《火线100天》2015中考数学复习滚动小专题(五)三角形的有关计算与证明_1.pdf

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1、-1-滚动小专题（五）三角形的有关计算与证明 三角形的有关计算和证明是中考的必考内容之一，这类试题解法比较灵活，通常以全等三角形、等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定为考查重点，以计算题、证明题的形式出现，解答这类问题时，不仅要熟练掌握有关的公式定理，更要注意它们之间的相互联系.例 (2014重庆 B 卷)如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，E 为 AC 边的中点，过点A 作 ADAB 交 BE 的延长线于点 D.CG 平分ACB 交 BD 于点 G，F 为 AB 边上一点，连接 CF，且ACFCBG.求证：(1)AFCG；(2)CF2DE.【思路点拨】(1)要证明 AFCG，

2、可以利用“ASA”证明ACFCBG 来得到；(2)要证明 CF2DE，由(1)得 CF=BG，则只要证明 BG=2DE，又利用AEDCEG 可得 DG=2DE，故证明 DG=BG 即可.【解答】证明：(1)ACB90，CG 平分ACB，ACBC.BCGCAB45.又ACFCBG，ACBC，ACFCBG(ASA),CFBG，AFCG.(2)延长 CG 交 AB 于点 H.ACBC，CG 平分ACB，CHAB，H 为 AB 中点.又ADAB，CHAD,G 为 BD 中点，DEGC.E 为 AC 中点，AEEC.又AEDCEG，AEDCEG(AAS),DEEG,DG2DE,BGDG2DE.由(1)得

3、 CFBG，CF2DE.方法归纳：解答与线段或角相等的有关问题时，通常将它转化为全等三角形问题来求解.1.(2014长沙)如图，四边形 ABCD 是矩形，把矩形沿对角线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，CE与 AD 相交于点 O.-2-(1)求证：AOECOD；(2)若OCD=30，AB=3,求AOC 的面积.2.(2014滨州)如图，已知正方形 ABCD，把边 DC 绕 D 点顺时针旋转 30到 DC处，连接AC，BC，CC.写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程.3.如图，在ABC 中，ABC=45,CDAB,BEAC,垂足分别为 D、E，F 为 BC 中点，BE 与DF、DC 分别

4、交于点 G、H，ABE=CBE.(1)线段 BH 与 AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2-GE2=EA2.-3-4.在等边ABC 中，点 E 是 AB 上的动点，点 E 与点 A、B 不重合，点 D 在 CB 的延长线上，且 EC=ED.(1)当 BE=AE 时，求证：BD=AE；(2)当 BEAE 时，“BD=AE”还成立吗？若你认为不成立，请直接写出 BD 与 AE 数量关系式，若你认为成立，请给予证明.5.(2014重庆 A 卷)如图，ABC 中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是 D，AE 平分BAD，交 BC 于点 E.在ABC 外有一点 F

5、，使 FAAE，FCBC.(1)求证：BE=CF；(2)在 AB 上取一点 M，使 BM=2DE，连接 MC，交 AD 于点 N，连接 ME.求证：MEBC；DE=DN.-4-参考答案 1.(1)证明：由折叠的性质可得：AEAB,EB90.四边形 ABCD 是矩形，CDAB,D90.AECD，ED90.在AOE 和COD 中，,AOECODEDAECD AOECOD(AAS).(2)在 RtOCD 中，OCD30，OC=2OD.ABCD3，OD2+CD2=OC2，OD2+(3)2=4OD2,解得 OD1.OC2.由折叠知：BCAACO.ADBC，OACBCA，OACACO，OAOC2，SAOC

6、=12OACD=1223=3.2.图中的所有的等腰三角形有：DCC，DAC，ABC，BCC，理由如下：正方形 ABCD，CD=AD=AB=BC，ADC=DAB=ABC=BCD=90.边 DC 绕 D 点顺时针旋转 30到 DC处，DC=DC=AD=AB，DCC=DCC=12(180-30)=75，即DCC是等腰三角形.ADC=90，CDC=30，ADC=60.DC=AD，DAC为等边三角形.AC=AD=AB，DAC=DCA=60,ABC为等腰三角形，BAC=90-60=30,ABC=ACB=12(180-30)=75,CBC=90-75=15，CCB=90-75=15,CBC=CCB,-5-B

7、CC是等腰三角形.3.(1)BH=AC.证明：BDC=BEC=CDA=90,ABC=45,BCD=45=ABC,DB=DC.又BHD=CHE,DBH=DCA.DBHDCA,BH=AC.(2)证明：连接 GC.则 GC2-GE2=EC2.F 为 BC 中点，DB=DC，DF 垂直平分 BC,BG=GC.BG2-GE2=EC2.ABE=CBE,CEB=AEB,BE=BE,BCEBAE.EC=EA,BG2-GE2=EA2.4.(1)证明：如图 1，在等边ABC 中，ABC=ACB=60.BE=AE，ACE=ECB=30.又CE=DE，D=ECD=30.DEB=30，BE=BD，BD=AE.(2)BD

8、=AE 还成立.证明：如图 2，过点 E 作 EFAC 交 BC 于 F，易证EFB 为等边三角形，EF=FB=BE.EFB=EBF.CFE=EBD.CE=DE，ECD=D.ECFEDB，CF=BD.AB=BC，AB-BE=BC-BF，即 AE=CF.AE=BD.5.证明：(1)BAC=90，AB=AC，B=ACB=45.-6-FCBC，BCF=90.ACF=90-45=45，B=ACF.BAC=90，FAAE，BAE+CAE=90，CAF+CAE=90，BAE=CAF.在ABE 和ACF 中，,BAECAFABACBACF ABEACF(ASA).BE=CF.(2)如图，过点 E 作 EHA

9、B 于 H，则BEH 是等腰直角三角形.HE=BH，BEH=45.AE 平分BAD，ADBC，DE=HE，DE=BH=HE.BM=2DE，HE=HM，HEM 是等腰直角三角形，MEH=45，BEM=45+45=90，MEBC.由题意，得CAE=45+1245=67.5，CEA=180-45-67.5=67.5，CAE=CEA=67.5，AC=CE.在 RtACM 和 RtECM 中，,CMCMACCE RtACMRtECM(HL)，ACM=ECM=1245=22.5.又DAE=1245=22.5，DAE=ECM.BAC=90，AB=AC，ADBC，AD=CD=12BC.在ADE 和CDN 中，-7-,DAEECMADCDADECDN ADECDN(ASA)，DE=DN.