九年级数学竞赛圆与圆辅导教案.docx

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1、九年级数学竞赛圆与圆辅导教案九年级数学竞赛协助圆辅导教学案 【例题求解】 【例1】如图，直线AB和AC与O分别相切于B、C，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为4cm、6cm，那么P到BC的距离为 (全国初中数学联赛题) 思路点拨连DF，EF，找寻PD、PE、PF之间的关系，证明PDFPFE，而发觉P、D、B、F与P、E、C、F分别共圆，突破角是解题的关键 注：圆具有丰富的性质： (1)圆的对称性； (2)等圆或同圆中不同名称量的转化； (3)与圆相关的角； (4)圆中比例线段 适当发觉并添出协助圆，就为圆的丰富性质的运用创建了条件，由于图形的困难性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆

2、，心中有圆” 【例2】如图，若PA=PB，APB=2ACB，AC与PB交于点P，且PB=4，PD=3，则ADDC等于() A6B7C12D16 (“TI”杯全国初中数学竞赛题) 思路点拨作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件 注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添协助圆的最基本方法 【例3】如图，在ABC中，AB=AC，随意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，求证：ABC的外心O与A，P，Q四点共圆 思路点拨先作出ABC的外心O，连PO、OQ，将问题转化为证明角相等 【例4】如图，P是O外一点，PA切O于A，PBC是O的割线，ADPO于D

3、求证： 思路点拨因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定PBD与PCD相像证明PA2=PDPO=PBPC，B、C、O、D共圆，这样连OB，就得多对相像三角形，以此达到证明的目的 注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相像三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可干脆运用圆的性质为解题服务 【例5】如图，在ABC中，高BE、CF相交于H，且BHC=135，G为ABC内的一点，且GB=GC，BGC3A，连结HG，求证：HG平分BHF 思路点拨经计算可得A=45，ABE，BFH皆为等腰直角三角形，只需证GHB=

4、GHF=22.5 由BGC=3A=135=GHC，得B、G、H、C四点共圆，运用圆中角转化敏捷的特点证明 注：很多直线形问题借助协助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解 学力训练 1如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2，P为正方形内一点，且OPB=45，PA：PB=5：14，则PB的长为 (北京市竞赛题) 2如图，在ABC中，AB=AC=2，BC边上有100个不同的点Pl、P2，P100，记（i=1，2，100），则= 3设ABC三边上的高分别为AD、BE、CF，且其垂心H不与任一顶点重合，则由点A、B、C、D、E、F、H中某四点可以确定的圆共有() A3个B4个

5、C5个D6个 (2000年太原市竞赛题) 4如图，已知OA=OB=OC，且AOB=BOC，则ACB是BAC的() A倍B是倍CD 5如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P在线段AD上，满意条件的BPC=90的点P的个数为() A0B1C21D不小于3的整数 (全国初中数学联赛题) 6如图，AD、BE是锐角三角形的两条高，SABC=18，SDEC=2，则COSC等于() A3BCD 7如图；已知H是ABC三条高的交点，连结DF，DE，EF，求证：H是DEF的内心 8如图，已知ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TDAB，TEAC 求证：(1)A

6、HD=AHE；(2)(陕西省竞赛题) 9如图，已知在凸四边形ABCDE中，BAE=3，BC=CD=DE，且BCD=CDE=求证：BAC=CAD=DAK， (全国初中数学联赛题) 10如图，P是O外一点，PA和PB是O的切线，A，B为切点，PO与AB交于点M，过M任作O的弦CD求证：CPO=DPO 11如图，已知点P是O外一点，PS、PT是O的两条切线，过点P作O的割线PAB，交OA、B两点，与ST交于点C求证： (国家理科试验班招生试题) 九年级数学竞赛圆幂定理教案 【例题求解】【例1】如图，PT切O于点T，PA交O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB=(成

7、都市中考题)思路点拨综合运用圆幂定理、勾股定理求PB长 注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特别、不断深化的过程，大致经验了四个阶段：(1)平行线分线段对应成比例；(2)相像三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来；(4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来 【例2】如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于点E，且与CD相切，若AB=4，BE=5，则DE的长为()A3B4CD(全国初中数学联赛题)思路点拨连AC，CE，由条件可得很多等线段，为切割线定理的运用创设条件 注：圆中线段的算，经常须要综合相像三角形、

8、直角三角形、圆幂定理等学问，通过代数化获解，加强对图形的分解，注意信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键 【例3】如图，ABC内接于O，AB是O的直径，PA是过A点的直线，PAC=B(1)求证：PA是O的切线；(2)假如弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：BE=2：3，求AB的长和ECB的正切值(北京市海淀区中考题)思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富学问(1)问的证明为切割线定理的运用创建了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并找寻x与k的关系，建立x或k的方程 【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长

9、线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE(四川省竞赛题)思路点拨由切割线定理得EG2=EFEP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EFEP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明 注：圆中的很多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁须要留意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF4求：(1)cosF的值

10、；(2)BE的长(成都市中考题)思路点拨解决本例的基础是：熟识圆中常用协助线的添法(连OE，AE)；熟识圆中重要性质定理及角与线段的转化方法对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从BEFEAF，RtAEB入手 注：当直线形与圆结合时就产生错综困难的图形，擅长分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：(1)多视点视察图形如本例从D点看可用切线长定理，从F点看可用切割线定理(2)多元素分析图形图中有没有特别点、特别线、特别三角形、特别四边形、全等三角形、相像三角形(3)将以上分析组合，找寻联系 学力训练1如图，PT是O的切线，T为切点，PB是O的割线，交O于A、B两点，交弦

11、CD于点M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT的长为(绍兴市中考题)2如图，PAB、PCD为O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD=3如图，AB是O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是O的切线，D为切点，过点B作O的切线交CD于点F，若AB=CD=2，则CE=(天津市中考题) 4如图，在ABC中，C=90，AB=10，AC=6，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为()A64B32C36D8(苏州市中考题) 5如图，O的弦AB平分半径OC，交OC于P点，已知PA、PB的长分别为方程的两根，则此圆的直径为()ABCD(昆明市中考题) 6如图，O的直径A

12、b垂直于弦CD，垂足为H，点P是AC上一点(点P不与A、C两点重合)，连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F，给出下列四个结论：CH2=AHBH；ADAC：AD2=DFDP；EPC=APD，其中正确的个数是()A1B2C3D4(福州市中考题)7如图，BC是半圆的直径，O为圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，ADBC于点D(1)若B=30，问AB与AP是否相等?请说明理由；(2)求证：PDPO=PCPB；(3)若BD：DC=4：l，且BC10，求PC的长(绍兴市中考题)8如图，已知PA切O于点A，割线PBC交O于点B、C，PDAB于点D，PD、AO的延长线

13、相交于点E，连CE并延长交O于点F，连AF(1)求证：PBDPEC；(2)若AB=12，tanEAF=，求O的半径的长(北京市崇文区中考题)9如图，已知AB是O的直径，PB切O于点B，PA交O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交O于F、G，且BE、BD恰哈好是关于x的方程(其中为实数)的两根(1)求证：BE=BD；(2)若GEEF=，求A的度数(山西省中考题) 10如图，ABC中，C=90，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点E，与AC相切于点D，已知AD=2，AE=1，那么BC=(山东省临沂市中考题) 11如图，已知A、B、C、D在同一个圆上，BC=CD，AC与BD交

14、于E，若AC=8，CD=4，且线段BE、ED为正整数，则BD=12如图，P是半圆O的直径BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AHBC于H，若PA=1，PB+PC=(2)，则PH=()ABCD13如图，ABC是O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且EFAB，若AB=2，则DE的长为()ABCD114如图，已知AB为O的直径，C为O上一点，延长BC至D，使CD=BC，CEAD于E，BE交O于F，AF交CE于P，求证：PE=PC(太原市竞赛题)15已知：如图，ABCD为正方形，以D点为圆心，AD为半径的圆弧与以BC为直径的O相交于P、C两点，连结AC、AP、CP，并延长CP、AP分别交AB、B

15、C、O于E、H、F三点，连结OF(1)求证：AEPCEA；(2)推断线段AB与OF的位置关系，并证明你的结论；(3)求BH:HC(四川省中考题)16如图，PA、PB是O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若PE=2，CD=1，求DE的长(国家理科试验班招生试题) 17如图，O的直径的长是关于x的二次方程(是整数)的最大整数根，P是O外一点，过点P作O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B、C是直线PBC与O的交点，若PA、PB、PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA+PB+PC的值(全国初中数学竞赛题) 九年级数学圆回顾与思索 学问梳理 学问点1：圆及有关的线段和角

16、 例1：如图1，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形 顶点，O的半径为1，P是O上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB 等于（） A30B45C60D90 例2：如图2，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13图1 米，则拱高为（） A5米B8米C7米D5米 练习：1.如图3，AOB是O的圆心角，AOB=80，则弧所对圆周角ACB的度数是() A40B45C50D80 2.如图4，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB的长为（） A4cmB5cmC6cmD8cm 3.如图5，小量角器的零度线在大量角器的零度线上

17、，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上假如它们外缘边上的公共点在小量角器上对应的度数为，那么在大量角器上对应的度数为_（只需写出的角度） 图2图3图4图5 最新考题1.如图6，在中，=90，=10，若以点为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（） AB5CD6 2.如图7，AB是半圆O的直径，点P从点O动身，沿的 路径运动一周设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（） 学问点2：与圆有关的位置关系 例1：如图8，在直角梯形中，且，是O的直径，则直线与O的位置关系为（） A相离B相切C相交D无法确定 例2：如图9，直线AB、CD相交于点O，AOD=30，半径为1cm的P的

18、圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm假如P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（）秒钟后P与直线CD相切 484或64或8 例3：如图10是一个“众志成城，奉献爱心”的图标，图标中两圆的位置关系是() A外离B相交C外切D内切 图8图9图10 练习：1.O的直径为12cm，圆心O到直线的距离为7cm，则直线与O的位置关系是（） .相交.相切.相离.不能确定： 2.OA平分BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的P与OC相离，那么P与OB的位置关系是（） A相离B相切C相交D相交或相切 最新考题1.已知O1与O2的半径分别为5cm和3cm，圆心距020=7cm，则两圆的位置

19、关系为（） A外离B外切C相交D内切 2.如图11，AB是O的直径，AD是O的切线，点C在O上，BCOD,AB2,OD3,则BC的长为（） ABCD 3.一个钢管放在V形架内，如图12是其截面图，O为钢管的圆心假如钢管的半径为25cm，MPN60，则OP() A50cmB25cmCcmD50cm 例2：如图13，扇形的圆心角为，半径为，是的三等分点，则图中阴影部分的面积和是_ 图11图12图13图14 练习：1.如图14，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120，AB长为30cm，贴纸部分BD长为20cm，贴纸部分的面积为（）. A.800cm2B.500cm2C.cm2D.c

20、m2 2.两同心圆的圆心是O，大圆的半径是以OA，OB分别交小圆于点M,N已知大圆半径是小圆半径的3倍，则扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的（）. A.2倍B.3倍C.6倍D.9倍 3.半径为的圆内接正三角形的面积是（） ABCD 最新考题1.如图15，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB切小圆于P，两圆的半径分别为6，3，则图中阴影部分的面积是（） ABCD 2.如图16，已知的半径，则所对的弧的长为（） ABCD 3.边长为的正六边形的内切圆的半径为（） ABCD 学问点4：圆锥的面积 处有一老鼠正在偷吃粮食小猫从处沿圆锥的表面去偷袭这只老鼠，则小猫所经过的最短路程是_（结果不取近似数） 图

21、15图16图17图18 练习：1.如图18，扇形的半径为30cm，圆心角为1200，用它做成一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（）. 10cm20cm10cm20cm 2.如图19，在ABC中，C=90，ACBC，若以AC为底面圆半径、BC为高的圆锥的侧面积为，以BC为底面圆半径、AC为高的圆锥的侧面积为S2，则（） AS1=S2BS1S2CS1S2DS1，S2有大小关系不确定 最新考题1.圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（） ABCD 2.如图20已知扇形的半径为6cm，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个 圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（） ABCD 图19图20 过关检测 一

22、、选择题 1.下列图案中，不是中心对称图形的是() 2点P在O内，OP=2cm，若O的半径是3cm，则过点P的最短弦的长度为（） A1cmB2cmCcmDcm 3已知A为O上的点，O的半径为1，该平面上另有一点P，那么点P与O的位置关系是（） A点P在O内B点P在O上C点P在O外D无法确定 4如图，为的四等分点，动点从圆心动身，沿路途作匀速运动，设运动时间为（s），则下列图象中表示与之间函数关系最恰当的是（） 5.在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（） A与轴相离、与轴相切B与轴、轴都相离 C与轴相切、与轴相离D与轴、轴都相切 6如图,若的直径AB与弦AC的夹角为30,

23、切线CD与AB的延长线交于点D,且O的半径为2,则CD的长为()A.B.C.2D.4 7如图，已知是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，,点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点,设，则的取值范围是（） AOBC11D 8如图，PQR是O的内接三角形，四边形ABCD是O的内接正方形，BCQR,则DOR的度数（） A.60B.65C.72D.75 9.如图，、相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（） ABCD 10古尔邦节，6位挚友匀称地围坐在圆桌旁共度佳节圆桌半径为60cm，每人离圆桌的距离均为10cm，现又来了两名客人，每人向后挪

24、动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等设每人向后挪动的距离为x，依据题意，可列方程（） AB CD 二、填空题 11.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为. 12如图，在ABC中，A=90，AB=AC=2cm，A与BC相切于点D，则A的半径长为cm. 14相切两圆的半径分别为10和4，则两圆的圆心距是 15如图，AB是圆O的直径，弦AC、BD相交于点E，若BEC=60，C是BD的中点， 则tanACD= 16.点M、N分别是正八边形相邻的边AB、B

25、C上的点，且AMBN，点O是正八边形的中心，则MON度 17如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AB交小圆于 C、D两点，ACCDDB，分别以C、D为圆心，以CD为半径作圆 若AB6cm，则图中阴影部分的面积为cm2 18.市园林处安排在一个半径为10m的圆形花坛中，设计三块半径相等且相互无重叠部分的圆形地块分别种植三种不同花色的花卉，为使每种花种植面积最大，则这三块圆形地块的半径为m（结果保留精确值） 三、解答题 19已知：如图，在ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DEAC，垂足为点E求证：（1）ABC是等边三角形；（2） 20如图，BD是O的直径，AB与O相切于点B，过点D作OA的平行线交O于点C，AC与BD的延长线相交于点E (1)摸索究AE与O的位置关系，并说明理由； (2)已知ECa，EDb，ABc，请你思索后，选用以上适当的数据，设计出计算O的半径r的一种方案： 你选用的已知数是；写出求解过程（结果用字母表示） 第17页 共17页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页