等比数列前n项和学案（2）.docx

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1、等比数列前n项和学案（2）等比数列前n项和学案（1） 2.5等比数列的前n项和(1) 学习目标1.驾驭等比数列的前n项和公式；2.能用等比数列的前n项和公式解决实际问题. 学习过程一、课前打算（预习教材P55P56，找出怀疑之处）复习1：什么是数列前n项和？等差数列的数列前n项和公式是什么？ 复习2：已知等比数列中，求. 二、新课导学学习探究探究任务：等比数列的前n项和故事：“国王对国际象棋的独创者的嘉奖” 新知：等比数列的前n项和公式设等比数列它的前n项和是，公比为q0， 公式的推导方法一：则当时，或当q=1时， 公式的推导方法二：由等比数列的定义，有，即.（结论同上） 公式的推导方法三：.

2、（结论同上） 试试：求等比数列，的前8项的和. 典型例题例1已知a1=27，a9=，q0，求这个等比数列前5项的和. 变式：，.求此等比数列的前5项和. 例2某商场今年销售计算机5000台，假如平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)? 动手试试练1.等比数列中， 等比数列前n项和学案（3） 2.5等比数列的前n项和(3) 学习目标1.进一步娴熟驾驭等比数列的通项公式和前n项和公式；2.会用公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的一些简洁问题. 学习过程一、课前打算（预习教材P57P62，找出怀疑之处）复习1：等比

3、数列的前n项和公式.当时，当q=1时， 复习2：等比数列的通项公式.=. 二、新课导学学习探究探究任务：等比数列的前n项和与通项关系问题：等比数列的前n项和，（n2），当n1时，. 反思：等比数列前n项和与通项的关系是什么？典型例题例1数列的前n项和（a0，a1），试证明数列是等比数列. 变式：已知数列的前n项和，且，设，求证：数列是等比数列.例2等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是，求证：，也成等比. 变式：在等比数列中，已知，求. 动手试试练1.等比数列中，求. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和教学目标1.把握等比数列前项和公式,并能运用公式解决简洁的问题.(1)理解公式的推导

4、过程,体会转化的思想;(2)用方程的思想熟识等比数列前项和公式,利用公式知三求一;与通项公式结合知三求二;2.通过公式的敏捷运用,进一步渗透方程的思想、分类探讨的思想、等价转化的思想.3.通过公式推导的教学,对学生进行思维的严谨性的练习,培育他们实事求是的科学看法.教学建议教材分析(1)学问结构先用错位相减法推出等比数列前项和公式,而后运用公式解决一些问题,并将通项公式与前项和公式结合解决问题,还要用错位相减法求一些数列的前项和.(2)重点、难点分析教学重点、难点是等比数列前项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法(如分类探讨思想,错位相减法等),这些思想方法在其他数列求和

5、问题中多有涉及,所以对等比数列前项和公式的要求,不单是要记住公式,更重要的是把握推导公式的方法.等比数列前项和公式是分状况探讨的,在运用中要非凡注意和两种状况.教学建议(1)本节内容分为两课时,一节为等比数列前项和公式的推导与应用,一节为通项公式与前项和公式的综合运用,另外应补充一节数列求和问题.(2)等比数列前项和公式的推导是重点内容,引导学生视察实例,发觉规律,归纳总结,证明结论.(3)等比数列前项和公式的推导的其他方法可以给出,提高学生学习的爱好.(4)编拟例题时要全面,不要忽视的状况.(5)通项公式与前项和公式的综合运用涉及五个量,已知其中三个量可求另两个量,但解指数方程难度大.(6)

6、补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题.教学设计示例课题:等比数列前项和的公式教学目标(1)通过教学使学生把握等比数列前项和公式的推导过程,并能初步运用这一方法求一些数列的前项和.(2)通过公式的推导过程,培育学生猜想、分析、综合实力,提高学生的数学素养.(3)通过教学进一步渗透从非凡到一般,再从一般到非凡的辩证观点,培育学生严谨的学习看法.教学重点,难点教学重点是公式的推导及运用,难点是公式推导的思路.教学用具幻灯片,课件,电脑.教学方法引导发觉法.教学过程一、新课引入:(问题见教材第129页)提出问题:(幻灯片)二、新课讲解:记,式中有64项,后项与前项的比为公比2,当每一项都乘以2

7、后,中间有62项是对应相等的,作差可以相互抵消.(板书)即,-得即.由此对于一般的等比数列,其前项和,如何化简?(板书)等比数列前项和公式仿照公比为2的等比数列求和方法,等式两边应同乘以等比数列的公比,即(板书)两端同乘以,得,-得,(提问学生如何处理,适时提示学生注意的取值)当时,由可得(不必导出,但当时设想不到)当时,由得.于是反思推导求和公式的方法错位相减法,可以求形如的数列的和,其中为等差数列,为等比数列.(板书)例题:求和:.设,其中为等差数列,为等比数列,公比为,利用错位相减法求和.解:,两端同乘以,得,两式相减得于是.说明:错位相减法事实上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的

8、问题.公式其它应用问题注意对公比的分类探讨即可.三、小结:1.等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用;2.用错位相减法求一些数列的前项和.四、作业:略.五、板书设计:等比数列前项和公式例题等比数列前n项和教案分析 等比数列前n项和教案分析 一、教材分析1、地位和作用等比数列的前n项和公式这一节内容是在学生学习了等差数列、等比数列的概念及通项公式，等差数列的前n项和公式的基础上进行的。是进一步学习数列学问和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。2、重点和难点本节课的重点就是等比数列的前n项和公式及其初步应用；难点是公式的推导方法。3、教学目标基于以上分析，根据教学大纲的要求及学生的

9、素养确定以下教学目标：相识目标：理解并驾驭等比数列的前n项和公式及其推导方法；娴熟驾驭运用公式求和。素养目标：向学生渗透特别到一般、类比与转化、分类与探讨等数学思想。培育学生良好的学习习惯和数学思维的深刻性、广袤性等思维品质。4、教学方法本节课将采纳“多媒体优化组合激励发觉”式教学模式进行教学。该模式能够将教学过程中的各要素，如老师、学生、教材、教法等进行主动的整合，使其融为一体，创建最佳的教学氛围。5、教学手段教学中，利用投影仪、微机这些现代化教学媒体来激发学生的学习爱好，启迪学生思维，增大课堂容量，提高课堂效率。二、教学过程1、课题的引入首先给出以下实例引例：某建筑队，由于资金短缺，向某砖

10、厂赊借红砖盖房，双方约定，在一个月（30天）内，砖厂每天向建筑队供应10000块砖，为了还本付息，建筑队第一天要向厂方返还1块砖，其次天返还2块砖，第三天返还4块砖，。即每天返还的砖数是前一天的2倍，请问，假如你是厂长或是建筑队长，你会在这个合约上签字吗？这是一个悬念式的实例，后面的“假如”又把学生带入了实例创设的情境，让学生干脆参加了“市场经济”。依据心理学，情境具有示意作用，在示意作用下，学生自觉不自觉地参加了情境中的角色，这样他们的学习主动性和思维活动就会极大的调动起来。在老师的诱导下，学生依据自己驾驭的学问和阅历，很快建立起两个等比数列的数学模型。（演示）如屏幕显示，数列an是以100

11、00为首项，1为公比的等比数列，即常数列。数列bn是以1为首项，2为公比的等比数列。当学生跃跃欲试要求这两个数列的和的时候，课题的引入已经水到渠成。老师再由特别到一般、详细到抽象的启示，正式引入课题。2、公式的推导这里我讲解并描述的主要是怎样利用多媒体激励、启发学生思维，突破教材难点。等比数列有两大类：公比q=1和q1两种情形当q=1时，Sn=na1当q1时，Sn=a1+a1q+a1qn-1=q1时，Sn的结果是怎么推导出来的呢？本节课的难点就在于此。预习过课本的学生会知道这个结果以及推导过程，但是他们知其然而不知其所以然，可以说大部分学生依据他们驾驭的学问和阅历是难以推出这个公式的。因此，要

12、通过复习等差数列的求和公式，借助推导等差数列求和公式的方法，找出推导等比数列的前n项和公式的方法来！（演示）下面演示一下等差数列的前n项和公式的推导过程。现在将a1与an，a2与an-1，全部与首末等距两项交换位置，得到Sn的倒序和的形式。然后两式相加。这样2Sn就是一个有n项的每一项都是a1+an的常数列。从而导出了Sn的公式。等差数列的求和方法是依据等差数列的特点和依据学生的学问结构和认知水平产生的，形式上是倒序相加，本质上就是消去数列中项与项之间的差异，构造一个新的各项相同的常数列，然后依据常数列的和导出Sn的公式来。那么等比数列是不是也可以用倒序相加的方法，构造出一个常数列或者部分常数

13、列呢？让学生亲自去试一试，结果呢？明显倒序是行不通的。这时老师的主要任务是要让学生的思维快速发散从倒序相加的定势中解脱出来。抓住学生迫切想解决这个问题的心态，刚好地通过媒体进行启发。老师要告知学生，构造常数列或者部分常数列的思路是正确的。既然倒序行不通，那么还有没有其它的方式构造常数列呢？接着要引导学生从等比数列的定义动身，进一步相识等比数列从其次项起，每一项都是前一项的q倍，也就是说将每一项乘以q以后就变成了它的后一项，那么将Sn这个和式的两边同时乘以q，在qSn这个和式中的第一项就是Sn的其次项也就是Sn和qSn之间产生了一个错位。由两个和式能否构造常数列或者部分常数列的和式呢？相加行不行

14、？明显不行！相减行不行？明显行。将Sn和qSn相减后，中间就得到了n1项各项都是0的常数列,找到了这个常数列，难点就突破了，Sn的导出就简单了，导出了Sn就基本上达到了本节课的认知目标。为了加深理解，这时还应当对等差、等比两种数列的求和公式的推导过程进行类比和分析：两种数列求和的基本思路都是构造常数列，构造常数列的思想也是其他一些数列求和的基本思想。等比数列在构造常数列的过程中，采纳“错位相减”，等差数列采纳的是“倒序相加”，倒序相加本质上也是“错位相加”，是一种大幅度的“错位相加”，等比数列只不过是步幅为1的小幅度的“错位相加”。说明一下，在Sn的和式中，两边同时乘以q是解决问题构造常数列的

15、关键所在，是推导等比数列求和公式的一把钥匙。所以，这两种数列的求和公式的推导方法，从数学思想和数学方法上来讲是一样的，但是它们也有差异，即错位的方法不同。正是由于这种差异，老师才有了更大的教学空间。当老师把学生从“倒序相加”的思维定式中引导出来的时候，学生的数学思维的深刻性、广袤性等思维品质就得到了提高，思维品质提高了，思维实力也就提高了。这样，这节课的认知目标和素养目标就基本上都达到了。3、公式的说明：推导出公式之后，对公式的特征要加以说明，以便学生记忆。同时还要对公式的另一种表示形式和应用中的留意事项加以说明。帮助学生弄清其形式和本质，明确其内涵和外延，为敏捷运用公式打下基础。4、例题的处

16、理有了求和公式后，回头让学生亲自计算一下引例中的砖数，从计算结果中让学生明的确际问题的解决离不开数学，在市场经济中必需有敏锐的数学头脑才行。选取课本的例4作为例题。例题本身属公式的干脆应用、简洁应用，目的是加强对公式的相识和记忆；帮助学生明确解题步骤，规范解题格式，提高运算实力。5、形成性练习：例题处理后，设置一组形成性练习，作为对本节课的实时检测。练习基本上是干脆运用公式求和，三个练习是按由易到难、由简洁到困难的相识规律和心理特征设计的，有利于提高学生的主动性。学生练习时，老师巡查，视察学情，刚好从中获得反馈信息。对学生练习中出现的独到解法提出表扬和激励，对其中偶发性错误进行辨析、指正。通过

17、形成性练习，培育学生的应变和举一反三的实力，逐步形成技能。6、课堂小结本节课的小结从以下几个方面进行：(1)等比数列的前n项和公式(2)公式的推导方法错位相减法（3）求和思路构造常数列或部分常数列。通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学学问，也能培育学生的归纳和概括实力。进一步完成认知目标和素养目标。7、课外作业要求学生阅读课本相关内容，提出公式还有无其它推导方法？作为本节课的的升华。 第10页 共10页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页