概率论与数理统计_1.pdf

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1、概率论与数理统计作业及答案 一、填空题 1设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率都是，则同时发射一发炮弹而击中飞机的概率为 .若有一架敌机入侵领空，欲以 99%以上的概率及中它，至少需 门高射炮.2设在0，1上服从均匀分布，则的概率分布函数F(x)=,P(2)=.3 设母体)4,30(N，),(4321为来自的一个容量为 4 的样本，则样本均值，)30(P,),(4321的概率密度为.4.将一枚均匀硬币掷四次，则四次中恰好出现两次正面朝上的概率为.5 两封信随机地投入四个邮筒,则前两个邮筒没有信的概率为_,第一个邮筒只有一封信的概率为_.6 一批产品的废品率为,每次抽取 1 个,观察后放回去,下

2、次再任取 1 个,共取 3 次,则 3 次中恰有两次取到废品的概率为_.7设具有概率密度其他031)(xbaxxf，又)21(2)32(PP，则a=,b=.8设与相互独立，N(0,1)，N(1,2)，令=2，则 E=,D=,的概率密度函数为.9已知BA，P(A)=,P(B)=,则P(AB)=,P(A+B)=,)(BAP,P(A|B)=，)(BAP.10设)4,3(N，则使得)()(cPcP成立的c.11已知1E，3D，则 )2(32E.12.小概率原理认为：小概率事件在一次试验中是不会发生的，如果发生了则要 13.相关系数的取值范围是 14.设总体),(2aN，2已知，),.,(1nXX为来自

3、的一个样本，如检验00:aaH（常数），则在0H成立条件下，检验统计量服从 分布 15.设 总 体的 概 率 分 布 列 为),.,(,1)0(,)1(1nXXpPpP为 来 自的 一 个 样 本，则)(XD 16.设的密度函数为0,00,2)(2xxexfx当当，则D 17.设),(的密度函数为其它,010,10,4),(yxxyyxf，则的边沿密)(yf 18.)(,5.0)(,1.0)(,BAPBPAPBA则 19.若,5.0)(,6.0)(BPAP7.0)(BAP，则)(ABP 20.公交车每 5 分钟发一辆，则乘客等车时间不超过 3 分钟的概率为 21.其他,020,cos)(xxA

4、xf为密度函数，则A 22.两随机变量与的方差分别为 25 及 36，相关系数为，则)(D .23.设)1,0(N，)(2n，且与相互独立，则统计量n 二、选择题 1若事件A、B为互逆事件，则)(BAP（）A.0 B.0.5 C.1 D.2在四次重复贝努里试验中，事件A至少发生一次的概率为 80/81，则A在每次试验中发生的概率p为（）A.4532 B.31 C.32 D.14532 3若两个随机变量和的相关系数0，则下列结论正确的是（）.A.DDD B.DDD C.DDD D.和相互独立 4 设 A、B、C 为三个事件，则 A、B、C 至少发生一个的事件应表示为（）A.ABC B.ABC C

5、.CBA D.CBA 5 每次试验成功的概率为)10(pp，重复进行试验直到第 n 次才取得)1(nrr次成功的概率为（）.A.rnrrnppC)1(B.rnrrnppC)1(11 C.rnrpp)1(D.rnrrnppC)1(111 6 设（,）具有概率密度函数其他020,20)sin(),(yxyxAyxf，则 A=()A.0.1 B.0.5 C.1 D.2 7 设),(2N，且=0，12，令，则D=()(、为常数)A.B.C.2 8 已知的概率密度函数为f(x),则（）f(x)1 (=x)=f(x)C.1)(dxxf (=x)f(x)1 9 若母体的方差为2，则2的无偏估计为（）A.21

6、Snn B.2S C.21Snn 10 设A，B为两事件，BA，则不能推出结论（）A.)()(APABP B.)()(BPBAP C.)()()(BPAPBAP D.)()()(APBPBAP 11.若事件A、B互不相容，则)(BAP A B0 C1 D 12.设事件A、B相互独立，已知5.0)(,25.0)(BPAP，则)(BAP A12.0 B125.0 C25.0 D5.0 13.设随机变量的概率密度函数为其它,021,210,)(xxxxxf，则)1.5(P A B5.10)2dxx（C5.11)2dxx（D5.1)2xdxx（14.设)(xf为连续型随机变量的概率密度，)(xF为的分

7、布函数，则下列正确的是 A)()(xfxF B1)(0 xf C)()(xFxP D1)(dxxf 15.设),(的概率密度为其它,00,0,),()(yxCeyxfyx，则C=A 1 B0.5 C D2 16.设随机变量的概率密度函数为0,00,)(xxexfx，则E A B1 C2 D21 17.设A、B、C为三个事件，则A、B、C恰有两个发生的事件应表示为 A.CBABCACAB B.ACBCAB C.ABCCBABCACAB D.CACBBA 18.袋中有 5 个黑球，3 个白球，大小相同，一次随机地摸出 4 个球，其中恰有 3 个白球的概率为 A83 B81)83(5 C81)83(

8、348C D485C 19.设)1,0(),4,(2NaN记),1(),4(21ppapp则下列正确的是 A21pp B21pp C21pp D21pp 20.设的概率密度为其它,010,)(2xAxxf，则A=A 31 B3 C21 D2 21.已知连续型随机变量的概率密度为)(xf，)(xF为的分布函数，则下列正确的是 A)()(xfxP B 1)(dxxfx C1)(0 xF D)()(xfxP 22.设随机变量的概率密度函数为)(xf，如果（），恒有1)(0 xf A),1(2N B)1,2(N C),(2aN D),0(2N 三、计算题 1如果在 1500 件产品中有 1000 件不

9、合格品，如从中任抽 150 件检查，求查得不合格品数的数学期望；如从中有放回抽取 150 次，每次抽一件，求查得不合格品数的数学期望和方差.2 如果n,21是 n 个相互独立、同分布的随机变量，iE，),2,1(8niDi.对于niin11，写出所满足的切贝晓夫不等式，并估计)4|(|P.3在密度函数,1)(xxf10 x中求参数 的矩估计和极大似然估计.4 已知随机变量N(0，1)，求(1)e的概率密度；(2)|的概率密度.5 全班 20 人中有 8 人学过日语，现从全班 20 人中任抽 3 人参加中日友好活动，令为 3 人中学过日语的人数，求(1)3 人中至少有 1 人学过日语的概率；(2

10、)的概率分布列及E.6 设总体服从指数分布，其概率密度函数为0001)(1xxexfx，（0）试求参数的矩估计和极大似然估计.7一个盒子中共有10 个球，其中有5 个白球，5 个黑球，从中不放回地抽两次，每次抽一个球，求（1）两次都抽到白球的概率；（2）第二次才抽到白球的概率；（3）第二次抽到白球的概率.8已知N(0，1)，求（1）e的概率密度；（2）2的概率密度.9设总体 XN(,1),),(1nXX 为来自 X 的一个样本，试求参数的矩估计和最大似然估计.10 设母体具有指数分布，密度函数为 000),(xxexfx（0），试求参数的矩估计和极大似然估计.11.袋子中有 5 件某类产品，其

11、中正品 3 件，次品 2 件，现从中任意抽取 2 件，求 2 件中至少有 1 件是正品的概率 12.一条生产线生产甲、乙两种工件，已知该生产线有三分之一的时间生产甲种工件，此时停机的概率为，有三分之二的时间生产乙种工件，此时停机的概率为如该生产线停机，求它是在生产甲种工件的概率.13.有 3 人同时走进一栋五层楼房的入口，设每人进入 1 至 5 层是等可能的，求没有两人进入同一层的概率.14.某地区高考数学成绩服从正态分布)6,90(2N，某考生数学成绩为 96 分，问比他成绩低的考生占多少（)8413.0)1(。若该考生个人估分成绩为 90 分，问比他成绩低的考生占多少 15.的密度函数为

12、其它 ,021,210 ,)(xxxxxf，求)3.1(P.16.将一部五卷文集任意排列到书架上，问卷号从左向右或从右向左恰好为 1、2、3、4、5 的顺序的概率等于多少 17.有朋自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为、。如果他乘火车、轮船、汽车迟到的概率分别是1213141、，而乘飞机来则不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率为多少 18.已知 0,00,)(xxAexfx为密度函数，求A的值.19.已知某地区 5000 名学生的数学统考成绩)15,65(2N的正态分布，求 50 分至 80 分之间的学生人数.（)8413.0)1(20.已知随机变量的密度函数为其它,0

13、6,1,51)(xxf，求方程012 xx有实根的概率.四、证明题 1设总体XN(0，1)，样本),(521XXX来自总体X，若使统计量25242321)(XXXXXc服从t分布，试证：23c 2随机变量是另一个随机变量的函数，并且e（0），若E存在，求证对于任何实数a都有EeeaPa.3设n的分布列为：)12(2)2(kkkP，kkP221)0(，)12(2)2(kkkP，试证：若n为相互独立的随机变量序列，则n服从大数定律.4设总体),(2NX，样本),(21nXXX来自总体X，试证：11212)1(21niiiXXnS是2的无偏估计.概率论与数理统计作业参考答案 一、填空题 1，6.21

14、11000)(xxxxxF，1.3 N(30,1)，1/2，8)30(4241)221()(iixexp.4 83 5161，（2 分）81 6 7 1/3，（2 分）-1/6.8 2，9，92)2(2231xe.9，.10 3.116.12.2y 13.41 14.npp)1(15.)1,0(N 16.1,1 17.审视所考察事件是否为小概率 18.19.20.53 21.1 22.37 23.t(n)二、选择题 1 A 2 C 3 B 4 B 5 B 6 B 7 D 8C 9 C 10 C 11.B 12.B 13.A 14.D 15.A 16.B 17.A 18.D 19.A 20.B

15、22.B 三、计算题 1 第一问是服从超几何分布 第二问是服从二项分布 2 解：由切贝晓夫不等式 21)|(|DEP,8,nDE 于是 281)|(|nEP nnP211481)4|(|2.3 解：矩估计为,112XX 极大似然估计为,1ln1iX 4（1）)0(22)(2ln2yeyygy （2）)0(22)(22yeygy 5 （1）（2）2,1,0)(3203128kCCCkPkk,3 2.1E 6 矩估计 X，极大似然估计 X.7（1）2/9，（2）5/18，（3）1/2.8（1）)0(22)(2ln2yeyygy （2）)0(22)(2yeyygy 9 矩估计 X；极大似然估计 X.

16、10 解：矩估计为,1X 极大似然估计为,1X 11.由公式)(1)(APAP 109101112522CCp 12.30114.0323.031)|()()|()()(2211BAPBPBAPBPAP 11330113.031)()()()(APBAPBPABPpiii 13.25125,5335353PnkpPkn 14.8413.0)1()69096690()96(PP 5.0)0()69090690()90(PP 15.)3.1(1)3.1(PP 25.0)2(13.1110dxxxdx 16.601!52,255nkpPkn 17.设事件A：迟到，1B：乘火车来，2B：乘轮船来，3B

17、：乘汽车来，4B：乘飞机来，203)()()(41iiiBAPBPAP 5.0)()()()(111APBPBAPABP 18.由1)(dxxf ，得1,10AdxAex 19.6826.01)1(2)115651()8050(PP .34136826.050008050分的学生人数为分至 20.)2()4()04(22ppp 8.05162dx 四、证明题 1证明：总体XN(0，1)，样本),(521XXX来自总体X，则iX相互独立且与总体X同分布，令221XXX，则XN(0，21)，于是221XX N(0，1)，令 )3(2252423XXXY，于是 3/2YX服从 t 分布，要使 25242321)(XXXXXc服从 t 分布，必须 23c.2 可用切贝晓夫不等式来证.3 证：1222,0)12(2kkkkDE 而nDDnkknkk11)(故01lim)(1lim12nDnnknkn n服从马尔科夫大数定律.4 证明：11212)1(21niiiXXEnES 1121212)1(21niiiiiXXXXEn 112121)(2)1(21niiiiiEXXXEEXn 1121211)(2)()1(21niiiiiiiEXDXEXEXEXDXn 11222222)1(21nin 2