陕西省西安市西安交大附中2022-2023学年九年级数学第一学期期末达标检测试题含解析.pdf

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1、2022-2023 学年九上数学期末模拟试卷 注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)1抛物线24yx与 y 轴的交点坐标是（）A（4，0）B（-4，0）C（0，-4）D（0，4）2下列语句中，正确的是（）相等的圆周角所对

2、的弧相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；圆内接平行四边形一定是矩形 A B C D 3如图，AC 是O的直径，弦 BDAO于 E，连接 BC，过点 O作 OFBC 于 F，若 BD=8cm，AE=2cm，则 OF的长度是（）A3cm B6 cm C2.5cm D5 cm 4若关于x的一元二次方程22410kxx 有两个实数根则k的取值范围是()Ak6 Bk6且2k C6k 且2k D6k 5关于x的一元二次方程22m2 xxm40有一个根为0，则m的值应为（）A2 B2 C2或2 D1 6如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六

3、角垛，顶层一个，以下各层堆成六边形，逐层每边增加一个花盆，则第七层的花盆的个数是（）A91 B126 C127 D169 7如图，直径为 10 的A 山经过点 C(0，5)和点 0(0，0)，B 是 y 轴右侧A优弧上一点，则OBC 的余弦值为()A12 B34 C32 D45 8在正方形 ABCD中，AB3，点 E在边 CD上，且 DE1，将ADE沿 AE对折到AFE，延长 EF交边 BC于点G，连接 AG，CF下列结论，其中正确的有（）个（1）CGFG；（2）EAG45；（3）SEFC35；（4）CF12GE A1 B2 C3 D4 9抛物线 y4x23 的顶点坐标是（）A(0，3)B(0

4、，3)C(3，0)D(4，3)10不透明的口袋内装有红球和白球和黄球共 20 个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取 2020 次球，发现有 505 次摸到白球，则口袋中白球的个数是（）A5 B10 C15 D20 二、填空题(每小题 3 分,共 24 分)11直角三角形的直角边和斜边分别是12和16，则此三角形的外接圆半径长为_ 12正五边形的中心角的度数是_ 13 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了 1640 张相片 如果全班有 x 名学生，根据题意，列出方程

5、为_ 14若点1,5,5,5是抛物线2yaxbxc上的两个点,则此抛物线的对称轴是_ 15若 2 是方程 x22kx+3=0 的一个根，则方程的另一根为_ 16不等式组62024xxx的解集是_ 17中国古代数学著作九章算术中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”译文为：已知长方形门的高比宽多 6.8 尺，门的对角线长为 10 尺，那么门的高和宽各是多少尺？设长方形门的宽为x尺，则可列方程为_.18如图，在四边形ABCD中，90B，2AB，8CD，ACCD.若1sin3ACB，则tan D _.三、解答题(共 66 分)19（10 分）如图，在 RtABC 中，B

6、AC90，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AFBC 交 BE 的延长线于点 F （1）求证：四边形 ADCF 是菱形；（3）若 AC6，AB8，求菱形 ADCF 的面积 20（6 分）如图，在ABC中，ABBC，120ABC，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120能与BE重合，点F是ED与AB的交点 （1）求证：AECD；（2）若45DBC，求BFE的度数 21（6 分）如图，在正方形ABCD中，6,ABM是对角线BD上的一个动点102DMBD，连接AM，过点M作MNAM交BC于点N（1）如图，求证：MAMN；（2）如图，连接,AN O为AN的中点，

7、MO的延长线交边AB于点P，当1318AMNBCDSS时，求AN和PM的长；（3）如图，过点N作NHBD于H，当2 5AM 时，求HMN的面积 22（8 分）如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为(-2，0)，OB=OA，且AOB=120(1)求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式；(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使OBC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点 M 为抛物线上一点，点 N 为对称轴上一点，是否存在点 M、N 使得 A、O、M、N 构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 23（8 分）如图，

8、学校操场旁立着一杆路灯（线段 OP）小明拿着一根长 2m的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点 A竖起竹竿（线段 AE），这时他量了一下竹竿的影长 AC正好是 1m，他沿着影子的方向走了 4m到达点B，又竖起竹竿（线段 BF），这时竹竿的影长 BD正好是 2m，请利用上述条件求出路灯的高度 24（8 分）瑞安市曹村镇“八百年灯会”成为温州“申遗”的宝贵项目某公司生产了一种纪念花灯，每件纪念花灯制造成本为 18 元设销售单价 x（元），每日销售量 y（件）每日的利润 w（元）在试销过程中，每日销售量 y（件）、每日的利润 w（元）与销售单价 x（元）之间存在一定的关系，其几组对应量如下表

9、所示：（元）19 20 21 30（件）62 60 58 40（1）根据表中数据的规律，分别写出毎日销售量 y（件），每日的利润 w（元）关于销售单价 x（元）之间的函数表达式（利润（销售单价成本单价）销售件数）（2）当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据物价局规定，这种纪念品的销售单价不得高于 32 元，如果公司要获得每日不低于 350 元的利润，那么制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要多少元？25（10 分）如图，点 P在 y 轴上，P 交 x 轴于 A，B 两点，连接 BP 并延长交P 于点 C，过点 C的直线 y2xb交 x 轴于点 D，且P 的半

10、径为5，AB4.(1)求点 B，P，C 的坐标；(2)求证：CD 是P 的切线 26（10 分）如图，已知点 C（0，3），抛物线的顶点为 A（2，0），与 y轴交于点 B（0，1），F在抛物线的对称轴上，且纵坐标为 1点 P是抛物线上的一个动点，过点 P作 PMx轴于点 M，交直线 CF于点 H，设点 P的横坐标为 m （1）求抛物线的解析式；（2）若点 P在直线 CF下方的抛物线上，用含 m的代数式表示线段 PH的长，并求出线段 PH的最大值及此时点 P的坐标；（3）当 PFPM1 时，若将“使PCF面积为 2”的点 P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，且使PCF的周长最小的点 P也是一个

11、“巧点”，请直接写出所有“巧点”的个数，并求出PCF的周长最小时“巧点”的坐标 参考答案 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)1、D【解析】试题分析：求图象与 y 轴的交点坐标，令 x=0，求 y 即可 当 x=0 时，y=4，所以 y 轴的交点坐标是（0，4）故选 D 考点：二次函数图象上点的坐标特征 2、C【分析】根据圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理判断【详解】在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本说法错误；同弧或等弧所对的圆周角相等，本说法正确；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，本说法错误；圆内接平行四边形一定是矩形，本说法正确；故选：C【点睛

12、】本题考查的是命题的真假判断，掌握圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理是解题的关键 3、D【解析】分析：根据垂径定理得出 OE 的长，进而利用勾股定理得出 BC 的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可 详解：连接 OB，AC 是O的直径，弦 BDAO于 E，BD=1cm，AE=2cm 在 RtOEB 中，OE2+BE2=OB2，即 OE2+42=（OE+2）2 解得：OE=3，OB=3+2=5，EC=5+3=1 在 RtEBC 中，BC=2222484 5BEEC OFBC，OFC=CEB=90 C=C，OFCBEC，OFOCBEBC，即544 5OF，解得：OF=5 故选 D 点

13、睛：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出 OE 的长 4、C【分析】由二次项系数非零结合根的判别式0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论 【详解】解：关于x的一元二次方程2(2)410kxx 有两个不相等的实数根，22044(2)0kk，解得：6k 且2k 故选：C【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键 5、B【分析】把 x=0 代入方程可得到关于 m的方程，解方程可得 m的值，根据一元二次方程的定义 m-20，即可得答案.【详解】关于x的一元二次方程22240mxxm有一个根为0，

14、240m且20m，解得，2m 故选 B【点睛】本题考查一元二次方程的解及一元二次方程的定义，使等式两边成立的未知数的值叫做方程的解，明确一元二次方程的二次项系数不为 0 是解题关键.6、C【分析】由图形可知：第一层有 1个花盆，第二层有 1+6=7个花盆，第三层有 1+6+12=19个花盆，第四层有 1+6+12+18=37个花盆，第 n 层有 1+6（1+2+3+4+n-1）=1+3n（n-1）个花盆，要求第 7 层个数，由此代入求得答案即可【详解】解：第一层有 1 个花盆，第二层有 1+6=7 个花盆，第三层有 1+6+12=19 个花盆，第四层有 1+6+12+18=37 个花盆，第 n

15、 层有 1+6（1+2+3+4+n-1）=1+3n（n-1）个花盆，当 n=7 时，花盆的个数是 1+37（7-1）=1 故选：C【点睛】此题考查图形的变化规律，解题关键在于找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题 7、C【分析】连接 CD，由直径所对的圆周角是直角，可得 CD是直径；由同弧所对的圆周角相等可得OBC=ODC，在RtOCD 中，由 OC和 CD的长可求出 sinODC.【详解】设A 交 x 轴于另一点 D，连接 CD，COD=90，CD为直径，直径为 10，CD=10，点 C（0，5）和点 O（0，0），OC=5，sinODC=OCCD=12，ODC=30，OBC=ODC=30

16、，cosOBC=cos30=32 故选 C.【点睛】此题考查了圆周角定理、锐角三角函数的知识.注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.8、C【分析】（1）根据翻折可得 ADAFAB3，进而可以证明ABGAFG，再设 CGx，利用勾股定理可求得 x的值，即可证明 CGFG；（2）由（1）ABGAFG，可得BAGFAG，进而可得 EAG45；（3）过点 F作 FHCE于点 H，可得 FHCG，通过对应边成比例可求得 FH的长，进而可求得 SEFC35；（4）根据（1）求得的 x的长与 EF不相等，进而可以判断 CF12GE.【详解】解：如图所示：（1）四边形 ABCD为正方形，ADABB

17、CCD3，BADBBCDD90，由折叠可知：AFAD3，AFED90，DEEF1，则 CE2，ABAF3，AGAG，RtABGRtAFG（HL），BGFG，设 CGx，则 BGFG3x，EG4x，EC2，根据勾股定理，得 在 RtEGC中，（4x）2x2+4，解得 x32，则 3x32，CGFG，所以（1）正确；（2）由（1）中 RtABGRtAFG（HL），BAGFAG，又DAEFAE，BAG+FAG+DAE+FAE90，EAG45，所以（2）正确；（3）过点 F作 FHCE于点 H，FHBC，FHEFCGEG,即 1：（32+1）FH：（32），FH35，SEFC1223535，所以（3）

18、正确；（4）GF32，EF1，点 F不是 EG的中点，CF12GE，所以（4）错误.所以（1）、（2）、（3）正确.故选：C.【点睛】此题考查正方形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理求线段长度，平行线分线段成比例，正确掌握各知识点并运用解题是关键.9、B【分析】根据抛物线2yaxb的顶点坐标为(0，b)，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，【详解】解：抛物线243yx，该抛物线的顶点坐标为0,3，故选：B【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 10、A【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到白球的概率为 0.25，然后根据概率公式计算这个口

19、袋中白球的数量【详解】设白球有 x 个，根据题意得：505202020 x，解得：x=5，即白球有 5 个，故选 A【点睛】考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确 二、填空题(每小题 3 分,共 24 分)11、1【分析】根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半解答即可【详解】解：根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，其斜边为 16 其外接圆的半径是 1；故答案为：1【点睛】此题

20、要熟记直角三角形外接圆的半径公式：外接圆的半径等于斜边的一半 12、72【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正 n边形的圆中心角为360n，则代入求解即可【详解】解：正五边形的中心角为：360725 故答案为 72【点睛】此题考查了正多边形的中心角的知识题目比较简单，注意熟记定义 13、x（x-1）=1【解析】试题分析:每人要赠送（x1）张相片,有 x 个人,所以全班共送:（x1）x=1 故答案是（x1）x=1 考点:列一元二次方程 14、x=3【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴【详解】解：点1,5,5,5是抛物线2yaxbxc上的两个点,且纵坐标相等 根据抛物线的对称性知道抛物

21、线对称轴是直线1 5x32 故答案为：x3【点睛】本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0），抛物线上两个不同点 P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，若有 y1=y2，则 P1，P2两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线：122xxx.15、32【解析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出答案.【详解】解：设方程的另一根为 x1，又x2=2，2x1=3，解得 x1=32，故答案是：32【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，应该熟练掌握两根之和，两根之积.16、3x 【分析】根据解一元一次不等式组的方法求解即可

22、；【详解】解：由不等式得，x3，由不等式得，x4，故不等式组的解集是：x3；故答案为：x3.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组，掌握一元一次不等式是解题的关键.17、222(6.8)10 xx【分析】先用x表示出长方形门的高，然后根据勾股定理列方程即可.【详解】解：长方形门的宽为x尺，长方形门的高为6.8x尺，根据勾股定理可得：222(6.8)10 xx 故答案为：222(6.8)10 xx.【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用和勾股定理，根据勾股定理列出方程是解决此题的关键.18、34【分析】首先在 ABC 中，根据三角函数值计算出 AC 的长，然后根据正切定义可算出tanD【详解】9

23、0B,1sin3ACB，13ABAC，AB=2，AC=6，ACCD，90ACD，63tan84ACDCD 故答案为：34.【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦，正切的定义是解题的关键.三、解答题(共 66 分)19、（1）详见解析；（2）24【分析】（1）可先证得AEFDEB，可求得 AF=DB，可证得四边形 ADCF 为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得 AD=CD，可证得结论；（2）将菱形 ADCF 的面积转换成ABC 的面积，再用 SABC的面积=12ABAC，结合条件可求得答案【详解】（1）证明：E是 AD 的中点 AEDE AFBC AFEDBE 在AEF 和DEB 中

24、AFEDBEDEBAEFAEDE AEFDEB（AAS）AFDB D 是 BC 的中点 BD=CD=AF 四边形 ADCF 是平行四边形 BAC90，ADCD12BC 四边形 ADCF 是菱形；（2）解：设 AF 到 CD 的距离为 h，AFBC，AFBDCD，BAC90，AC6，AB8 S菱形ADCFCDh12BChSABC12ABAC16 8242 【点睛】本题主要考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键 20、（1）证明见解析；（2）105BFE【分析】（1）根据旋转的性质证明ABECBD，进而得证；（2）结合（1）得出BEDBDE，

25、最后根据三角形内角和定理进行求解【详解】（1）证明：线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120能与BE重合，BDBE，120EBD，ABBC，120ABC，120ABDDBCABDABE，即DBCABE，ABECBD，AECD；（2）解：由（1）知，45DBCABE，BDBE，120EBD，1(180120)302BEDBDE，1803045105BFE【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明ABECBD 是解题的关键 21、（1）见解析；（2）2 13AN；5 133PM；（3）面积为3.【分析】（1）过点 M 作 MFAB 于 F，作 MGBC

26、 于 G，由正方形的性质得出ABD=DBC=45，由角平分线的性质得出 MF=MG，证得四边形 FBGM 是正方形，得出FMG=90，证出AMF=NMG，证明AMFNMG，即可得出结论；（2）证明 RtAMNRtBCD，得出2AMNBCDSANSBD，求出 AN=213，由勾股定理得出BN=22ANAB=4，由直角三角形的性质得出 OM=OA=ON=12AN=13，OMAN，证明PAONAB，得出OPOABNAB，求出OP=2 133，即可得出结果；（3）过点A作AFBD于F，证明AFMMHN得出AF=MH，求出 AF=12BD=1262=32，得出 MH=32，MN=25，由勾股定理得出 H

27、N=222MNMH，由三角形面积公式即可得出结果【详解】（1）证明：过点M作MFAB于F，作MGBC于G，如图所示：90AFMMFBBGMNGM ，四边形ABCD是正方形，90,ABCDAB,45ADABABDDBC，,MFABMGBC，MFMG，90ABC，四边形FBGM是正方形，90FMG，90FMNNMG，MNAM，90AMFFMN，AMFNMG，在AMF和NMG中，AFMNGMMFMGAMFNMG ()AMFNMG ASA，MAMN；（2）解：在Rt AMN中，由（1）知：MAMN，45MAN，45DBC，MANDBC，Rt RtAMNBCD，2AMNBCDSANSBD 在Rt ABD

28、中，6ABAD，6 2BD，221318(6 2)AN，解得：2 13AN，在Rt ABN中，2222(2 13)64BNANAB，在Rt AMN中，,MAMN O是AN的中点，113,2OMOAONANOMAN，90AOP，AOPABN，PAONAB，PAONAB，OPOABNAB，即：1346OP，解得：2 133OP，2 135 131333PMOMOP；（3）解：过点A作AFBD于F，如图所示：90AFM，90FAMAMF，MNAM 90AMN，90AMFHMN，FAMHMN，NHBD，90AFMMHN，在AFM和MHN中，FAMHMNAFMMHNAMMN ()AFMMHN AAS，A

29、FMH，在等腰直角ABD中，AFBD，116 23 222AFBD，3 2MH，2 5AM 2 5MN 222(2 5)(3 2)2HNMNMH，113 22322HMNSMH HN，HMN的面积为3【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键 22、（1）232 333yxx；（2）（1，33）；（3）M1（1，33），M2（3，3），M3（1，3）【解析】（1）先确定出点 B坐标，再用待定系数法即可；（2）先判断出使B

30、OC的周长最小的点 C的位置，再求解即可；（3）分 OA为对角线、为边这两种情况进行讨论计算即可得出答案【详解】(1)如图所示，过点 B作 BDx轴于点 D,点 A的坐标为（-2，0），OB=OA，OB=OA=2，AOB=120，BOD=60，在 RtOBD 中,ODB=90，OBD=30，OD=1,DB=3，点 B的坐标是(1,3)，设所求抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，由已知可得：03420cabcabc，解得：332 3 30abc 所求抛物线解析式为232 333yxx；(2)存在.如图所示，BOC 的周长=OB+BC+CO，又OB=2，要使BOC的周长最小，必须 BC+CO最

31、小，点 O和点 A关于对称轴对称，连接 AB与对称轴的交点即为点 C，由对称可知，OC=OA，此时BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+AC；点 C为直线 AB与抛物线对称轴的交点，设直线 AB的解析式为 y=kx+b，将点 A(2,0),B(1,3)分别代入，得：320kbkb，解得：332 3 3ab，直线 AB的解析式为 y=33x+2 33，当 x=1 时,y=33，所求点 C的坐标为(1,33)；(3)如图所示，当以 OA为对角线时，OA与 MN互相垂直且平分，点 M1(1,33)，当以 OA为边时，OA=MN 且 OAMN，即 MN=2,MNx轴，设 N(1,t)，则 M(3

32、,t)或(1,t)将 M点坐标代入232 333yxx，解得，t=3，M2(3,3)，M3(1,3)综上：点 M的坐标为：（1，33），或（3，3）或（1，3）【点睛】本题是一道二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、最短路径、平行四边形等知识.综合运用所学知识，并进行分类讨论是解题的关键.23、1m 高【分析】根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：由于 BFDB2m，即D45，DPOP灯高 在CEA与COP中，AECP，OPCP，AEOP CEACOP，CAAECPOP 设 APxm，OPhm，则121xh，DPOP2+4+xh，联立两式，解得 x4，h1 路灯有 1m高【点睛】本题

33、考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键 24、（1）y2x+100，w2x2+136x1800；（2）当销售单价为 34 元时，每日能获得最大利润，最大利润是 1 元；（3）制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要 648 元【解析】（1）观察表中数据，发现 y 与 x 之间存在一次函数关系，设 ykx+b列方程组得到 y 关于 x 的函数表达式 y2x+100，根据题意得到 w2x2+136x1800；（2）把 w2x2+136x1800 配方得到 w2（x34）2+1根据二次函数的性质即可得到结论；（3）根据题意列方程即可得到即可【详解】解：（1）观察表中数据，发现 y

34、 与 x 之间存在一次函数关系，设 ykx+b 则62196020kbkb，解得k2b100，y2x+100，y 关于 x 的函数表达式 y2x+100，w（x18）y（x18）（2x+100）w2x2+136x1800；（2）w2x2+136x18002（x34）2+1 当销售单价为 34 元时，每日能获得最大利润 1 元；（3）当 w350 时，3502x2+136x1800，解得 x25 或 43，由题意可得 25x32，则当 x32 时，18（2x+100）648，制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要 648 元【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出函数关系式 25、（1

35、）C(2，2)；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）Rt OBP 中，由勾股定理得到 OP 的长，连接 AC，因为 BC 是直径，所以BAC=90，因为 OP 是 ABC 的中位线，所以 OA=2，AC=2，即可求解；（2）由点 C 的坐标可得直线 CD 的解析式，则可求点 D 的坐标，从而可用 SAS 证DACPOB，进而证ACB=90.试题解析：(1)解：如图，连接 CA.OPAB，OBOA2.OP2BO2BP2，OP2541，OP1.BC 是P 的直径，CAB90.CPBP，OBOA，AC2OP2.B(2，0)，P(0，1)，C(2，2)(2)证明：直线 y2xb 过 C 点，b6

36、.y2x6.当 y0 时，x3，D(3，0)AD1.OBAC2，ADOP1，CADPOB90，DACPOB.DCAABC.ACBCBA90，DCAACB90，即 CDBC.CD 是P 的切线 26、（1）y14（x2）2，即 y14x2x+1；（2）m0 时，PH的值最大最大值为 2，P（0，2）；（3）PCF的巧点有 3 个，PCF的周长最小时，“巧点”的坐标为（0，1）【解析】（1）设抛物线的解析式为 ya（x2）2，将点 B的坐标代入求得 a的值即可；（2）求出直线 CF的解析式，求出点 P、H的坐标，构建二次函数即可解决问题；（3）据三角形的面积公式求得点 P到 CF的距离，过点 C作

37、 CGCF，取 CG2则点 G的坐标为（1，2）或（1，4），过点 G作 GHFC，设 GH的解析式为 yx+b，将点 G的坐标代入求得直线 GH的解析式，将直线 GH的解析式与抛物线的解析式，联立可得到点 P的坐标，当 PC+PF最小时，PCF的周长最小，由 PFPM1 可得到PC+PFPC+PM+1，故此当 C、P、M在一条直线上时，PCF 的周长最小，然后可求得此时点 P的坐标；【详解】解：（1）设抛物线的解析式为 ya（x2）2，将点 B的坐标代入得：4a1，解得 a14，抛物线的解析式为 y14（x2）2，即 y14x2x+1（2）设 CF的解析式为 ykx+3，将点 F的坐标 F（

38、2，1）代入得：2k+31，解得 k1，直线 CF的解析式为 yx+3，由题意 P（m，14m2m+1），H（m，m+3），PH14m2+2，m0 时，PH的值最大最大值为 2，此时 P（0，2）（3）由两点间的距离公式可知：CF22 设PCF中，边 CF的上的高线长为 x则1222x2，解得 x2 过点 C作 CGCF，取 CG2则点 G的坐标为（1，2）过点 G作 GHFC，设 GH的解析式为 yx+b，将点 G的坐标代入得：1+b2，解得 b1，直线 GH的解析式为 yx+1，与 y14（x2）2联立 解得：01xy，所以PCF 的一个巧点的坐标为（0，1）显然，直线 GH在 CF的另一侧时，直线 GH与抛物线有两个交点 FC为定点，CF的长度不变，当 PC+PF最小时，PCF的周长最小 PFPM1，PC+PFPC+PM+1，当 C、P、M在一条直线上时，PCF的周长最小 此时 P（0，1）综上所述，PCF的巧点有 3 个，PCF的周长最小时，“巧点”的坐标为（0，1）【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、两点间的距离公式、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考压轴题