3y)(x3y）【分析】直接利用平方差公式分解即可【解答】解:x9y2=(x+3y)(xy）【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键 16.（01大庆)分解因式：x34 x（x2)(x2）【分析】应先提取公因式 x,再对余

19、下的多项式利用平方差公式继续分解【解答】解:x34x,=(24）,=x(x+2）(x2)故答案为:(x+2）（2）【点评】本题考查了提公因式法,公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解,分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止.1(2016乐山)因式分解：3b2=a(a+b)（a)【分析】观察原式3ab,找到公因式 a,提出公因式后发现 a2是平方差公式,利用平方差公式继续分解可得.【解答】解:a3ab2a(a2）=a(b）（ab）.【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解:先提取公因式,然后再应用一次公式.本题考点：因式分解(提取公因式法、应用公式法）.18.(201三明)

20、分解因式:x2+x+9(x+3).【分析】直接用完全平方公式分解即可【解答】解:+6x9=（x+3）2【点评】本题考查了公式法分解因式,熟记完全平方公式法的结构特点是解题的关键 9.（2017咸宁）分解因式:2a4a2=（a1)【分析】原式提取 2，再利用完全平方公式分解即可.【解答】解：原式=2（a22a1）2(1）2 故答案为：2(1)2.-【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 20（01西藏)分解因式：x6x2+9x=x(x3）.【分析】先提取公因式 x,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.【解答】解：362+x,=x（2+9),=x

21、(x)2.故答案为：x（).【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式,关键在于需要进行二次分解因式.21.（20大庆)分解因式:ab2ab+=a(b1)2.【分析】先提取公因式,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解【解答】解：b22ab+a,=a(b22b+1),=（b)2.【点评】考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解.22(203安顺）分解因式：2aa2+2a（a2)2 【分析】先提取公因式 2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.【解答】解:38a2+a，=2a(a24a+4)，=(a2）2.故

22、答案为：2a(a)2.【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.23（203菏泽）分解因式：322ab12b2=3（a2b)2 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案.【解答】解：3a2ab+2b2=3(a4ab2)3(2).故答案为：3(a2b）.【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识 一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底.24.(213内江）若 m2=6，且n2，则 m+n=3 【

23、分析】将 m2按平方差公式展开,再将 mn 的值整体代入,即可求出+的值.【解答】解:m2n2=（m+n）（m）（m+n）=，故+n=3 故答案为:3.-【点评】本题考查了平方差公式,比较简单，关键是要熟悉平方差公式（b）（ab）2b2.（20西宁）如图，边长为 a、的矩形,它的周长为 1,面积为 10,则a2bab2的值为 70.【分析】应把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可【解答】解:+b=，ab=0,+b2=ab(a+b）=70.故答案为：0【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力 三

24、解答题(共小题）2.（20江西)计算:(y）2（2x）（y2x）【分析】利用完全平方公式,平方差公式展开，再合并同类项【解答】解:(xy)2（y+2x）（y2x)，=2y+2（y4x2），x2xy+y2y+4x,=5x2xy.【点评】本题考查完全平方公式,平方差公式，属于基础题,熟记公式是解题的关键，去括号时要注意符号的变化 27.（213 春苏州期末)若 2x30，求 4x32y的值【分析】由方程可得 2+5=3,再把所求的代数式化为同为的底数的代数式,运用同底数幂的乘法的性质计算，最后运用整体代入法求解即可.【解答】解：4x3y2225y=2x+5y x+5y30,即x5y=3,原式=23

25、8【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键 28.(2009十堰)已知:+b=3，ab2，求下列各式的值：（)2b+ab2（2）2+2.【分析】（)把代数式提取公因式 ab 后把+=3，b2 整体代入求解;(2）利用完全平方公式把代数式化为已知的形式求解【解答】解：()a2bb=a（a+b)=23=6;-(2）（a+b）2a2+2ab+b a2b2（a+)2ab,=3222,=5.【点评】本题考查了提公因式法分解因式，完全平方公式,关键是将原式整理成已知条件的形式，即转化为两数和与两数积的形式，将a+b=3,ab=2 整体代入解答 （2015张家港市模拟

26、)若 x+=3,且(2）（y+2)=12（）求 xy 的值；()求 x2y的值【分析】（1)先去括号，再整体代入即可求出答案；（2)先变形，再整体代入,即可求出答案.【解答】解：（1）xy=,(2）（y2)=2,xy+2x+2+412,xy(x+y)8，xy+2=8,x=；(2)+y=，xy=2,x2+y+y2=（+y）2xy=32+2.【点评】本题考查了整式的混合运算和完全平方公式的应用，题目是一道比较典型的题目,难度适中 30.（01秋德惠市期末）先化简,再求值（2a4a3)2a(3a+4),其中a=2.【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号,然后合并同类项，最后代入已知的数值计

27、算即可【解答】解:3a(2a24+）(+)=6a322+96a82=22+9a,当 a2 时,原式=0492=8.【点评】本题考查了整式的化简整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点.31（207天水）若 a22a+10.求代数式的值【分析】根据完全平方公式先求出 a 的值,再代入求出代数式的值【解答】解:由1=0 得（1)20，a1;-把1 代入1+12 故答案为：2【点评】本题考查了完全平方公式,灵活运用完全平方公式先求出 a 的值，是解决本题的关键 2（202 春郯城县期末）分解因式:(1）x；(2）16x21；（)x2xy;（4)4+12(y)+9（xy)2【分

28、析】(1）直接提取公因式 x 即可;(2）利用平方差公式进行因式分解；(）先提取公因式y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解;(4）把（）看作整体,利用完全平方公式分解因式即可【解答】解：(1)2x2=x(2x);(2)16x21（x+1)（4x1）；(3)6y29x2yy,=（9x6y2）,=（xy）；（4)4+2（）+(xy)2,=2+3（x），=（3x3y+)2【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法,难点在(3），提取公因式y 后,需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解 33.(201春乐平市期中）(2a+b+1）(ab1）【分析】把（2a+)看成整体

29、,利用平方差公式和完全平方公式计算后整理即可.【解答】解：(2a+b+1）(2a+b)，(a+b)21,=4a24ab+b21【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用,构造成公式结构是利用公式的关键,需要熟练掌握并灵活运用 3（2009贺州)分解因式：x2x2yx2【分析】先提取公因式 x，再利用完全平方公式分解因式完全平方公式:22ab+b2(b)2;【解答】解:x32x2yxy2，=x（2x+y2)，=x(y)【点评】主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，本题难点-在于要进行二次分解.3（201雷州市校级一模)分解因式：（1）a416；（2)x2x9【分析】（1)两

30、次运用平方差公式分解因式;(2)前三项一组，先用完全平方公式分解因式,再与第四项利用平方差公式进行分解.【解答】解:（)a4=（）242，=（24)(2+）,=（2+4）(a+2)(a2）；()x22y+y,=（22xy)9,=()232,=（xy3)（x+）.【点评】(1)关键在于需要两次运用平方差公式分解因式；（2)主要考查分组分解法分解因式，分组的关键是两组之间可以继续分解因式 36.（20春利川市期末)分解因式 x2(xy)+（yx）.【分析】显然只需将 yx=（xy)变形后,即可提取公因式（）,然后再运用平方差公式继续分解因式【解答】解:(x）(x)，2(y)(y)，（xy）（1），

31、=(xy)（x1）(x+1）.【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.37（09 秋三台县校级期末）分解因式(1)a(xy）6(yx)；（2)（x2+y2）24x22.【分析】(）先提取公因式（xy），再利用平方差公式继续分解;（2)先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解.【解答】解：(1)a2（xy）1(yx),（x）(a26)，=(y)（a4）（a4);(2）（x2+y）24x2，=（x2+y）（2xy+2），(x+y）2(xy)2【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进

32、行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底,直到不-能分解为止.38(2009 春扶沟县期中）因式分解（）8ax2+1axyay2;(2)（a21）2【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式继续分解.(2）先用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解【解答】解：（1）8ax2+6axy8ay2,=8a(xx+y2),=8(y）；（2）（a2+1)24,=(a2+12)（a+12)，=（a+1)（a)2【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直

33、到不能分解为止.3.(2011 秋桐梓县期末）因式分解:(1)3x123（2)6xy2x2y+y3.【分析】（)先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解;(2)先提取公因式 y,再根据完全平方公式进行二次分解.完全平方公式：a22+b2=（ab)【解答】解：（)x12x3=（14)=3(1+2x）（1x);（）6y+9x2y+3=y(6xy+9x+y2）=y（3x+y）2.【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.40（203黄石)若 x+2xy+y(+）+2是完全平方式，求 a 的值【分析】先把前三项根据完全平方公式的逆用整理,再根据两平方项确定出这两个数,利用乘积二倍项列式求解即可【解答】解:原式(+y)(+）+52,原式为完全平方式,(x+)=25(xy）,解得 a10.【点评】本题考查了完全平方式，需要二次运用完全平方式,熟记公式结构是求解的关键,把(+y）看成一个整体参与运算也比较重要.-