3.3等差数列的前n项和（第二课时）.docx

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1、3.3等差数列的前n项和（第二课时）等差数列的前n项和等差数列的前n项和教学目标1.把握等差数列前项和的公式,并能运用公式解决简洁的问题.(1)了解等差数列前项和的定义,了解逆项相加的原理,理解等差数列前项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;(2)用方程思想熟识等差数列前项和的公式,利用公式求;等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母,已知其中三个量求另两个值;(3)会利用等差数列通项公式与前项和的公式探讨的最值.2.通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从非凡到一般,再从一般到非凡的思维规律,初步形成熟识问题,解决问题的一般思路和方法.3.通过公式推导的过程教学,对学生进行思维敏

2、捷性与广袤性的练习,发展学生的思维水平.4.通过公式的推导过程,呈现数学中的对称美;通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的好用性,引导学生要擅长视察生活,从生活中发觉问题,并数学地解决问题.教学建议(1)学问结构本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用,首先通过详细的例子给出了求等差数列前项和的思路,而后导出了一般的公式,并加以应用;再与等差数列通项公式组成方程组,共同运用,解决有关问题.(2)重点、难点分析教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用,难点是公式推导的思路.推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路,即从非凡问题的解决中提炼一般方法,再试图运

3、用这一方法解决一般状况,所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要.等差数列前项和公式有两种形式,应依据条件选择适当的形式进行计算;另外反用公式、变用公式、前项和公式与通项公式的综合运用体现了方程(组)思想.高斯算法表现了大数学家的聪慧和巧思,对一般学生来说有很大难度,但大多数学生都听说过这个故事,所以难点在于一般等差数列求和的思路上.(3)教法建议本节内容分为两课时,一节为公式推导及简洁应用,一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用.前项和公式的推导,建议由详细问题引入,使学生体会问题源于生活.强调从非凡到一般,再从一般到非凡的思索方法与探讨方法.补充等差数列前项和的最大值、最小值

4、问题.用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式.等差数列的前项和公式教学设计示例教学目标1.通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程,并能用公式解决简洁的问题.2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从非凡到一般,再从一般到非凡的思想方法,通过公式的运用体会方程的思想.教学重点,难点教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用,难点是获得推导公式的思路.教学用具实物投影仪,多媒体软件,电脑.教学方法讲授法.教学过程一.新课引入提出问题(播放媒体资料):一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?(课件设计见课

5、件展示)问题就是(板书)“”这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法特别高超,回忆他是怎样算的.(由一名学生回答,再由学生探讨其高超之处)高斯算法的高超之处在于他发觉这100个数可以分为50组,第一个数与最终一个数一组,其次个数与倒数其次个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算,快速精确得到了结果.我们希望求一般的等差数列的和,高斯算法对我们有何启发?二.讲解新课(板书)等差数列前项和公式1.公式推导(板书)问题(幻灯片):设等差数列的首项为,公差为,由学生探讨,探讨高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.

6、思路一:运用基本量思想,将各项用和表示,得,有以下等式,问题是一共有多少个,好像与的奇偶有关.这个思路好像进行不下去了.思路二:上面的等式其实就是,为回避个数问题,做一个改写,两式左右分别相加,得,于是有:.这就是倒序相加法.思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得,于是.于是得到了两个公式(投影片):和.2.公式记忆用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式,这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前项和的两个公式.3.公式的应用公式中含有四个量,运用方程的思想,知三求一.例1.求和:(1);(2)(结果用表示)解题的关键是数清项数,小结数项数的方法.例2.等差数列中前多少项的和是990

7、0?本题实质是反用公式,解一个关于的一元二次函数,注意得到的项数必需是正整数.三.小结1.推导等差数列前项和公式的思路;2.公式的应用中的数学思想.四.板书设计等差数列前n项和 课时192.2.3等差数列的前n项和（3）【学习目标】敏捷运用等差数列的前n项和公式解决一些实际问题。【学问概念】1等差数列的判定方法 2等差数列通项性质 3.an与Sn的关系；。4等差数列的前n项和的性质【例题选讲】例1某剧场有20排座位，后一排比前一排多两个座位，最终一排有60个座位，这个剧场共有多少个座位？ 例2某种卷筒纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm,满盘时直径120mm。已知卫生纸的厚度为0.1mm,问：满

8、盘时卫生纸的总长度大约是多少？（精确到1m） 例3教化储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税。教化储蓄的对象为在校小学四年级（含四年级）以上的学生。设零存整取3年期教化储蓄的月利率为2.1.起存款金额50元，存款总额不超过2万元。（1）欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元？（2）零存整取3年期教化储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约多少元？（精确到元） 【课堂练习】课本P43练习4课本P44习题9、10、11、12【巩固提高】1某钢材库新到200根相同的圆钢，要把它们堆放成正三角形垛，并使剩余的圆钢尽可能的少，那么将剩余多少根圆钢？ 2有30根电线

9、杆，要运往1000m远的地方起先安装，在1000m处放一根，以后每50m放一根，一辆汽车每次只能运三根，假如用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少km？又若一辆车一次可运四根，怎样支配汽车的行程最短。 3A，B两物自相距30m处同时相向运动，A每分钟走3m，B每分钟走2m，且以后每分钟比前1分钟多走0.5m，则A和B起先运动后分钟相遇。4流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感。据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门实行措施，使该种病毒的传播得到限制。从某天

10、起。每天的新感染者平均比前一天的新感染者削减30人。到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共有8670人。问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。 等差数列的前n项和说课稿 等差数列的前n项和说课稿 一、教材结构与内容简析本节内容选自普遍中学课程标准试验教科书(北师大版)必修5第一章第四节等差数列的前n项和第一课时，是在学生学习了等差数列定义及通项公式的基础上学习和探讨的，是进一步学习其它数列学问的基础。等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着亲密的联系。 二、教学目标 依据上述教材结构与内容分析，考

11、虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标： 认知目标：驾驭等差数列前n项和公式，能较娴熟应用等差数列前n项和公式求和。 实力目标经验公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特别到一般的探讨方法，学会视察、归纳、反思。 情感目标：获得发觉的成就感，逐步养成科学严谨的学习看法，提高代数推理的实力。 三、教学重点、难点 教学重点：等差数列前n项和公式 教学难点：获得等差数列前n项和公式推导的思路 四、教法和学法 教法：采纳探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在老师的启发引导下，以学生独立自主和合作沟通为前提，以“等差数列前n项和公式发觉”为基本探究内容，让学生的思维由问题起先，到猜想的

12、得出，猜想的探究，公式的推导，并逐步得到深化。 学法：指导学生驾驭“视察猜想推导应用”这一思维方法，实行个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学学问应用于对等差数列前n项和公式的探究。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新，逐步培育学生发觉问题、探究问题、解决问题的实力和创建性思维的实力。 五、教学程序 （一）创设情境，布疑激趣 “爱好是最好的老师”，假如一节课有个好的开头，那就意味着胜利了一半。因此，我通过对实际问题的引入，使学生一起先就能对这节课所探讨的问题引起爱好，使其立即进入到探讨者的角色中来，并从这一简洁的例子进入我们今日的课题。 （

13、二）探寻特例，提出猜想 1激发学生思维，从自身熟识的特例高斯问题入手进行探讨，发觉差数列前n项和公式。 2让学生总结得出猜想：差数列前n项和与它的首项，末项，及项数有怎样的关系? （三）找寻途径，证明猜想 1让学生用倒序相加法证明差数列前n项和公式。 2与等差数列通项公式结合得另一个公式。 3运用差数列前n项和公式求解本节课问题。 （四）初步应用，深化相识 用公式也是教学的重点。为了让学生较娴熟驾驭公式，可采纳设计变式题的教学手段，通过“选择公式”，“变用公式”，“知三求二”三个层次来促进学生新的认知结构的形成。 通过三道例题，主要让学生在详细问题中如何选用公式，变用公式及知三求二在数列中的应

14、用，提高学生的计算实力 （五）小结反思，提高相识 通过以上的探讨过程，同学们主要学到了那些学问和方法？你对此有何体会？ 1.等差数列前n项和公式:= 2公式的推证用的是倒序相加法 3在两个求和公式中,各有四个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.(体现了方程思想) 意图：使学生对本节课所学学问的结构有一个清楚的相识，能抓住重点进行课后复习 （六）当堂检测 旨在了解学生对本节课学问的驾驭状况，驾驭学情，为了以后更好的进行教学。 （七）作业布置， 必做题是让学生巩固所学的学问，娴熟公式的应用。依据学生的特点，为了促进数学成果优秀学生的发展，培育他们分析问题解决问题的实力，我们

15、设计了选做题，达到分层教学的目的 六、设计理念把“数学发觉的权力”还给学生 长期以来，我们的课堂教学太过于重视结论，轻视过程.为了应付考试，为了使对公式定理应用达到所谓的“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采纳题海战术来进行强化.在数学概念公式的教学中往往采纳的所谓“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用公式的解题机器，这样的学生面对新问题就手足无措. 数学是思维的体操，是培育学生分析问题、解决问题的实力及创建实力的载体.新课程提倡：强调过程，强调学生探究新学问的经验和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必需让学生追求过程的体验. 基于以上相识，在设计本节课时，老师所考

16、虑的不是简洁地告知学生差数列前n项和公式的内容，而是创设一些数学情境，让学生自己去发觉，从发觉公式的过程中让学生体会到：公式并不是凭空产生的，发觉公式并不都是高不行攀的事情，通过我的努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事.在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大地激发了学生的学习爱好，也提高了他们提出问题、解决问题的实力，培育了他们的创新实力，这正是新课程所提倡的教学理念. 3.1等差数列（其次课时，等差数列的性质） 3.1等差数列（其次课时，等差数列的性质） 教学目的： 1.明确等差中项的概念. 2.进一步娴熟驾驭等差数列的通项公式及推导公式. 教学重点：等差数列的定义、通项

17、公式、性质的理解与应用 教学难点：敏捷应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 一、复习引入 1等差数列的定义；2等差数列的通项公式：（1），（2），（3） 3有几种方法可以计算公差dd=d=d= 二、讲解新课： 问题：假如在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满意什么条件？ 由定义得A-=-A，即： 反之，若，则A-=-A 由此可可得：成等差数列。 也就是说，A=是a,A,b成等差数列的充要条件 定义：若，A，成等差数列，那么A叫做与的等差中项。 不难发觉，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。 如数列：1，3，5，7，9

18、，11，13中 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。 留意到， 由此揣测： 性质：在等差数列中，若m+n=p+q，则， 即m+n=p+q(m,n,p,qN) （以上结论由学生证明） 但通常由推不出m+n=p+q， 特例：等差数列an中，与首尾“等距离”的随意两项和相等.即 三、例题 例1在等差数列中，若+=9,=7,求,. 分析：要求一个数列的某项，通常状况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必需知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的随意两项（知道随意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式+=+

19、=9入手（答案：=2,=32） 例2等差数列中，+=12,且=80.求通项 分析：要求通项，仍旧是先求公差和其中至少一项的问题。而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必需消元（项）或再构造一个等式出来。 （答案：=10+3(n1)=3n13或=23(n1)=3n+5） 例3在等差数列中,已知450,求及前9项和（）. 提示：由双项关系式：2，2及450,得5450,易得2180. ()()()()9810. 例4已知a、b、c的倒数成等差数列，那么，a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列。 分析：将a、b、c的成等差数列转化为a+c=2b，再探究a2(b+c)+b2(

20、c+a)=c2(a+b)，即a2(b+c)+b2(c+a)-c2(a+b)=0是否成立. 例5已知两个等差数列5，8，11，和3，7，11都有100项，问它们有多少公共项. 分析：两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数.（答案：25个公共项） 四、练习： 1.在等差数列中，已知，求首项与公差 2.在等差数列中,若求 3.在等差数列中若，求 五、作业：课本：P114习题3.27.10，11.精析精练P117智能达标训练第12页 共12页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页