经典双曲线知识点汇总.pdf

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1、双曲线：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；了解双曲线的简单几何性质。重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质.难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线.知识点一：双曲线的定义在平面，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于 0 且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1.双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2.若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3.若常数

2、满足约束条件：，则动点轨迹是以 F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5若常数，则动点轨迹为线段 F1F2的垂直平分线。知识点二：双曲线的标准方程 1当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2在双曲线的两种标准方程中，都有；3双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质

3、双曲线（a0，b0）的简单几何性质 （1）对称性：对于双曲线标准方程（a0，b0），把 x 换成x，或把 y 换成y，或把 x、y 同时换成x、y，方程都不变，所以双曲线（a0，b0）是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。（2）围：双曲线上所有的点都在两条平行直线 x=a 和 x=a 的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足 x-a 或 xa。（3）顶点：双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。双曲线（a0，b0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为 A1（a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上

4、的点中距离最近的点。两个顶点间的线段 A1A2叫作双曲线的实轴；设 B1（0，b），B2（0，b）为 y 轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。注意：双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。双曲线的焦点总在实轴上。实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。（4）离心率：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用 e 表示，记作。因为 ca0，所以双曲线的离心率。由 c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e 也越大，双曲线开

5、口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。等轴双曲线，所以离心率。（5）渐近线：经过点 A2、A1作 y 轴的平行线 x=a，经过点 B1、B2作 x 轴的平行线 y=b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是。我们把直线叫做双曲线的渐近线。注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。知识点四：双曲线与的区别和联系 标准方程 图形 性质 焦点，焦距 围，对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长=离心率 准线方程 渐近线方程 知识点五：双曲线的渐近线：（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为注意：（1）已

6、知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可。（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，焦点在 y 轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为.知识点六：双曲线图像中线段的几何特征：双曲线，如图：（1）实轴长，虚轴长,焦距，（2）离心率：；（3）顶点到焦点的距离：，；（4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、和角结合起来.1如何确定双曲线的标准方程？当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲

7、线的方程才是标准方程形式。此时，双曲线的焦点在坐标轴上。2双曲线标准方程中的三个量 a、b、c 的几何意义 双曲线标准方程中，a、b、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：ca，cb，且 c2=b2+a2。3如何由双曲线标准方程判断焦点位置 双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 x2、y2的系数，如果 x2项的系数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果 y2项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上。注意：对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦

8、点在哪一条坐标轴上。4方程 Ax2+By2=C（A、B、C 均不为零）表示双曲线的条件 方程 Ax2+By2=C 可化为，即，所以只有 A、B 异号，方程表示双曲线。当时，双曲线的焦点在 x 轴上；当时，双曲线的焦点在 y 轴上。5求双曲线标准方程的常用方法：待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。注意：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数 a、b，即先定型，再定量。若两种类型

9、都有可能，则需分类讨论。6如何解决与焦点三角形PF1F2（P 为双曲线上的点）有关的计算问题？与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、，有关角结合起来，建立、之间的关系.7如何确定离心率 e 的取值情况与双曲线形状的关系？：离心率，因为 c2=a2+b2，用 a、b 表示为，当 e 越大时，越大，即渐近线夹角（含 x 轴）越大，故开口越大；反之，e 越小，开口越小。离心率反映了双曲线开口的大小，且 e1。8椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|MF2|=

10、2a ac0，a2c2=b2（b0）0ac，c2a2=b2（b0），（ab0），（a0，b0，a 不一定大于 b）标准方程统一为：类型一：双曲线的定义 1已知O1：(x+5)2+y2=4，O2：(x5)2+y2=9（1）若动圆 P 与1，2均切，求动圆圆心 P 点的轨迹；（2）若动圆 Q 与1，2均外切，求动圆圆心 Q 点的轨迹。解析：（1）设P 半径为 R，O1与O2相离，|PO1|=R2，|PO2|=R3|PO1|PO2|=1，又|O1O2|=10 由双曲线的定义，P 点的轨迹是以 O1，O2为焦点，2a=1，2c10 的双曲线的右支。（2）设Q 半径为 r，则|QO1|=r+2，|QO2

11、|=r+3|QO2|QO1|=1，又|O1O2|=10 由双曲线的定义，Q 点的轨迹是以 O1，O2为焦点，2a=1，2c10 的双曲线的左支。举一反三：【变式 1】已知定点 F1(2,0)、F2(2,0)，平面满足下列条件的动点 P 的轨迹为双曲线的是（）A|PF1|PF2|=3B|PF1|PF2|=4C|PF1|PF2|=5 D|PF1|2|PF2|2=4【答案】A 【变式 2】已知点 F1(0,13)、F2(0,13)，动点 P 到 F1与 F2的距离之差的绝对值为 26，则动点 P 的轨迹方程为（）Ay=0 By=0（x13 或 x13）Cx=0（|y|13）D以上都不对【答案】C 【

12、变式 3】已知点 P(x,y)的坐标满足，则动点 P 的轨迹是（）A椭圆 B双曲线中的一支 C两条射线 D以上都不对 答案：B 类型二：双曲线的标准方程：2求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程。解法一：依题意设双曲线方程为=1 由已知得，又双曲线过点，：故所求双曲线的方程为.解法二：依题意设双曲线方程为，将点代入，解得，所以双曲线方程为.【变式 1】求与椭圆有共同的焦点，且过点的双曲线的标准方程。【答案】依题意设双曲线方程为 由已知得，又双曲线过点，故所求双曲线的方程为.【变式 2】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且顶点在轴，焦距为 10，的双曲线的标准方程.【答案】3已知双曲线的两个

13、焦点 F1、F2之间的距离为 26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为 24，求双曲线的标准方程。解析：由题意得 2a=24，2c=26。a=12，c=13，b2=132122=25。当双曲线的焦点在 x 轴上时，双曲线的方程为；当双曲线的焦点在 y 轴上时，双曲线的方程为。总结升华：求双曲线的标准方程就是求 a2、b2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴。双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看 x2、y2的分母的大小，而是看 x2、y2的系数的正负。【变式】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且虚轴长与实轴长的比为，焦距为 10 的双曲线的标准方程.【答案】由已知设,，则()依题意，解得.当双曲线

14、的焦点在 x 轴上时，双曲线的方程为 当双曲线的焦点在 y 轴上时，双曲线的方程为.类型三：双曲线的几何性质 4方程表示双曲线，数 m 的取值围。解析：由题意得或或。实数 m 的取值围为。总结升华：方程 Ax2+By2=1 表示双曲线时，A、B 异号。【变式 1】k9 是方程表示双曲线的（）A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件 【答案】B 【变式 2】求双曲线的焦距。【答案】8 【变式 3】已知双曲线 8kx2ky2=2 的一个焦点为，则 k 的值等于（）A2 B1 C1 D【答案】C 【变式 4】（2011）设双曲线的渐近线方程为，则的值为 A4

15、 B3 C2 D1【答案】C 5已知双曲线方程，求渐近线方程。（1）；（2）；（3）；（4）解析：（1）双曲线的渐近线方程为：即（2）双曲线的渐近线方程为：即（3）双曲线的渐近线方程为：即 （4）双曲线的渐近线方程为：即 总结升华：双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为 即；若双曲线的方程为（，焦点在轴上，焦点在 y 轴上），则其渐近线方程为。【变式 1】求下列双曲线方程的渐近线方程。：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）【变式 2】中心在坐标原点，离心率为的圆锥曲线的焦点在 y 轴上，则它的渐近线方程为（）A B C D【答案】D 6根据下列条件，求双曲线方程。（1)与双

16、曲线有共同的渐近线，且过点；（2）一渐近线方程为，且双曲线过点。解析：（1）解法一：当焦点在 x 轴上时，设双曲线的方程为 由题意，得，解得，所以双曲线的方程为 当焦点在 y 轴上时，设双曲线的方程为 由题意，得，解得，（舍去）综上所得，双曲线的方程为 解法二：设所求双曲线方程为（），将点代入得，所以双曲线方程为即（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是.故设双曲线方程为，点在双曲线上，解得，所求双曲线方程为.总结升华：求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.【变式 1】中心在原点，一个焦点在

17、(0,3)，一条渐近线为的双曲线方程是（）A、B、C、D、【答案】D 【变式 2】过点(2，-2)且与双曲线有公共渐进线的双曲线是()A B C D【答案】A 【变式 3】以为渐近线的双曲线方程不可能是（）A4x29y2=1 B9y24x2=1 C4x29y2=（R 且0）D9x24y2=（R 且0）【答案】D 【变式 4】双曲线与有相同的（）A实轴 B焦点 C渐近线 D以上都不对 【答案】C 类型四：双曲线的离心率：7已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于 A、B两点,若是正三角形,求双曲线的离心率。解析：，是正三角形，【变式 1】已知双曲线-=1 与 x 轴正半轴交

18、于 A 点，F 是它的左焦点，设 B 点坐标为(0,b)，且 ABBF，则双曲线的离心率为（）A、B、C、D、【答案】B 【变式 2】若椭圆的离心率为,则双曲线的离心率为_【答案】【变式 3】双曲线的渐进线方程,则双曲线的离心率为_ 【答案】【变式 4】等轴双曲线的离心率为_【答案】类型五：双曲线的焦点三角形 8已知双曲线实轴长 6，过左焦点的弦交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.解析：由双曲线的定义有:，.即.故的周长.【变式 1】已知双曲线的方程，点 A、B 在双曲线的右支上，且线段 AB 经过双曲线的右焦点 F2，|AB|=m，F1为另一焦点，则ABF1的周长为（）A2a+2m B4a+2m Ca+m D2a+4m【答案】B 【变式 2】已知是双曲线的两个焦点，P 在双曲线上且满足，则_ 【变式 3】已知双曲线，P 为双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，并且，求的面积。【答案】