等差数列前n项和(第二课时)教案.pdf

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1、2（2）等差数列的前 n 项和公式 2：s na 2 a 2 2.3.2 等差数列的前 n 项和（第二课时）（人教 A 版必修 5）【教学目标】1.知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式；了解等差数列的一些 性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前 n 项和公式 研究 S 的最值.初步体验函数思想在解决数列问题中的应用.n 2.过程与方法：通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学 生分析问题和解决问题的能力.3.情感、态度与价值观：提高学生代数的思维能力，使学生获得一定的成就感；通过生动具体的现实问题、数学问题，激发学生探究

2、的兴趣与欲望，树立 求真的勇气与自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感.【教学重点】等差数列前 n 项和公式的掌握与应用.【教学难点】灵活应用求和公式解决问题.【教辅手段】多媒体投影仪、黑板【教学过程】I.情景设置温故知新 首先，回顾上一节所学的内容：（1）等差数列的前 n 项和公式 1：s n a1 an n n n 1 n 1 d .新知探究 1.等差数列的等价条件 例 1：已知数列 n 的前 n 项和 Sn n2 1 n，求 （1）S S(n 2).n n1（2）求这个数列的通项公式.（3）这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？分析：课本例题，题型比较简

3、单，主要是靠引导学生.过程略.设计意图本例题实际上给出了数列前 n 项和公式判别是否是等差数列的依 据，要让学生们知道等差数列前 n 项是一个常数项为 0 的关于 n 的二次型函数.如果一个数列 a 的前 n 项和为 Sn pn qn r.其中 p、q、r 为常数，且 解：由 Sn pn qn r 得 S1 a1 p q r a Sn Sn1(n 2).又 Sn pn qn r 2 pn (p q)(n 2).a ()n p)例 2：已知等差数列 5,4 ,3,的前 n 项和为 s ，求使得 s 最大的序号 n 7 7 a S na n(n 1)d 2 2 2 ，x2 a x，x N*，当 x

4、 n 时的函数值.另一 解：由题意知，等差数列 5,4 ,3,的公差为 所以 接下来，我们来完成一探究题.2 n p 0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什 么？2 n S(n 1)1 2 n 2 时 an Sn S n1 (pn 2 qn r)p(n 1)2 q(n 1)r 2 pn (p q)p q r(n 1)n d a a n n1 2pn p q p 2 (1 q(p)2 此类数列从第二项开始为等差数列.归纳要使数列 为等差数列，则 2 p 1 (p q)p q r,即 r 0.n 设计意图本探究实际上是对例 1 的深化，目的是为了让学生进一步认识到，如 果

5、一个数列的前 n 项公式是一个常数项为 0 的关于 n 的二次型函数，则这个数列 一定是等差数列，从而使学生从结构上认识数列.2.等差数列的最值问题 2 4 n n 的值 分析：等差数列的前 n 项和公式可以写成 n 1 1 d d n 2 (a )n 所以 可以看成函数 y d 2 d 1 2 方面，容易知道 s 关于 n 的图像是一条抛物线上的一些点，因此，我们可以利 n 用二次函数来求 n 的值.2 4 7 7 5 7 n25n1 n 当 n 取与 最接近的整数即为 7 或 8 时 s 取最大值.2 由 s s 得 9a d 12a d 2 2 na 1 n n 1d 1 dn2 21

6、dn d n 21 2 212 d 2 2 2 2 2 8 1 1 a 0 s 5 2 7 75n 5n2 14 5 15 2 1125 14 2 56 15 n 设计意图通过学习等差数列前 n 项和的函数性质来用于实际题型中的应用，加 深对函数结构的认识。例 3：等差数列 an 中，a1 0，s s 9 12 求使得 S 最小的序号 n 的值？n 解法一（同例 2 的解法一样，在此可以带过即可）：9 8 12 11 9 12 1 1 因此 3a 30d 则 d 1 a 0 则 d 0 1 1 a 10 1 s n 1 由以上条件知 s 有最小值.n 又 n N*，则 n=10 或 11 时

7、s n 取最小值，最小值为 55d.即 s 10 s 11 55d 解法二：由解法一知 d 1 a 10 1 0 而 a 0 1 则数列 an 为递增数列.a 0 a (n 1)d 0 令 n 即 1 an1 0 a1 nd 0 a (n 1)1 a 0 10 1 a1 n 10 1 1 1(n 1)0 10 1 10 n 0 10 n 11.数列的前 10 项均为负值,a 11=0.从第 12 项开始为正值.n=10 或 n=11 时 s n 解法三：s s 取最小值.9 12 11 0 即 a a 0 则数列 a 为递增数列.1 a d a b a 10 a a 0 11 12 3a 11

8、 0 又 n 数列的前 10 项均为负值，a 11=0.从第 12 项开始为正值.当 n=10 或 11 是 s n 取最小值.设计意图本例是对例 2 的深化，通过一般的求最值方法，引导学生思考用简单 的方法来解决同样的问题，达到数学浅入深出的学习效果。3.等差数列前 n 项和的性质 例 4：已知数列 是等差数列，S 是其前 n 项和，求证 S,S S,S S 也成 n n 6 12 6 18 12 等差数列，设 k N ,S,S S,S S 成等差数列吗？k 2k k 3k 2k 解法一：由 S 6a 15d,6 1 S 12a 66d,12 1 S 18a 1 5 3,18 1 可得 S

9、(S S)2(S S).6 18 12 12 6 解法二：S12 S6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a 6d a 6d a 6d 1 2 6 a a a 36d 1 2 6 S 36d.6 同理可得：S S S 72d.18 12 6 S (S S)2(S S).6 18 12 12 6（k 的情况也类似，在此省略）设计意图本例是要求学生通过自己做题来得出结论的，但是为了学生能更好的 理解这个结论并且应用这个结论，在本节课加了这个例题，希望可以减轻学生课 后的负担。例 5：（备用例题，时间允许可在课堂上讲解）若两个数列 和 的前 n 项和 n n(n N ),求 n 2 2 2

10、sn na1 n n 1 d 2 2 a d 2 1 d 1 a 2 d 1 a1 2 2 d 2 2 d A 和 B 满足关系式 n n A n B n 7n 1 4n 27 a b n （分析：条件是前 n 项和的比值，而结论是通项的比值，所以，需要将通项的比 值转化为前 n 项和的比值，恰当的应用等差公式可以简化解题过程.）解：由等差数列性质：a n a a b b 1 2n1,b 1 2n1,n a n b n a1 a2 n1 2 b1 b2 n1 2 (2 n1)(a1a2 n1)(2 n1)(b1 b2 n1)2 A 2 n1 B 2 n1 7(2n 1)1 14n 6 .4(2

11、n 1)27 8n 23 设计意图 本例题对于初学者来说解答比较困难，若果让学生自行解答比较吃 力，在这里加了讲解，希望对学生有所帮助。【归纳提升】1.等差数列的等价条件 若一个数列为等差数列，则 S An 2 Bn C n 中的 C 必为 0，A、B 为任意 常数.反之也成立.2.求等差数列前 n 项和 s 的最值有两种方法 n 第一种：根据项的正负来定 若 a 0，d 0 则数列的所有正数项之和最大，1 若 a 0,d 0 则数列的所有负数项之和最小.1 第二种：2 d n2 a d n 1 d 1 n 2 d d 2 2 a 2 2d 2 由二次函数的最大，小值知识及 n N*知.当 n

12、 取接近于 1 的正整数时，s 取最大值（或最小值）值得注意的是接近 1 的正整数有时 1 个，有时 2 个.a S a 1 a 2 d n 1 a 2 d 3.等差数列前 n 项和的性质 若数列 是等差数列，是其前 n 项和，设 n N ,S,S S,S S,也 n n n 2n n 3n 2n 成等差数列.设计意图总结是为了让学生明白本节课的重难点在哪，同时使学生回顾本节课 的知识点，达到复习加总结的效果。【即时体验】问题 1.等差数列 an 中，a4 15,d 3，求数列an 的前 n 项和 S n 的最小 值.分析：利用归纳的 2 种解题方法进行求解：将 Sn 表示成关于 n 的一元二

13、次函 数的最值求解.确定数列中负值的个数，由所有项之和最小求解.解答过程略.问题 2：已知等差数列 的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 n 项和为多少？解：S,S S,S S,S 10 20 10 30 20 110 S,成等差数列，设其公差为 D，100 又 首项为 S 100，前 10 项的和为 S 10 100 100 10 10 9 D 10,D 22.2 10 又 S 110 S 100 S 10 D 10 S 110 100 10 10 (22)110.问题 3：若两个等差数列的前 n 项和之比是(3n 1):(6n 2)，试求它们的第 11 项之比

14、.分析：同例 3 同题型，问题转化为具体的项之比，题目更简单化，解答过程 在此处省略.设计意图及时巩固，让学生活学活用，直接应用本节课所学的知识点来解决数 学问题。达到加深理解的学习效果。八、课后延续 P46 习题 2.3.A 组第 3 题；P47 习题 2.3.B 组第 4 题 设计意图课后作业可以让学生加深本节课的认识，同时不忘记巩固。九、板书设计 幕布 课题 一 例 1 三 例 2 分析 一、复习 二 探究分析 四 例 3 分析 二、探究题归纳总 结 三、最值问题归纳 四、等差数列性质 十、备用问题（高考题）：【2010 年高考福建卷理 3】设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1=-11，a4+a6=-6，则当 Sn 取最小值时，n 等于（）A、6 B、7 C、8 D、9 考点：等差数列的前 n 项和 专题：常规题型 分析：条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于 n 的二次函数解得 解答：解：设该数列的公差为 d，则 a4+a6=2a1+8d=2（-11）+8d=-6，解得 d=2，所以，所以当 n=6 时，Sn 取最小值 故选 A.十一、教后反思